第9章 平面向量复习提升--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）
文档属性
| 名称 | 第9章 平面向量复习提升--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 380.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-06 16:48:38 | ||
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文档简介
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2026苏教版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1 对向量的相关概念、运算律理解不透致错
1.下列关于平面向量的说法中,正确的是( )
A.对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c)
B.若向量共线,则点A,B,C,D必在同一条直线上
C.若A(1,m),B(m+1,3),C(1-m,7)三点共线,则m=5
D.若点G为△ABC的重心,则=0
易错点2 忽视向量的方向致错
2.(多选题)(2024江苏连云港月考)已知平面向量a=(1,1),b=(-3,4),则下列说法正确的是( )
A.cos=
B.b在a上的投影向量为a
C.与b垂直的单位向量的坐标为
D.若向量a+λb与a-λb共线,则实数λ=0
3.(多选题)(2025重庆巴蜀中学校月考)对于任意两个平面向量a和b,下列命题中正确的是( )
A.若a∥b,|a|=|b|,则a=b
B.a∥b是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分条件
C.|a·b|≤|a||b|
D.若2|a|=|b|≠0,向量a在b上的投影向量为-b,则cos=-
易错点3 对向量的夹角理解不准确致错
4.在△ABC中,“<0”是“△ABC为钝角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(多选题)(2024江苏镇江期中)下列选项中正确的是( )
A.已知向量a=(2,),b=(sin θ,cos θ),若a∥b,则tan θ=
B.已知向量a=(1,3),b=(m,-2),若a,b的夹角为钝角,则m<6
C.若平面向量a,b,c两两间的夹角都相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=2或5
D.若=0,则△AOC和△ABC的面积之比为3∶8
6.单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-,则a与b夹角的余弦值为 ;若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围为 .
思想方法练
一、函数与方程思想在向量问题中的应用
1.在△ABC中,M是AB上的点且满足,N是AC上的点且满足,CM与BN交于点P,设=a,=b,则=( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
2.(2025江苏无锡锡东高级中学月考)已知非零向量=0,且|,点D是△ABC的边AB上的动点,则的最小值为( )
A.-1 B.-
二、数形结合思想在向量问题中的应用
3.(2025江浙皖高中发展共同体联考)已知向量a,b,c满足a·c=|b-4c|=|c|=2,则|a-b|的最小值是( )
A.0 B.2 C. D.5
4.(2024江苏扬州红桥高级中学月考)已知四边形ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=,P为平面ABCD内一点,AC与BP相交于点Q.
(1)若,求x,y的值;
(2)求()·的最小值.
三、转化与化归思想在向量问题中的应用
5.(2025广东广州月考)在△ABC中,=(cos α,sin α)(m,α∈R),若对任意的实数t,||≥||恒成立,则BC长度的最小值是( )
A.
6.(2025江苏宿迁沭阳高级中学月考)如图,“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成的,中心重合于点O且三组边分别平行,点A,B是“六芒星”的两个顶点,动点P在“六芒星”(包括边界)内,则的取值范围是( )
A.[-2,2] B.
C.[-]
四、分类讨论思想在向量问题中的应用
7.(2025河北唐山第一中学月考)如图,延长正方形ABCD的边CD至点E,使得DE=CD,动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若,则下列判断不正确的是( )
A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B.满足λ+μ=1的点P有两个
C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个
D.满足λ+μ=的点P有两个
8.在平面直角坐标系中,已知三点A(2,0),B(t,1),C(3,t),t∈R,O为坐标原点.
(1)若△ABC是直角三角形,求t的值;
(2)若四边形ABCD是平行四边形,求||的最小值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
1.D 对于A,平面向量不满足乘法结合律,故A错误;
对于B,若向量共线,则点A,B,C,D在同一条直线上或AB∥CD(易错点),故B错误;
对于C,易得,所以4m=-2m(3-m),解得m=0(易错点)或m=5,故C错误;
对于D,延长AG交BC于点D,则D为BC的中点,且=0,故D正确.
2.AD 由题意知|a|=,|b|==5,a·b=1×(-3)+1×4=1.
