第2课时 复数的除法和乘方运算--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
第2课时　复数的除法和乘方运算
基础过关练
题组一　复数的除法运算
1.(2025江苏淮安开学考试)已知复数z满足=1-i,则z的虚部为(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.-i　　　　D.i
2.(教材习题改编)已知复数z1=3+ai(a∈R),z2=1-3i,若为纯虚数,则=(　　)
A.3-i　　　　B.3+i　　　　C.3-2i　　　　D.3+2i
3.(2025江苏徐州第三十七中学月考)设i为虚数单位,复数z满足(1+i)z=-1+2i,则z·为(　　)
A.
4.(2024山东日照月考)已知z1=5+10i,z2=3-4i,设,则z=　　　　.
5.计算:
(1)(2024四川宜宾月考);　
(2);
(3).
题组二　复数的乘方与i的整数指数幂
6.(2025江苏沭阳建陵高级中学期中)已知复数z满足(i2 022+i1 011)z=4i2 025,则复数z的虚部是(　　)
A.-2　　　　B.-2i　　　　C.2　　　　D.2i
7.(多选题)(2024河南济源高级中学月考)已知集合M={m|m=in,n∈N},其中i为虚数单位,则下列属于集合M的元素有(　　)
A.(1-i)(1+i)　　　　B.　　　　C.　　　　D.(1-i)2
8.(2025广东惠州期中)复数z=i2 025(1+i)-a为纯虚数,则实数a的值为　　　　.
9.已知i是虚数单位,则的共轭复数为　　　　.
题组三　复数范围内方程根的问题
10.(2024江苏镇江扬中第二高级中学期末)已知复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a,b∈R)的一个解,则复数z=a+bi的虚部为(　　)
A.-5i　　　　B.-5　　　　C.5i　　　　D.5
11.(2025浙江湖州期中)已知1-i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则b+c=　　　　.
12.在复数范围内解方程x2+6x+10=0.
能力提升练
题组一　复数的四则运算
1.(2025江苏海州高级中学期中)复数z=1+2i+3i2+4i3+…+2 024i2 023+2 025i2 024的实部和虚部之和为(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.-2 025　　　　D.2 025
2.(2025江苏南通联考)设z∈C,且(z+5)(+5)=4,则z2的实部的取值范围为(　　)
A.[8,36]　　　　B.[9,49]　　　　C.[10,64]　　　　D.[11,81]
3.(多选题)(2024山东烟台莱阳第一中学月考)已知i是虚数单位,若(1+i)n=(1-i)n(n∈N*),则n的值可以是(　　)
A.102　　　　B.104　　　　C.106　　　　D.108
4.(多选题)(2025江苏泰州中学期中)已知复数z(z≠0)的共轭复数为,则下列结论正确的是(　　)
A.z2+∈R　　　　 B.∈R
C.若z2=,则z∈R　　　　D.为纯虚数
5.已知ω=-i(i为虚数单位).
(1)求(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2的值;
(2)求ω2+的值;
(3)类比in(n∈N*),探讨ωn的性质.
6.(2025江苏无锡期中)设z1是虚数,z2=z1+是实数,且-1≤z2≤1,ω=.
(1)求z1的实部的取值范围;
(2)求证ω为纯虚数;
(3)求z2-ω2的最小值.
题组二　复数范围内方程根的问题
7.(2025辽宁大连二十四中期末)设a,b,c为实数,a,c≠0,方程ax2+bx+c=0的两个虚根x1,x2满足的值为(　　)
A.1　　　　 B.-1
C.
8.(2025山东聊城模拟)已知复数z1=cos和复数z2是方程2x2+bx+c=0(b,c∈R)的两根,则下列说法正确的是(　　)
A.b=c=1　　　　
B.z1·z2=-1
C.-也为该方程的根　　　　
D.z1与z2为方程x3=1的根
答案与分层梯度式解析
第2课时　复数的除法和乘方运算
基础过关练
1.B　因为=1-i,所以z+1==1+i,故z=i,所以z的虚部为1.
2.A　由已知得,
所以解得a=1,所以z1=3+i,故=3-i.
3.D　由(1+i)z=-1+2i,得z=i,所以i,
所以z·.
4.答案　5-i
解析　∵,
∴z=i.
5.解析　(1)=i-i=0.
(2)=1-i.
(3)i.
解题模板　涉及复数的除法,一般先将式子写成分式形式,再把分母实数化,即分子、分母同乘分母的共轭复数,若分母为纯虚数,则只需分子、分母同乘i.
6.A　因为i2 022=i505×4+2=i2=-1,i1 011=i252×4+3=i3=-i,i2 025=i506×4+1=i,
所以z==-2-2i.故复数z的虚部为-2.
7.BC　依题意得M={1,i,-1,-i}.
