15.2 随机事件的概率--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
15.2　随机事件的概率
基础过关练
题组一　古典概型的判断
1.(多选题)(2024贵州毕节威宁第八中学月考)下列有关古典概型的说法中正确的是(　　)
A.样本空间的样本点总数有限
B.每个事件发生的可能性相等
C.每个样本点发生的可能性相等
D.已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=
2.(2025江苏淮安清浦中学阶段检测)下列是古典概型的是(　　)
A.口袋中有2个白球和3个黑球,从中任取1球为白球
B.在区间[-1,5]内任取一个实数x,满足x2-3x+2>0
C.某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人进行演讲
D.射击选手进行射击训练,结果为命中10环、命中9环、……、命中0环
题组二　古典概型的概率计算
3.(2025山东济宁一中月考)从2,4,8中任取两个不同的数,分别记作a,b,则logab为整数的概率是(　　)
A.
4.(2025江苏苏州期末)现有标号为1,2,3,4,5的五张卡片,甲、乙两人依次从中各抽取两张,则仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为　(　　)
A.
5.(2024江苏徐州棠张高级中学期末)北斗导航系统由55颗卫星组成,于2020年6月23日完成全球组网部署,并全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向、判断季节的重要依据,北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光,其中玉衡最亮,天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测,则玉衡和天权至少有一颗被选中的概率为(　　)
A.
6.(2025江苏兴化中学期中)用红、黄、蓝三种颜色给图中的3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则3个矩形颜色都相同的概率是　　　,3个矩形颜色都不同的概率是　　　.
7.(易错题)(2025江苏邳州运河中学期中)袋中有形状、大小都相同的4个小球,标号为1,2,3,4.
(1)从袋中一次随机摸出2个球,求标号和为奇数的概率;
(2)从袋中每次摸出一球,有放回地摸两次.甲、乙两人约定:若摸出的两个球标号和为奇数,则甲胜,否则乙胜.你认为此游戏是否公平 说明你的理由.
8.(2024广西重点高中联合调研)暑假期间,小梁计划外出旅游,他翻出自己曾经买的一个带数字密码锁的密码箱,但因时间太久,小梁已经忘记了密码,只记得这个密码是一个三位数,并且每个数位上的数字都是7,8,9中的一个.
(1)若小梁尝试输入一次密码,求输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率;
(2)若在小梁回忆起这个密码的首位数字后,小梁尝试输入一次密码,求输入的这个密码正确的概率.
题组三　随机事件的频率与概率
9.(2024上海交通大学附属中学期中)在抛一枚质地均匀的硬币的试验中,下列正确的是(　　)
A.大量的试验中,出现正面的频率为0.5
B.不管试验多少次,出现正面的概率始终为0.5
C.随着试验次数增加,出现正面的概率为0.5
D.试验次数每增加一次,下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5
10.(2025江苏苏州震泽中学期中)某学校举行乒乓球比赛,学生甲和乙比赛3局(采取三局两胜制),假设每局比赛甲获胜的概率是0.7,乙获胜的概率是0.3,利用计算机模拟试验,先由计算机算出0~9之间取整数值的随机数,当出现随机数0~6(包含0和6)时,表示一局中甲获胜,反之乙获胜,以下三个随机数为一组,代表3局比赛的结果,经随机数模拟产生了20组随机数:
603　099　316　696　851　916　062　107
493　977　329　906　355　860　375　107
347　467　822　166
估计甲最终获胜的概率为(　　)
A.0.9　　　　B.0.95　　　　C.0.8　　　　D.0.85
11.(2024陕西西北工业大学附属中学适应性训练)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率,绘制出统计图如图1所示,则符合这一结果的试验是(　　)
　
A.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率
B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子,出现1点的概率
C.转动如图2所示的转盘,转到数字为奇数的概率
D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球,恰好是蓝球的概率
能力提升练
题组一　古典概型概率的求解及应用
1.(2024江苏南通期中,)围棋起源于中国,据先秦典籍《世本》记载:“尧造围棋,丹朱善之.”围棋至今已有四千多年历史,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中,中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛,他们分成两个小组,其中一个小组有3位,另外一个小组有2位,则甲和乙不在同一个小组内的概率为　(　　)
A.
2.(2025辽宁重点中学协作校联考,)甲、乙、丙三人玩踢毽子游戏,每个人接到毽子后都等可能地把毽子传给另外两个人中的一个人,从甲开始踢,则踢第三次时毽子传递给甲的概率为(　　)
A.
3.(2025北京师大附中期末,)已知aA.
4.(2024江苏徐州月考,)若正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为1,则(i=2,3,4,5,6)的概率为(　　)
A.