对于A,cos=,故A正确;
对于B,b在a上的投影向量为·a=a,故B错误;
对于C,设与b垂直的单位向量的坐标为(x0,y0),
则
所以与b垂直的单位向量的坐标为(易错点),故C错误;
对于D,因为向量a+λb与a-λb共线,
所以存在t∈R,使得a+λb=t(a-λb)=ta-λtb,则故D正确.
3.BCD 对于A,a和b可能为相反向量(注意共线可以是同向共线,也可以是反向共线),故A错误.
对于B,当a=-2b时,a∥b,但|a+b|≠|a|+|b|,充分性不成立,
当a=0或b=0时,|a+b|=|a|+|b|,此时a∥b,
当a≠0且b≠0时,由|a+b|=|a|+|b|得|a+b|2=(|a|+|b|)2,
即|a|2+2|a||b|cos+|b|2=|a|2+2|a||b|+|b|2,故cos=1,=0,则a∥b,必要性成立,
所以a∥b是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分条件,故B正确.
对于C,|a·b|=|a||b||cos|,由|cos|≤1得|a·b|≤|a||b|,故C正确.
对于D,向量a在b上的投影向量为|a|cosb,
把2|a|=|b|代入上式得cos=-,故D正确.
易错警示 在将模的关系转换为向量之间的关系时,需要从向量方向的角度加以分析,若不能确定方向,则需分类讨论.
4.D ,不能推出△ABC为钝角三角形,故充分性不成立;
当△ABC为钝角三角形时,假设<0,故必要性不成立.
综上所述,“<0”是“△ABC为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.
易错警示 研究向量的夹角时要将两个向量平移到同一起点去观察,注意首尾相连的向量所呈现的角是其夹角的补角,同时注意向量的夹角的范围是[0,π],因此根据图形找向量的夹角时要注意夹角是相应有向线段所成的角还是该角的补角.如本题中向量的夹角是∠ABC的补角,不是∠ABC.
5.ACD 对于A,若a∥b,则sin θ=2cos θ,
可得tan θ=,故A正确.
对于B,若a,b的夹角为钝角,则,故B错误.
对于C,由平面向量a,b,c两两间的夹角都相等,得它们两两之间的夹角为0或,
当它们两两之间的夹角为0时,显然有|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+1+3=5;
当它们两两之间的夹角为=a,=b,=c,令方向相反,又|c|=3,所以|a+b+c|=||=3-1=2.
综上所述,|a+b+c|=2或5,故C正确.
对于D,若DE,
则S△ABC=2S△ACE=2×,
所以△AOC和△ABC的面积之比为3∶8,故D正确.
6.答案
解析 因为|a|=|b|=1,(a+2b)·(a-b)=-,
所以a2+a·b-2b2=-,即1+a·b-2=-,则a·b=,则cos=,即a与b夹角的余弦值为.
若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则(ka+b)·(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线(易错点).
由(ka+b)·(a+3b)>0,得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0,
即k+(3k+1)×,
当ka+b与a+3b共线时,有ka+b=λ(a+3b)(λ∈R),
即ka+b=λa+3λb,
易知a与b不共线,所以,
故实数k的取值范围为.
易错警示 求解此类题时常常会忽略两向量a,b共线的情形,认为a·b>0与向量a,b的夹角为锐角是等价的.设两个非零向量a与b的夹角为θ,当θ=0°时,cos θ=1,a·b=|a||b|;当θ为锐角时,cos θ>0,a·b>0且a·b≠|a||b|;当θ为直角时,cos θ=0,a·b=0;当θ为钝角时,cos θ<0,a·b<0且a·b≠-|a||b|.
思想方法练
1.B 如图,由,
由C,P,M三点共线,可得(λ∈R),即,
由N,P,B三点共线,可得(μ∈R),即,
故
根据平面向量基本定理的唯一性建立方程组.
故a+b.
2.C ∵同方向的单位向量,
∴以所在直线为∠BAC的平分线所在直线,
∵=0,∴∠BAC的平分线与BC垂直,故AB=AC.
取BC的中点O,连接AO,则AO⊥BC,
由题意得|,
∴|.
如图,以O为坐标原点,BC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
则B(-).
设λ),∴D(λ),
∴λ),
∴λ)=20λ2-4λ,
建系,利用坐标计算两个向量的数量积,转化为关于λ的一元二次函数求最值,体现了函数思想.