(1-i)(1+i)=1+1=2 M,A错误;
=-i∈M,B正确;
=i∈M,C正确;
(1-i)2=-2i M,D错误.
常用结论　在复数相关计算中,熟记一些常用结论能简化运算过程,如=1等.
8.答案　-1
解析　由i4=1,得z=i2 025(1+i)-a=i4×506+1(1+i)-a=i(1+i)-a=i-1-a,
因为复数z为纯虚数,所以-1-a=0,即a=-1.
9.答案　i-1
解析　
=i1 011+(-1)1 011=i252×4+3-1=-i-1,则-i-1的共轭复数为i-1.
10.B　解法一:因为复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a,b∈R)的一个解,
所以(2+i)2-a(2+i)-b=0,即(3-2a-b)+(4-a)i=0,则解得a=4,b=-5,
所以z=a+bi=4-5i,其虚部为-5.
解法二:因为2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a,b∈R)的一个解,所以2-i是该方程的另一个解,
由根与系数的关系可知a=2+i+2-i=4,-b=(2+i)·(2-i)=22-i2=5,即a=4,b=-5,
所以z=a+bi=4-5i,其虚部为-5.
11.答案　0
解析　由1-i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,知1+i是该方程的另一个根,
则-b=1-i+1+i=2,c=(1-i)(1+i)=2,解得b=-2,c=2,所以b+c=0.
12.解析　解法一:因为x2+6x+10=x2+6x+9+1=(x+3)2+1=0,所以(x+3)2=-1,
又因为i2=-1,所以(x+3)2=i2,
所以x+3=±i,即x=-3±i.
解法二:因为Δ=62-4×1×10=-4<0,
所以方程的根为x==-3±i.
能力提升练
1.A　z=1+2i+3i2+4i3+…+2 024i2 023+2 025i2 024
=(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+…+(2 021+2 022i-2 023-2 024i)+2 025i2 024
=(-2-2i)+(-2-2i)+…+(-2-2i)+2 025i2 024
=-1 012-1 012i+2 025
=1 013-1 012i.
故复数z的实部与虚部之和为1 013-1 012=1.
2.B　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,所以z+5=a+5+bi,+5=a+5-bi,
故(z+5)(+5)=(a+5)2+b2=4,
设a=-5+2cos θ,b=2sin θ,
所以z2的实部为a2-b2=4cos2θ-20cos θ+25-4sin2θ=8cos2θ-20cos θ+21,
令t=cos θ,t∈[-1,1],则a2-b2=8t2-20t+21=8,当t=1时,(a2+b2)min=9,当t=-1时,(a2+b2)max=49,
故a2-b2∈[9,49],
即z2的实部的取值范围为[9,49].
3.BD　∵(1+i)2=1+2i-1=2i,(1-i)2=1-2i-1=-2i,
∴(1+i)n=[(1+i)2,　
若(1+i)n=(1-i)n,则(2i为偶数.
结合选项知B,D正确.
4.AB　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
所以z2+=a2-b2+2abi+a2-b2-2abi=2(a2-b2)∈R,故A正确;
∈R,故B正确;
取z=i,则=-i,显然z2=-1=,但z R,故C错误;
i,当a≠0,b=0时,∈R,故D错误.
5.解析　(1)∵ω=-i,
∴ω2=-,ω3=1,ω2+ω+1=0,
∴(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2=ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4=5ω2(ω2+ω+1)+3ω3=3.
(2)由(1)知ω2+ω=-1,∴ω2+=ω2+ω=-1.
(3)由(1)可知ω2=-,ω3=1,
∴ωn=
6.解析　(1)设z1=a+bi(a,b∈R,b≠0),
则z2=z1+
=a+bi+i,
因为z2是实数,所以b-=0,
因为b≠0,所以a2+b2=1,则z2=2a,
由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-,
即z1的实部的取值范围为.
(2)证明:∵a2+b2=1,
∴ω=,
∵-,b≠0,∴ω=为纯虚数.
(3)z2-ω2=2a-
=2a+
=2a+
=1+
=1+2(a+1)-4+-3,
由于a+1∈,
故z2-ω2=2(a+1)+-3=1,
当且仅当2(a+1)=,即a=0时,等号成立,此时z2-ω2取最小值1.
7.B　因为x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个虚根,
所以可设x1=m+ni,x2=m-ni(m,n∈R,且n≠0),
则x1+x2=2m,x1x2=m2+n2,
因为∈R,
所以3m2-n2=0,
则-2=-1.
8.D　由题得z1=-i,
因为z1,z2为方程2x2+bx+c=0(b,c∈R)的两根,
所以z2=-i,
则z1+z2=-=1,
故所以b=c=2,故A,B错误;
≠z2,故C错误;
因为b=c=2,所以z1与z2为方程x2+x+1=0的两根,
因为x3-1=(x-1)(x2+x+1)=0,所以z1与z2为方程x3=1的根,故D正确.
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