5.(2025河南开封期中,)现有5个正整数x1,x2,x3,x4,x5,若这组数据的和为10,方差为0.4,则从这组数据中随机取1个数,该数大于众数的概率为(　　)
A.
6.(高考新发现)(以数学文化为背景考查古典概型)(2025山东青岛部分学校联考)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,它是由如图所示的七块板组成的,即五块等腰直角三角形板(两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板)、一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块,则这两块板的面积相等的概率为(　　)
A.
7.(2024江苏扬州期末)某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障,设计了一款针对某疾病的保险.现从10 000名参保人员中随机抽取100名进行分析,并按年龄段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成了五组,其频率分布直方图如图所示,每人每年所缴纳的保费(单位:元)与参保年龄如下表所示:
年龄/岁 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
保费/元 x 2x 3x 5x 7x
(1)若采用分层抽样的方法,从年龄在[30,40)和[40,50)内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查,再从中选取2人进行他们对该种保险的满意度的调查,求这2人中恰好有1人的年龄在[30,40)内的概率;
(2)这10 000人参加保险,该公司每年为此项保险支出的各种费用总和为200万元.为使公司不亏本,则年龄在[50,60)内的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元
题组二　随机事件的频率与概率
8.(2025山东济宁实验中学月考)在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是“你的身份证号码的尾数是奇数吗”,敏感的问题是“你服用过兴奋剂吗”,然后要求被调查的运动员掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般愿意如实回答问题.若调查了300位运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的人所占的百分比大约为　　(　　)
A.4.33%　　　　B.3.33%　　　　
C.3.44%　　　　D.4.44%
9.(2024贵州贵阳期中)某学会创办了一个微信公众号,设定了一些固定栏目定期发布文章.为了扩大其影响力,后台统计了反映读者阅读情况的一些数据,其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中,阅读至该篇文章总量的x%(x=10,20,30,…,100)时退出该页面的读者占阅读该篇文章的所有读者的百分比,例如:阅读跳转率f(20)=5%表示阅读某篇文章的所有读者中,阅读至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读该篇文章的所有读者的5%.现从该公众号某两个栏目中各随机选取一篇文章,分别记为文章M,N,其阅读跳转率的折线图如图所示.用频率来估计概率.
(1)随机选取一名文章M的读者,估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率;
(2)现用样本量比例分配的分层抽样的方法,在阅读量没有达到30%的文章N的读者中随机抽取6人,任选其中2人进行访谈,求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率.
答案与分层梯度式解析
15.2　随机事件的概率
基础过关练
1.ACD　
2.C　对于A,取出白球与取出黑球发生的可能性不同,故不是古典概型,故A错误;
对于B,这个试验的结果有无限个,故不是古典概型,故B错误;
对于C,满足“有限性”和“等可能性”,是古典概型,故C正确;
对于D,各环的大小不均等,不满足“等可能性”,故D错误.
3.B　由条件可知,得到的不同的对数为log24=2,log28=3,log42=,共6个,其中为整数的有2个,故所求概率P=.
4.A　当甲抽(1,2)时,乙可抽(3,4),(3,5),(4,5)三种;
当甲抽(1,3)时,乙可抽(2,4),(2,5),(4,5)三种;
当甲抽(1,4)时,乙可抽(2,3),(2,5),(3,5)三种;
当甲抽(1,5)时,乙可抽(2,3),(2,4),(3,4)三种;
当甲抽(2,3)时,乙可抽(1,4),(1,5),(4,5)三种;
当甲抽(2,4)时,乙可抽(1,3),(1,5),(3,5)三种;
当甲抽(2,5)时,乙可抽(1,3),(1,4),(3,4)三种;
当甲抽(3,4)时,乙可抽(1,2),(1,5),(2,5)三种;
当甲抽(3,5)时,乙可抽(1,2),(1,4),(2,4)三种;
当甲抽(4,5)时,乙可抽(1,2),(1,3),(2,3)三种,
故共有30种不同的抽法.
仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的抽法为甲抽(1,5)时,乙抽(2,3),(3,4)两种;甲抽(2,4)时,乙抽(1,3),(3,5)两种,共4种,
所以所求概率为.
5.B　记天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光这7颗星分别为a,b,c,d,e,f,g,从7颗星中任选2颗星,其样本空间Ω={ab,ac,ad,ae,af,ag,bc,bd,be,bf,bg,cd,ce,cf,cg,de,df,dg,ef,eg,fg},共21个样本点,记事件A为玉衡和天权至少有一颗被选中,则A={ad,ae,bd,be,cd,ce,de,df,dg,ef,eg},共11个样本点,所以玉衡和天权至少有一颗被选中的概率P(A)=.