当λ=-.
思想方法 一般运用方程思想解决平面向量中的线性运算问题,解题的关键在于设置变量,然后利用已知条件或公式、定理构造方程(组)求解.
一般运用函数思想解决平面向量中的最值问题,解题的关键在于设置变量,将所求用变量表示出来,构造关于变量的函数,函数一般为二次函数、反比例函数等.在利用函数性质求解最值时,要注意变量的取值范围.
3.D 根据向量的数量积以及向量差的模为定值,画出图形,赋予|a-b|几何意义,将数转化为形,由图形特征求解,体现了数形结合思想.
令=c,=4c,
因为|b-4c|=2,所以b的起点为点A,终点在以点C为圆心,2为半径的圆上,
因为a·c=|c|=2,所以a在c上的投影向量的模为1,
所以a的起点为点A,终点在线段AB的垂直平分线l上,
所以|a-b|的最小值为a的终点与b的终点的距离的最小值,即线段DE最短时的长,易知当D位于M处,E位于N处时,线段DE的长最短,所以|a-b|的最小值为5.
4.解析 (1)当时,P为AD的中点,
易得△APQ∽△CBQ,所以,
所以,
所以x=-.
(2)根据图形特点建立平面直角坐标系,将形转化为数,通过向量的坐标运算进行求解,充分体现了数形结合的思想.
根据题意画出图形,并建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(2,0),B(0,0),C(1,),
取AB的中点M,连接PM,则M(1,0),,
设P(x,y),x,y∈R,则-y),
则(
=2[(1-x)(1-x)-y(-y)]
=2(x2+y2-2x-y+1)
=2,
故当x=1,y=.
思想方法 数形结合思想作为一种重要的数学思想方法,在平面向量中有重要的应用:
1.以数解形,化繁为简.可以通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算解决几何问题.
2.以形助数,化难为易.可以利用平面向量的几何表示、三角形法则、平行四边形法则和模的几何意义等将给出的向量在几何图形中表示出来,根据几何图形的相关知识,解决平面向量的相关计算问题.
5.C 画出图形,将不等式恒成立问题转化为几何图形中的垂线段最短问题,体现了转化与化归思想.
设,如图所示,
由||恒成立,知AC⊥BC,
因为=(cos α,sin α),
所以||=1,
所以|,
易知当m=-1时,|.
6.B 如图,由对称性得OB∥CD,连接AO,与CD交于点E,则E为AO,CD的中点,AO⊥OB,||=3××|=2×sin 30°=1,
P的位置不确定,可以根据数量积的几何意义将上的投影向量的模的范围问题,从而找到点P的临界位置,体现了转化与化归思想.
过点P作直线OB的垂线,垂足为P',
则向量,
所以,
如图,过点C作CC'⊥OB,交OB的延长线于点C',过点D作DD'⊥OB,交BO的延长线于点D',
所以|,
由图可得|反向,
所以当点P位于点C的位置时,,
当点P位于点D的位置时,,
所以.
思想方法 在向量问题中,常通过平面向量基本定理将待求向量转化为已知向量的和或差;在研究图形问题时,有时可通过画出图形,转化为图形中线段的长度问题;在求数量积时,有时可根据其几何意义转化为求投影向量的模问题;等等.这都是转化与化归思想在向量问题中的应用.
7.A 建立如图所示的平面直角坐标系,令AB=1,
则A(0,0),B(1,0),D(0,1),
∵,
∴=(λ-μ)(1,0)+μ(0,1)=(λ-μ,μ),
动点P的位置不确定,需要对P的位置分类讨论,体现了分类讨论思想.
动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,
当P∈AB时,0≤λ-μ≤1且μ=0,∴0≤λ≤1,∴λ+μ∈[0,1];
当P∈BC时,λ-μ=1且0≤μ≤1,则λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴λ+μ∈[1,3];
当P∈CD时,0≤λ-μ≤1且μ=1,则μ≤λ≤μ+1,∴1≤λ≤2,∴λ+μ∈[2,3];
当P∈AD时,λ-μ=0且0≤μ≤1,则λ=μ,∴0≤λ≤1,∴λ+μ∈[0,2].
综上,λ+μ∈[0,3].
