14.4.3 用频率分布直方图估计总体分布--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026苏教版高中数学必修第二册
14.4.3　用频率分布直方图估计总体分布
基础过关练
题组　用频率分布直方图估计总体分布
1.(多选题)(2024江苏南京金陵中学月考)某研究性学习小组为了解某校2 000名学生参加2023年暑期社会实践的情况,通过分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本,对学生某一天社会实践的时间(单位:分钟)进行统计,得到样本的频率分布直方图如图所示.已知这些学生该天社会实践的时间在[60,70)内的人数为20,则以下说法正确的是(　　)
A.a=0.020
B.N=200
C.估计全校该天社会实践时间在60分钟以上的学生为1 600人
D.若社会实践时间在80分钟以上为优秀,则估计此次社会实践的优秀率为25%
2.(2025江苏徐州李集中学期中)2025年某市教育主管部门组织该市教师春季学期在线培训,培训后统一进行了测试.随机抽取100名教师的测试成绩进行统计,得到频率分布直方图如图所示.已知这100名教师的成绩都在区间[75,100]内,则下列说法正确的是(　　)
A.这100名教师测试成绩的极差一定是25分
B.这100名教师测试成绩的众数是87分
C.这100名教师测试成绩的中位数是85分
D.这100名教师中测试成绩不低于90分的人数约占30%
3.(2024江苏连云港高级中学期末)某公司为了解用户对其产品的满意度,从甲、乙两地区分别随机调查了100位用户,根据用户对产品的满意度评分,分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图如下.
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1,m2,平均数分别为,则(　　)
A.m1>m2,　　　　B.m1>m2,
C.m14.(2025山东日照期中)某高校组织选拔数学英才班,对高一年级的300名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数xi(i=1,2,…,300)全部介于45分到95分之间,学校将所有分数分成5组:[45,55),[55,65),…,[85,95],整理得到如图所示的频率分布直方图(同组数据以这组数据的中间值作代表).
(1)求m的值,并估计此次测试分数的平均数;
(2)学校要求按照分数从高到低选拔前100名的学生进行培训,试估计这100名学生的最低分数(计算结果保留一位小数);
(3)试估计这300名学生的分数xi(i=1,2,…,300)的方差s2,并判断此次得分为63分和86分的同学的成绩是否在[+s]内.
(参考数据:≈11.4)
5.(2024河南百师联盟期末)某调研小组调查了某市1 000名外卖骑手平均每天完成的任务量(简称“单量”),得到如下的频数分布表和频率分布直方图:
单量/单 [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) [45, 50) [50, 55)
人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10
(1)补全该市1 000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图;
(2)根据图表数据,试求样本数据的中位数(精确到0.1);
(3)根据外卖骑手的每天单量,参考某平台的类别将外卖骑手分成三类,调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同,如下表:
单量/单 (0,20) [20,40) [40,+∞)
类别 普通骑手 精英骑手 王牌骑手
装备价格/元 2 500 4 000 4 800
根据以上数据,估计该市外卖骑手购买装备的平均成本.
答案与分层梯度式解析
14.4.3　用频率分布直方图估计总体分布
基础过关练
1.AD　由(0.01+2a+0.045+0.005)×10=1,得a=0.02,故A正确;因为这些学生该天社会实践的时间在[60,70)内的人数为20,所以=0.2,得N=100,故B错误;因为样本中社会实践时间在60分钟以上的频率为0.9,所以用样本估计总体,可知全校该天社会实践时间在60分钟以上的学生约为0.9×2 000=1 800(人),故C错误;由题图可知,该天社会实践时间在80分钟以上的频率为(0.005+0.02)×10=0.25,所以优秀率为25%,故D正确.
2.D　这100名教师测试成绩的最高分和最低分都无法确定,故极差不确定,故A错误;
由题图可知,这100名教师测试成绩的众数是87.5分,故B错误;
前两组的频率和为(0.02+0.04)×5=0.3,前三组的频率和为(0.02+0.04+0.08)×5=0.7,
故中位数在[85,90)内,设这100名教师测试成绩的中位数为x0分,
则0.3+(x0-85)×0.08=0.5,解得x0=87.5,故C错误;
这100名教师中测试成绩不低于90分的人数约占(0.03+0.03)×5×100%=30%,故D正确.
3.C　由题中频率分布直方图知甲地区用户满意度评分在[40,60)内的频率为(0.015+0.020)×10=0.35,
在[60,70)内的频率为0.025×10=0.25,
∴甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+×10=66,
甲地区用户满意度评分的平均数=45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10=67.
乙地区用户满意度评分在[50,70)内的频率为(0.005+0.020)×10=0.25,
在[70,80)内的频率为0.035×10=0.35,
∴乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+×10≈77.1,
乙地区用户满意度评分的平均数.
4.解析　(1)由题意得(0.006+0.014+m+0.036+0.020)×10=1,解得m=0.024,
所以这次测试分数的平均数的估计值为50×0.06+60×0.14+70×0.24+80×0.36+90×0.2=75(分).
(2),
设这100名学生的最低分数为a分,则0.44+0.036(a-75)=,解得a≈81.3,
所以这100名学生的最低分数的估计值为81.3分.
(3)因为s2=0.06×(50-75)2+0.14×(60-75)2+0.24×(70-75)2+0.36×(80-75)2+0.2×(90-75)2=129,
所以s=≈11.4,所以+s=86.4,
故得分为63分的同学的成绩没有在[63.6,86.4]内,得分为86分的同学的成绩在[63.6,86.4]内.
5.解析　(1)由样本数据分布在[15,20)内的频数得其频率为=0.12,从而样本数据分布在[15,20)内矩形的高为=0.024,
由样本数据分布在[25,30)内的频数得其频率为=0.18,从而样本数据分布在[25,30)内矩形的高为=0.036,
补全该市1 000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图,如下:
(2)由已知可得,样本数据分布在[10,25)内的频率为=0.35<0.5;
样本数据分布在[10,30)内的频率为=0.53>0.5.
设样本数据的中位数为x,则x∈[25,30),
且有=0.5-0.35,
解得x≈29.2,即样本数据的中位数约为29.2.
(3)依题意可知,被调查的1 000人中,普通骑手共有100+120=220(名),精英骑手共有130+180+220+150=680(名),王牌骑手共有60+30+10=100(名),
所以这1 000名外卖骑手购买装备的平均成本为=3 750(元),即估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3 750元.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)