6.答案　
解析　解法一(列举法):试验的样本空间Ω={红红红,红红黄,红红蓝,红黄红,红黄黄,红黄蓝,红蓝红,红蓝黄,红蓝蓝,黄红红,黄红黄,黄红蓝,黄黄红,黄黄黄,黄黄蓝,黄蓝红,黄蓝黄,黄蓝蓝,蓝红红,蓝红黄,蓝红蓝,蓝黄红,蓝黄黄,蓝黄蓝,蓝蓝红,蓝蓝黄,蓝蓝蓝},共27个样本点.
设事件A=“3个矩形颜色都相同”,则A={红红红,黄黄黄,蓝蓝蓝},共3个样本点,故P(A)=.
设事件B=“3个矩形颜色都不同”,则B={红黄蓝,红蓝黄,黄红蓝,黄蓝红,蓝黄红,蓝红黄},共6个样本点,
故P(B)=.
解法二(画树形图法):
故共有27种情况.
下同解法一.
7.解析　(1)样本空间Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点.
记“标号和为奇数”为事件A,则A={(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)},共4个样本点,
所以P(A)=.
(2)样本空间Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点.
记“标号和为奇数”为事件B,则B={(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)},共8个样本点,所以P(B)=,
即甲胜的概率为,同理可得乙胜的概率为,故此游戏公平.
易错警示　本题第(1)问为不放回抽取,第(2)问为有放回抽取,注意两种抽样方式的不同,不放回抽取时后一次抽取比前一次抽取时的样本总量少1,有放回抽取时每次抽取样本总量相同.
8.解析　由题可知,所有的密码情况包括(7,7,7),(7,7,8),(7,7,9),(7,8,7),(7,8,8),(7,8,9),(7,9,7),(7,9,8),(7,9,9),(8,7,7),(8,7,8),(8,7,9),(8,8,7),(8,8,8),(8,8,9),(8,9,7),(8,9,8),(8,9,9),(9,7,7),(9,7,8),(9,7,9),(9,8,7),(9,8,8),(9,8,9),(9,9,7),(9,9,8),(9,9,9),共27种,所有情况为正确密码的可能性都相同.
(1)不妨设正确的密码为(9,9,9),则恰有两位数字正确的密码情况包括(7,9,9),(8,9,9),(9,7,9),(9,8,9),(9,9,7),(9,9,8),共6种,
故小梁尝试输入一次密码,输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率为.
(2)不妨设正确的密码为(9,9,9),
则小梁尝试输入一次密码,输入的这个密码可能为(9,7,7),(9,7,8),(9,7,9),(9,8,7),(9,8,8),(9,8,9),(9,9,7),(9,9,8),(9,9,9),共9种,
故小梁尝试输入一次密码,输入的这个密码正确的概率为.
9.B　对于A,大量的试验中,出现正面的频率越来越接近于0.5,故A不正确;
对于B,事件发生的概率是一个常数,与试验次数无关,所以不管试验多少次,出现正面的概率始终为0.5,故B正确;
对于C,随着试验次数增加,出现正面的频率越来越接近概率0.5,而不一定等于0.5,故C不正确;
对于D,试验次数每增加一次,不能判断下一次出现正面的频率是否比它前一次更接近于0.5,故D不正确.
10.A　设事件A为“甲最终获胜”,20组随机数中,除099和977外,其余18组均符合甲最终获胜的条件,故P(A)==0.9.
11.D　根据题图1可知,试验这一结果出现的频率在0.33附近波动,即其概率P=.
对于A,出现正面朝上的概率为,故A不符合题意;
对于B,出现1点的概率为,故B不符合题意;
对于C,转到数字为奇数的概率为,故C不符合题意;
对于D,从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球,恰好是蓝球的概率为,故D符合题意.
能力提升练
1.C　设除甲、乙外的另3位棋手分别为丙、丁、戊,
则这5位棋手的分组情况有(甲乙丙,丁戊),(甲乙丁,丙戊),(甲乙戊,丙丁),(甲丙丁,乙戊),(甲丙戊,乙丁),(甲丁戊,乙丙),(乙丙丁,甲戊),(乙丙戊,甲丁),(乙丁戊,甲丙),(丙丁戊,甲乙),共10种,
其中甲和乙不在同一个小组内的情况有(甲丙丁,乙戊),(甲丙戊,乙丁),(甲丁戊,乙丙),(乙丙丁,甲戊),(乙丙戊,甲丁),(乙丁戊,甲丙),共6种,
所以甲和乙不在同一个小组内的概率P=.
