15.3　互斥事件和独立事件 第2课时 相互独立事件--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
第2课时　相互独立事件
基础过关练
题组一　判断事件的独立性
1.(多选题)(2025山东青岛期末)设A,B为两个随机事件,以下判断正确的有(　　)
A.若A,B是互斥事件,P(A)=,则P(A∪B)=
B.若A,B是对立事件,则P(A∪B)=1
C.若事件A与事件B相互独立,P(A)=,则P(A
D.若P(,且P(,则A与B相互独立
2.(2025江苏南通海门中学期中)有5张相同的卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取两次,每次取1张卡片,A1表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”,A2表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”,A3表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”,A4表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”,则(　　)
A.A3与A4为对立事件　　　　
B.A1与A3为相互独立事件
C.A2与A4为相互独立事件　　　　
D.A2与A4为互斥事件
3.(多选题)(2024浙江温州普通高中学业水平考试)某不透明盒子中共有5个大小、质地完全相同的小球,其中有3个白球,2个黑球,现从中随机取两个球,甲表示事件“第一次取到黑球”,乙表示事件“第二次取到白球”,则下列说法错误的是(　　)
A.若不放回取球,则甲、乙相互独立
B.若有放回取球,则甲、乙相互独立
C.若不放回取球,则甲、乙为互斥事件
D.若有放回取球,则甲、乙为互斥事件
题组二　相互独立事件的概率计算
4.(2025湖南部分名校联考)某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字,但确定这个数字一定是奇数,随意拨号,则拨号不超过两次就拨对号码的概率为(　　)
A.
5.(2025山东威海期中)已知集合A={1,2,3,4},集合B={1,2,3,4,5},分别从A,B中任取三个元素,两次抽取的结果互不影响,则从A中抽取的三个元素之和不大于8且从B中抽取的三个元素之和大于8的概率为(　　)
A.
6.(多选题)(2025湖北部分重点中学期末)甲、乙两名同学进行投篮比赛,甲每次命中的概率为0.7,乙每次命中的概率为0.8,甲和乙是否命中互不影响,若甲、乙各投篮一次,则(　　)
A.两人都命中的概率为0.56
B.恰好有一人命中的概率为0.38
C.两人都没有命中的概率为0.6
D.至少有一人命中的概率为0.94
7.(2025河南驻马店期末)在全国中学生智能汽车总决赛中,某校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发,每次只能移动一个单位,沿x轴正方向移动的概率是,沿y轴正方向移动的概率是,则该智能汽车移动3次恰好移动到点(1,2)的概率为　　　　.
能力提升练
题组　相互独立事件概率的计算
1.(2024江苏高邮学情调研)第33届夏季奥林匹克运动会于2024年在巴黎举办,其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段,只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为,乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为,丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为,则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为(　　)
A.
2.(多选题)(2025山东青岛二中期中,)连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,用数字x表示第一次抛掷骰子朝上的面的点数,数字y表示第二次抛掷骰子朝上的面的点数,用(x,y)表示一次试验的结果.记事件A=“x+y=7”,事件B=“x≤3”,事件C=“xymod5≡1”(注:余数运算amodb≡c(b≠0)表示整数a除以整数b所得余数为c),则(　　)
A.P(C)=　　　 　B.A与C为对立事件
C.A与B相互独立　　　　D.B与C相互独立
3.(2025江苏南通模拟,)某校高三年级举行乒乓球比赛,共8个班级参加,每班派一名选手代表班级参赛,每一轮比赛前抽签决定对阵双方,负者淘汰,胜者进入下一轮,直至最后产生冠军,其中各场比赛结果相互独立.根据以往经验,高三(1)班选手甲和高三(2)班选手乙水平相当,且在所有选手中水平稍高,他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为,除甲、乙外的其他6名选手水平相当,则高三(1)班的选手甲通过第一轮的概率为　　　　,第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为　　　　.
4.(2025山东部分名校质检)如图中共有10个交会点A,B,C,D,E,F,G,H,P,Q.已知质点甲在P处,质点乙在Q处,若每经过一次移动,两质点都等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交会点处,若同时移动两次,则两质点移动到同一个交会点处的概率为　　　.