选项A,令λ=μ=1,满足λ+μ=2,此时,
因此点P不一定是BC的中点,故A中判断错误.
选项B,若λ+μ=1,
则当P∈AB时,μ=0,则λ=1,点P为点B;
当P∈BC时,λ-μ=1,则λ=1,μ=0,点P为点B;
当P∈AD时,λ-μ=0,则λ=μ=,点P为AD的中点,
∴满足λ+μ=1的点P有两个,故B中判断正确.
选项C,若λ+μ=3,
则当P∈BC时,λ-μ=1,则λ=2,μ=1,点P为点C;
当P∈CD时,μ=1,则λ=2,点P为点C,
∴满足λ+μ=3的点P有且只有一个,故C中判断正确.
选项D,若λ+μ=,
则当P∈BC时,λ-μ=1,则λ=;
当P∈AD时,λ-μ=0,则λ=μ=,
∴满足λ+μ=的点P有两个,故D中判断正确.
8.解析 (1)由题意得,=(3-t,t-1),
由于不确定哪个角为直角,因此需分类讨论.
若∠A=90°,则=t-2+t=0,解得t=1;
若∠B=90°,则=(t-2)(3-t)+t-1=0,即t2-6t+7=0,解得t=3±;
若∠C=90°,则=3-t+t(t-1)=t2-2t+3=0,方程无实数解.
∴t的值为1或3±.
(2)若四边形ABCD是平行四边形,则,
设点D的坐标为(x,y),则=(x-2,y),
则(x-2,y)=(3-t,t-1),
所以故D(5-t,t-1),
则|
=,
所以当t=3时,|.
思想方法 利用向量法解决几何图形问题时,常根据几何图形的特点分类讨论.注意分类要全面,不要遗漏任何情况.
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本章复习提升
易混易错练
易错点1 对向量的相关概念、运算律理解不透致错
1.下列关于平面向量的说法中,正确的是( )
A.对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c)
B.若向量共线,则点A,B,C,D必在同一条直线上
C.若A(1,m),B(m+1,3),C(1-m,7)三点共线,则m=5
D.若点G为△ABC的重心,则=0
易错点2 忽视向量的方向致错
2.(多选题)(2024江苏连云港月考)已知平面向量a=(1,1),b=(-3,4),则下列说法正确的是( )
A.cos
B.b在a上的投影向量为a
C.与b垂直的单位向量的坐标为
D.若向量a+λb与a-λb共线,则实数λ=0
3.(多选题)(2025重庆巴蜀中学校月考)对于任意两个平面向量a和b,下列命题中正确的是( )
A.若a∥b,|a|=|b|,则a=b
B.a∥b是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分条件
C.|a·b|≤|a||b|
D.若2|a|=|b|≠0,向量a在b上的投影向量为-b,则cos
易错点3 对向量的夹角理解不准确致错
4.在△ABC中,“<0”是“△ABC为钝角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(多选题)(2024江苏镇江期中)下列选项中正确的是( )
A.已知向量a=(2,),b=(sin θ,cos θ),若a∥b,则tan θ=
B.已知向量a=(1,3),b=(m,-2),若a,b的夹角为钝角,则m<6
C.若平面向量a,b,c两两间的夹角都相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=2或5
D.若=0,则△AOC和△ABC的面积之比为3∶8
6.单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-,则a与b夹角的余弦值为 ;若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围为 .
思想方法练
一、函数与方程思想在向量问题中的应用
1.在△ABC中,M是AB上的点且满足,N是AC上的点且满足,CM与BN交于点P,设=a,=b,则=( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
2.(2025江苏无锡锡东高级中学月考)已知非零向量=0,且|,点D是△ABC的边AB上的动点,则的最小值为( )
A.-1 B.-
二、数形结合思想在向量问题中的应用
3.(2025江浙皖高中发展共同体联考)已知向量a,b,c满足a·c=|b-4c|=|c|=2,则|a-b|的最小值是( )
A.0 B.2 C. D.5
4.(2024江苏扬州红桥高级中学月考)已知四边形ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=,P为平面ABCD内一点,AC与BP相交于点Q.
(1)若,求x,y的值;
(2)求()·的最小值.