2.A　解法一:甲、乙、丙三人用a,b,c表示,由题意可知踢三次毽子的所有情况有(a,b,a,b),(a,b,a,c),(a,b,c,a),(a,b,c,b),(a,c,a,b),(a,c,a,c),(a,c,b,a),(a,c,b,c),共8种,其中踢第三次时毽子传递给甲的情况有(a,b,c,a),(a,c,b,a),共2种,故所求概率P=.
解法二:画出树形图如图,
由图可知共有8种情况,踢第三次时毽子传递给甲有2种情况,故所求概率P=.
解题技法　本题解法二显然比解法一清晰明了.当样本点个数没有很明显的规律,且涉及的样本点又不是太多时,可借助树形图直观地将其表示出来.树形图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.
3.B　取a=-4,b=-3,则a2>b2,故①不成立;
因为aab,故②不成立;
因为a0,则≥2=2,当且仅当a=b时取等号,显然等号无法取得,故③成立;因为a从4个不等式中选2个的样本空间Ω={①②,①③,①④,②③,②④,③④},共6个样本点,
设“所选2个不等式都不成立”为事件A,则A={①②,①④,②④},共3个样本点,所以P(A)=.
4.D　因为|·||cos 60°=|·||cos 30°=,
|·||cos 0°=2>,
|·||cos 30°=,
|·||cos 60°=,
所以P2,P3,P4,P5,P6五个点中有两个点满足题意,所以所求概率为.
5.A　由题意可知x1+x2+x3+x4+x5=10,设这组数据的平均数为,方差为s2,
则[(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2+(x5-2)2]=0.4,
即(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2+(x5-2)2=2,
整理得=22,
显然最大的数不可能为5,若最大的数为4,剩余的四个数均为1,则42+12+12+12+12=20,不合要求;
若最大的数为4,剩余的四个数分别为1,1,1,2,此时42+12+12+12+22=23,不合要求;
故该组数据中最大的数不可能大于或等于4,且这5个数也不可能都是2,
则这5个数只可能是3,2,2,2,1,其众数为2,
所以从这组数据中随机取1个数,该数大于众数的概率为.
6.C　将七块板编号,如图,记图中大正方形为ABCD.从七块板中任意取出两块的所有可能结果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7),共21种,
将七巧板进行划分,△ABC被分成8个全等的三角形,设正方形ABCD的面积为2S,
则编号分别为1,2的三角形板的面积相等,均为;编号分别为4,6的三角形板的面积相等,均为;编号分别为3,5,7的板的面积相等,均为,
任取两块板的面积相等的可能结果有(1,2),(4,6),(3,5),(3,7),(5,7),共5种,
故所求概率P=.
7.解析　(1)由(0.007+0.016+a+0.025+0.02)×10=1得a=0.032,
设“选取的2人中恰好有1人的年龄在[30,40)内”为事件M.
由题设可知,年龄在[30,40)和[40,50)内的频率分别为0.16和0.32,则抽取的6人中,年龄在[30,40)内的有2人,年龄在[40,50)内的有4人.
记年龄在[30,40)内的2位参保人员分别为a,b,年龄在[40,50)内的4位参保人员分别为A,B,C,D,则从6人中任取2人,样本空间Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共有15个样本点,事件M={(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D)},共有8个样本点,所以P(M)=.
(2)保险公司每年收取的保费为10 000×(0.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×5x+0.2×7x)=40 000x(元),
所以要使公司不亏本,则40 000x≥2 000 000,解得x≥50,所以年龄在[50,60)内的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为250元.
8.B　因为抛硬币出现正面朝上的概率为,所以大约有150人回答第一个问题,
又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的,故在回答第一个问题的150人中大约有75人回答了“是”,又共有80个“是”的回答,故回答服用过兴奋剂的人约有5人,
因此可估计这群人中,服用过兴奋剂的人所占的百分比大约为×100%≈3.33%.
9.解析　(1)由题中折线图可知,对于文章M的读者,f(90)+f(100)=0.3+0.1=0.4,
所以随机选取一名文章M的读者,估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率为0.4.
(2)阅读量没有达到30%的文章N的读者,即阅读量为该篇文章总量的10%和20%时退出该页面的读者,易得阅读跳转率均为0.05,所以抽取的6人中有3人阅读至文章总量的10%时退出,分别记为A,B,C,有3人阅读至文章总量的20%时退出,分别记为a,b,c,
则任取2人的样本空间Ω={AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc},共15个样本点,且每个样本点是等可能发生的,其中两个都阅读至文章总量的10%时退出的有AB,AC,BC,共3个样本点,
由古典概型的概率公式可得所求概率为,
故这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率为.
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