5.(2024江苏南通如皋中学教学质量调研,)为普及安全知识,某单位举办了一场安全知识竞赛,经过初赛、复赛,有甲、乙两个代表队(每队三人)进入决赛,决赛规则如下:共进行三轮比赛,每轮比赛中每人各答一题,每答对一题得10分,答错不得分.假设甲队每人答题正确的概率均为,乙队三人答题正确的概率分别为.
(1)若决赛中三轮的总得分大于70分,则能获得特别奖,求乙队获得特别奖的概率;
(2)因两队在决赛中得分相同,现进行附加赛.规则如下:甲、乙两队抽签决定谁先答题,每队每人各答题一次为一轮,有两人及以上答对就算答题成功,并继续下一轮答题,否则换另一队答题,连续两轮答题成功的队伍获胜,比赛结束.求附加赛中甲队恰好在第5轮结束时获胜的概率.
答案与分层梯度式解析
第2课时　相互独立事件
基础过关练
1.BC　对于A,若A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=,故A错误;
对于B,若A,B是对立事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故B正确;
对于C,若事件A与B相互独立,则A,也相互独立,易得P(,则P(A,故C正确;
对于D,由P(,得P(B)=,又P(,所以P(≠P(B),则,B不相互独立,故A,B也不相互独立,故D错误.
2.B　事件A3与A4不能同时发生,但可以同时不发生,如两次取出的卡片上的数字之和为5,故为互斥不对立事件,故A错误;
从中有放回地随机取两次卡片的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共25个样本点,
A3={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5个样本点,则P(A3)=,
A4={(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)},共4个样本点,则P(A4)=,
A1A3={(2,4)},共1个样本点,P(A1A3)=,
A2A4={(3,4),(5,2)},共2个样本点,P(A2A4)=,
易知P(A1)=,所以P(A1A3)==P(A1)P(A3),所以A1与A3相互独立,故B正确;
易知P(A2)=,所以P(A2A4)=≠P(A2)P(A4),所以A2与A4不独立,故C错误;
因为A2与A4可同时发生,如第一次取出的卡片上的数字为3,第二次取出的卡片上的数字为4,两次取出的卡片上的数字和为7,所以A2与A4不互斥,故D错误.
3.ACD　记该试验的样本点为(x1,x2),x1,x2分别表示第一次和第二次取到的球,
将3个白球分别标记为a,b,c,2个黑球分别标记为1,2.
有放回取球时的样本空间Ω1={(a,a),(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,a),(b,b),(b,c),(b,1),(b,2),(c,a),(c,b),(c,c),(c,1),(c,2),(1,a),(1,b),(1,c),(1,1),(1,2),(2,a),(2,b),(2,c),(2,1),(2,2)},共25个样本点,
甲事件包括的样本点有(1,a),(1,b),(1,c),(1,1),(1,2),(2,a),(2,b),(2,c),(2,1),(2,2),共10个,则P(甲)=,
乙事件包括的样本点有(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),共15个,则P(乙)=,
而甲、乙的积事件包括的样本点有(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),共6个,则P(甲乙)=,
故甲、乙不为互斥事件,又P(甲乙)==P(甲)P(乙),所以甲、乙相互独立,故B中说法正确,D中说法错误;
不放回取球时的样本空间Ω2={(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,a),(b,c),(b,1),(b,2),(c,a),(c,b),(c,1),(c,2),(1,a),(1,b),(1,c),(1,2),(2,a),(2,b),(2,c),(2,1)},共20个样本点,
甲事件包括的样本点有(1,a),(1,b),(1,c),(1,2),(2,a),(2,b),(2,c),(2,1),共8个,则P(甲)=,
乙事件包括的样本点有(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),共12个,则P(乙)=,
而甲、乙的积事件包含的样本点有(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),共6个,则P(甲乙)=,
故甲、乙不为互斥事件,又P(甲乙)=≠P(甲)P(乙),所以甲、乙不相互独立,故A、C中说法错误.
4.B　设Ai=“第i次拨号拨对号码”,i=1,2.拨号不超过两次就拨对号码可表示为A1+A2,
所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为P(A1+.