三、转化与化归思想在向量问题中的应用
5.(2025广东广州月考)在△ABC中,=(cos α,sin α)(m,α∈R),若对任意的实数t,||≥||恒成立,则BC长度的最小值是( )
A.
6.(2025江苏宿迁沭阳高级中学月考)如图,“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成的,中心重合于点O且三组边分别平行,点A,B是“六芒星”的两个顶点,动点P在“六芒星”(包括边界)内,则的取值范围是( )
A.[-2,2] B.
C.[-]
四、分类讨论思想在向量问题中的应用
7.(2025河北唐山第一中学月考)如图,延长正方形ABCD的边CD至点E,使得DE=CD,动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若,则下列判断不正确的是( )
A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B.满足λ+μ=1的点P有两个
C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个
D.满足λ+μ=的点P有两个
8.在平面直角坐标系中,已知三点A(2,0),B(t,1),C(3,t),t∈R,O为坐标原点.
(1)若△ABC是直角三角形,求t的值;
(2)若四边形ABCD是平行四边形,求||的最小值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
1.D 对于A,平面向量不满足乘法结合律,故A错误;
对于B,若向量共线,则点A,B,C,D在同一条直线上或AB∥CD(易错点),故B错误;
对于C,易得,所以4m=-2m(3-m),解得m=0(易错点)或m=5,故C错误;
对于D,延长AG交BC于点D,则D为BC的中点,且=0,故D正确.
2.AD 由题意知|a|=,|b|==5,a·b=1×(-3)+1×4=1.
对于A,cos
对于B,b在a上的投影向量为·a=a,故B错误;
对于C,设与b垂直的单位向量的坐标为(x0,y0),
则
所以与b垂直的单位向量的坐标为(易错点),故C错误;
对于D,因为向量a+λb与a-λb共线,
所以存在t∈R,使得a+λb=t(a-λb)=ta-λtb,则故D正确.
3.BCD 对于A,a和b可能为相反向量(注意共线可以是同向共线,也可以是反向共线),故A错误.
对于B,当a=-2b时,a∥b,但|a+b|≠|a|+|b|,充分性不成立,
当a=0或b=0时,|a+b|=|a|+|b|,此时a∥b,
当a≠0且b≠0时,由|a+b|=|a|+|b|得|a+b|2=(|a|+|b|)2,
即|a|2+2|a||b|cos
所以a∥b是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分条件,故B正确.
对于C,|a·b|=|a||b||cos
对于D,向量a在b上的投影向量为|a|cos
把2|a|=|b|代入上式得cos
易错警示 在将模的关系转换为向量之间的关系时,需要从向量方向的角度加以分析,若不能确定方向,则需分类讨论.
4.D ,不能推出△ABC为钝角三角形,故充分性不成立;
当△ABC为钝角三角形时,假设<0,故必要性不成立.
综上所述,“<0”是“△ABC为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.
易错警示 研究向量的夹角时要将两个向量平移到同一起点去观察,注意首尾相连的向量所呈现的角是其夹角的补角,同时注意向量的夹角的范围是[0,π],因此根据图形找向量的夹角时要注意夹角是相应有向线段所成的角还是该角的补角.如本题中向量的夹角是∠ABC的补角,不是∠ABC.
5.ACD 对于A,若a∥b,则sin θ=2cos θ,
可得tan θ=,故A正确.
对于B,若a,b的夹角为钝角,则,故B错误.
对于C,由平面向量a,b,c两两间的夹角都相等,得它们两两之间的夹角为0或,
当它们两两之间的夹角为0时,显然有|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+1+3=5;
当它们两两之间的夹角为=a,=b,=c,令方向相反,又|c|=3,所以|a+b+c|=||=3-1=2.
综上所述,|a+b+c|=2或5,故C正确.
对于D,若DE,
则S△ABC=2S△ACE=2×,
所以△AOC和△ABC的面积之比为3∶8,故D正确.
6.答案
解析 因为|a|=|b|=1,(a+2b)·(a-b)=-,
所以a2+a·b-2b2=-,即1+a·b-2=-,则a·b=,则cos
若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则(ka+b)·(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线(易错点).