5.B　设事件M为“从A中抽取的三个元素之和不大于8”,事件N为“从B中抽取的三个元素之和大于8”,
从集合A中任取三个不同的元素的样本空间Ω1={(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)},共4个样本点,
其中事件M={(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4)},共3个样本点,所以P(M)=,
从集合B中任取三个不同的元素的样本空间Ω2={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},共10个样本点,
其中事件N={(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},共6个样本点,所以P(N)=,
所以P(MN)=P(M)P(N)=,
故所求概率为.
6.ABD　设事件A:甲投篮一次,命中;事件B:乙投篮一次,命中,则事件A,B相互独立.
对于A,P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,故A正确;
对于B,P()=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38,故B正确;
对于C,P()=0.3×0.2=0.06,故C错误;
对于D,至少有一人命中的对立事件为两人都没命中,故所求概率为1-P()=1-0.06=0.94,故D正确.
7.答案　
解析　该智能汽车移动3次恰好移动到点(1,2),需沿x轴正方向移动1次,沿y轴正方向移动2次,
有三种方式:先沿x轴正方向移动一次,再沿y轴正方向移动两次;先沿y轴正方向移动一次,再沿x轴正方向移动一次,再沿y轴正方向移动一次;先沿y轴正方向移动两次,再沿x轴正方向移动一次,故所求概率为.
能力提升练
1.A　依题意可知,甲进入决赛的概率为,
乙进入决赛的概率为,
丙进入决赛的概率为,
所以甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率P=.
2.AC　连续拋掷两枚质地均匀的正方体骰子,基本事件总数为6×6=36,
事件A=“x+y=7”包含的样本点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个,
事件B=“x≤3”包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),共18个,
事件C=“xymod5≡1”包含的样本点有(1,1),(1,6),(2,3),(3,2),(4,4),(6,1),(6,6),共7个.
对于A,P(C)=,A正确;
对于B,A∩C={(1,6),(6,1)},故事件A与C不为对立事件,B错误;
对于C,事件AB包含的样本点有(1,6),(2,5),(3,4),共3个,故P(AB)=,又P(A)=,P(A)P(B)=P(AB),所以事件A与B相互独立,C正确;
对于D,事件BC包含的样本点有(1,1),(1,6),(2,3),(3,2),共4个,所以P(BC)=,
又P(C)==P(B)P(C),所以事件B与C不相互独立,D错误.
3.答案　
解析　甲在第一轮遇到乙的概率为,此时甲获胜的概率为,甲在第一轮遇到除乙外的其他6名选手的概率为,此时甲获胜的概率为,所以甲第一轮获胜的概率P=.
第一轮中甲和乙不相遇且两人均获胜,其概率P1=,
进入第二轮的4人中,甲和乙不相遇的概率为,且两人均获胜的概率为,
故第二轮中甲和乙不相遇且两人均获胜的概率P2=,
所以第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为P1P2=.
4.答案　
解析　经过两次移动后,两质点都移动到A的路线为甲:P→C→A,乙:Q→B→A,其概率为,易得两质点都移动到A,B,G,H的概率相等,均为.
同理,两次移动后,两质点都移动到C的路线为甲:P→A→C或P→E→C,乙:Q→D→C,其概率为,易得两质点都移动到C,D,E,F的概率相等,均为.
故所求概率为.
5.解析　(1)设乙队每轮的得分为X分,乙队中三人答题正确分别为事件A,B,C,则P(A)=,
且P(X=20)=P(AB,
P(X=30)=P(ABC)=.
若乙队获得特别奖,则其三轮的总得分可以是90分,80分,此概率P=.
(2)甲队有两人答对的概率为,有3人答对的概率为,所以甲队答题成功的概率为,
由(1)知乙队答题成功的概率为P(X=20)+P(X=30)=.
若甲队先答第一轮,则满足题意的情况有两种:
①甲(胜)甲(负)乙(负)甲(胜)甲(胜),
其概率P1=,
②甲(负)乙(胜)乙(负)甲(胜)甲(胜),
其概率P2=;
若乙队先答第一轮,则满足题意的情况为
乙(负)甲(负)乙(负)甲(胜)甲(胜),
其概率P3=,
所以附加赛中甲队恰好在第5轮结束时获胜的概率为.
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