由(ka+b)·(a+3b)>0,得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0,
即k+(3k+1)×,
当ka+b与a+3b共线时,有ka+b=λ(a+3b)(λ∈R),
即ka+b=λa+3λb,
易知a与b不共线,所以,
故实数k的取值范围为.
易错警示 求解此类题时常常会忽略两向量a,b共线的情形,认为a·b>0与向量a,b的夹角为锐角是等价的.设两个非零向量a与b的夹角为θ,当θ=0°时,cos θ=1,a·b=|a||b|;当θ为锐角时,cos θ>0,a·b>0且a·b≠|a||b|;当θ为直角时,cos θ=0,a·b=0;当θ为钝角时,cos θ<0,a·b<0且a·b≠-|a||b|.
思想方法练
1.B 如图,由,
由C,P,M三点共线,可得(λ∈R),即,
由N,P,B三点共线,可得(μ∈R),即,
故
根据平面向量基本定理的唯一性建立方程组.
故a+b.
2.C ∵同方向的单位向量,
∴以所在直线为∠BAC的平分线所在直线,
∵=0,∴∠BAC的平分线与BC垂直,故AB=AC.
取BC的中点O,连接AO,则AO⊥BC,
由题意得|,
∴|.
如图,以O为坐标原点,BC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
则B(-).
设λ),∴D(λ),
∴λ),
∴λ)=20λ2-4λ,
建系,利用坐标计算两个向量的数量积,转化为关于λ的一元二次函数求最值,体现了函数思想.
当λ=-.
思想方法 一般运用方程思想解决平面向量中的线性运算问题,解题的关键在于设置变量,然后利用已知条件或公式、定理构造方程(组)求解.
一般运用函数思想解决平面向量中的最值问题,解题的关键在于设置变量,将所求用变量表示出来,构造关于变量的函数,函数一般为二次函数、反比例函数等.在利用函数性质求解最值时,要注意变量的取值范围.
3.D 根据向量的数量积以及向量差的模为定值,画出图形,赋予|a-b|几何意义,将数转化为形,由图形特征求解,体现了数形结合思想.
令=c,=4c,
因为|b-4c|=2,所以b的起点为点A,终点在以点C为圆心,2为半径的圆上,
因为a·c=|c|=2,所以a在c上的投影向量的模为1,
所以a的起点为点A,终点在线段AB的垂直平分线l上,
所以|a-b|的最小值为a的终点与b的终点的距离的最小值,即线段DE最短时的长,易知当D位于M处,E位于N处时,线段DE的长最短,所以|a-b|的最小值为5.
4.解析 (1)当时,P为AD的中点,
易得△APQ∽△CBQ,所以,
所以,
所以x=-.
(2)根据图形特点建立平面直角坐标系,将形转化为数,通过向量的坐标运算进行求解,充分体现了数形结合的思想.
根据题意画出图形,并建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(2,0),B(0,0),C(1,),
取AB的中点M,连接PM,则M(1,0),,
设P(x,y),x,y∈R,则-y),
则(
=2[(1-x)(1-x)-y(-y)]
=2(x2+y2-2x-y+1)
=2,
故当x=1,y=.
思想方法 数形结合思想作为一种重要的数学思想方法,在平面向量中有重要的应用:
1.以数解形,化繁为简.可以通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算解决几何问题.
2.以形助数,化难为易.可以利用平面向量的几何表示、三角形法则、平行四边形法则和模的几何意义等将给出的向量在几何图形中表示出来,根据几何图形的相关知识,解决平面向量的相关计算问题.
5.C 画出图形,将不等式恒成立问题转化为几何图形中的垂线段最短问题,体现了转化与化归思想.
设,如图所示,
由||恒成立,知AC⊥BC,
因为=(cos α,sin α),
所以||=1,
所以|,
易知当m=-1时,|.
6.B 如图,由对称性得OB∥CD,连接AO,与CD交于点E,则E为AO,CD的中点,AO⊥OB,||=3××|=2×sin 30°=1,
P的位置不确定,可以根据数量积的几何意义将上的投影向量的模的范围问题,从而找到点P的临界位置,体现了转化与化归思想.
过点P作直线OB的垂线,垂足为P',
则向量,
所以,
如图,过点C作CC'⊥OB,交OB的延长线于点C',过点D作DD'⊥OB,交BO的延长线于点D',
所以|,
由图可得|反向,
所以当点P位于点C的位置时,,
当点P位于点D的位置时,,
所以.
思想方法 在向量问题中,常通过平面向量基本定理将待求向量转化为已知向量的和或差;在研究图形问题时,有时可通过画出图形,转化为图形中线段的长度问题;在求数量积时,有时可根据其几何意义转化为求投影向量的模问题;等等.这都是转化与化归思想在向量问题中的应用.
7.A 建立如图所示的平面直角坐标系,令AB=1,
则A(0,0),B(1,0),D(0,1),
∵,
∴=(λ-μ)(1,0)+μ(0,1)=(λ-μ,μ),
动点P的位置不确定,需要对P的位置分类讨论,体现了分类讨论思想.
动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,
当P∈AB时,0≤λ-μ≤1且μ=0,∴0≤λ≤1,∴λ+μ∈[0,1];
当P∈BC时,λ-μ=1且0≤μ≤1,则λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴λ+μ∈[1,3];
当P∈CD时,0≤λ-μ≤1且μ=1,则μ≤λ≤μ+1,∴1≤λ≤2,∴λ+μ∈[2,3];
当P∈AD时,λ-μ=0且0≤μ≤1,则λ=μ,∴0≤λ≤1,∴λ+μ∈[0,2].
综上,λ+μ∈[0,3].
选项A,令λ=μ=1,满足λ+μ=2,此时,
因此点P不一定是BC的中点,故A中判断错误.
选项B,若λ+μ=1,
则当P∈AB时,μ=0,则λ=1,点P为点B;
当P∈BC时,λ-μ=1,则λ=1,μ=0,点P为点B;
当P∈AD时,λ-μ=0,则λ=μ=,点P为AD的中点,
∴满足λ+μ=1的点P有两个,故B中判断正确.
选项C,若λ+μ=3,
则当P∈BC时,λ-μ=1,则λ=2,μ=1,点P为点C;
当P∈CD时,μ=1,则λ=2,点P为点C,
∴满足λ+μ=3的点P有且只有一个,故C中判断正确.
选项D,若λ+μ=,
则当P∈BC时,λ-μ=1,则λ=;
当P∈AD时,λ-μ=0,则λ=μ=,
∴满足λ+μ=的点P有两个,故D中判断正确.
8.解析 (1)由题意得,=(3-t,t-1),
由于不确定哪个角为直角,因此需分类讨论.
若∠A=90°,则=t-2+t=0,解得t=1;
若∠B=90°,则=(t-2)(3-t)+t-1=0,即t2-6t+7=0,解得t=3±;
若∠C=90°,则=3-t+t(t-1)=t2-2t+3=0,方程无实数解.
∴t的值为1或3±.
(2)若四边形ABCD是平行四边形,则,
设点D的坐标为(x,y),则=(x-2,y),
则(x-2,y)=(3-t,t-1),
所以故D(5-t,t-1),
则|
=,
所以当t=3时,|.
思想方法 利用向量法解决几何图形问题时,常根据几何图形的特点分类讨论.注意分类要全面,不要遗漏任何情况.
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同课章节目录
- 第9章 平面向量
- 9.1 向量概念
- 9.2 向量运算
- 9.3 向量基本定理及坐标表示
- 9.4 向量应用
- 第10章 三角恒等变换
- 10.1 两角和与差的三角函数
- 10.2 二倍角的三角函数
- 10.3 几个三角恒等式
- 第11章 解三角形
- 11.1 余弦定理
- 11.2 正弦定理
- 11.3 余弦定理、正弦定理的应用
- 第12章 复数
- 12.1 复数的概念
- 12.2 复数的运算
- 12.3 复数的几何意义
- 12.4 复数的三角形式
- 第13章 立体几何初步
- 13.1 基本立体图形
- 13.2 基本图形位置关系
- 13.3 空间图形的表面积和体积
- 第14章 统计
- 14.1 获取数据的基本途径及相关概念
- 14.2 抽样
- 14.3 统计图表
- 14.4 用样本估计总体
- 第15章 概率
- 15.1 随机事件和样本空间
- 15.2 随机事件的概率
- 15.3 互斥事件和独立事件