第9章　平面向量--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
第9章　平面向量
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.平面向量a与b的夹角为,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=(　　)
A.2
2.设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(　　)
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件　　　　B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件　　　　D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件
3.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,其边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,已知AB=2,P为弧上的点且∠PBC=45°,则=(　　)
A.+4
4.在△ABC中,点D是AC的中点,且BD=2,若点P为平面ABC内一点,则·()的最小值是(　　)
A.-　　　　D.-6
5.由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示,已知=a,=b,,则=(　　)
A.a+b　　　　B.a+b　　　　C.a+b　　　　D.a+b
6.已知.若点P是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值为(　　)
A.13　　　　B.5-2
7.如图,在等腰△ABC中,已知||=2,∠A=120°,E,F分别是边AB,AC上的点(包含边界),且,其中λ+2μ=1,若线段EF,BC的中点分别为M,N,则||的最小值是(　　)
A.
8.在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BC=2,AB=3CD=3,若P为△ABC三条边上的一个动点,且,则以下说法正确的是(　　)
①满足m=的点P有且只有1个;
②满足m+n=1的点P恰有2个;
③能使m+n取最大值的点P恰有2个;
④能使3m+2n取最大值的点P有无数个.
A.①②　　　　B.①③　　　　C.②③　　　　D.②④
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知a=(t,1),b=(2,t),则下列说法正确的是(　　)
A.|a|的最小值为1
B.若a⊥b,则t=0
C.若t=1,则与a垂直的单位向量只能为
D.若向量a与向量b的夹角为钝角,则t的取值范围为(-∞,0)
10.如图,在△ABC中,BC=12,D,E是BC的三等分点,则(　　)
A.　　　　B.若AB⊥AC,则=32
C.若=9,则=40　　　　D.若=4,则=88
11.如图,直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的一个定点,点A到l1,l2的距离分别为AE,AD的长,且AE=1,AD=2.点B是直线l2上的一个动点,过点A作AC⊥AB,交直线l1于点C,若G是l1,l2所在平面内一点,且=0,则(　　)
A.)　　　　B.△GAB面积的最小值是
C.||≥1　　　　D.存在最小值
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知向量a在向量b上的投影向量为b,且|a|=|b|,则向量a与向量b的夹角为　　　　.
13.已知向量a与b的夹角为,|b|=2,若对任意x∈R,恒有|b+xa|≥,则(t∈R)的最小值为　　　　.
14.如图,△AB1C1,△B1B2C2,△B2B3C3是三个边长为1的等边三角形,且有一条边在同一直线上,边B3C3上有5个不同的点P1,P2,P3,P4,P5,设mi=(i=1,2,…,5),则m1+m2+…+m5=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)如图,已知N是直角△ABC所在平面内一点,BC=AB=2,M是BC的中点,D是AM的中点.
(1)当时,求的值;
(2)当||=1时,求的取值范围.
16.(本小题满分15分)如图所示,在△ABC中,,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用;
(2)若,求实数λ和μ的值;
(3)确定点P在边BC上的位置.
17.(本小题满分15分)如图,在△ABC中,AB=2,AC=4,∠BAC=120°,.
(1)求的值;
(2)线段BC上是否存在一点P,使得CD⊥AP 若存在,请求出点P的位置;若不存在,请说明理由;
(3)若O是△ABC内一点,且满足=0(m∈R),求的最小值.
18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系中,已知A,C(7-m,0),t,m∈R,t≠0.
(1)若t=1,m=4,P为x轴上的一个动点,点A'(1,-2).
①当A',P,B三点共线时,求点P的坐标;
②求||的最小值;
(2)若t=sin θ,θ∈(0,π),且的夹角α∈,求m的取值范围.
19.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,定义两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的“相离度”为d(a,b)=,易知a,b平行的充要条件为d(a,b)=0.
(1)已知a=(2,1),b=(-4,2),求d(a,b);
(2)①已知a,b的夹角为θ1,c,d的夹角为θ2,证明:d(a,b)=d(c,d)的充要条件是sin θ1=sin θ2;
②在△ABC中,AB=2,AC=4,且AD=,P为△ABC内一点,若=0,求d().
答案全解全析
1.A　|a+2b|==
.
2.C　对于A,当a⊥b时,a·b=0,即x·(x+1)+2x=0,解得x=0或x=-3,必要性不成立,故A错误;
对于B,当a∥b时,2(x+1)=x2,解得x=1±,必要性不成立,故B错误;
对于C,当x=0时,a=(1,0),b=(0,2),故a·b=0,所以a⊥b,充分性成立,故C正确;
对于D,当x=-1+时,不满足2(x+1)=x2,所以a∥b不成立,充分性不成立,故D错误.
3.B　解法一:·(=2×2×cos 45°-2×2=2-4.
解法二:以B为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(0,0),C(2,0),因为P为弧上的点且∠PBC=45°,所以P(),
则),所以-4.
4.D　连接PD,因为D为AC的中点,所以,所以·(,
不妨以BD所在直线为x轴,BD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则D(-,0),设P(x,y),
则-x,-y)·(--x,-y)=x2-3+y2≥-3,
所以·(≥-6,
即·()的最小值为-6.
5.C　过F作FG⊥AB,垂足为G,设大正方形的边长为1,小正方形的边长为x,
因为,所以AF=2x,所以BF=AE=3x,
由勾股定理得AF2+BF2=AB2,即4x2+9x2=1,所以x=,
易得sin∠FAB=,即,得FG=6x2=,
cos∠FAB=,即,得AG=4x2=,
由平面向量基本定理可知a+b,
因为,所以a+b.
6.B　以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(t,0),C(t>0),
所以,
故=(0,2),
则=(1,2),即P(1,2),
故,
所以≤5-2,
当且仅当t=,即t=时,等号成立,所以的最大值为5-2.
7.B　连接AM,AN,图略.由题意可得),
所以],
则]
=[4(1-λ)2-4(1-λ)(1-μ)+4(1-μ)2]
=λ2+μ2-λμ-λ-μ+1,
又λ+2μ=1,所以,
由题可知所以0≤μ≤,
所以当μ=时,,故||的最小值为.
8.D　如图,,
当P在BC上时,设,λ∈[0,1],
∴)
=,
又,n=λ,
∴m+n=1+,3m+2n=3.
当P在AB上时,n=0,m∈[0,1],故m+n∈[0,1],3m+2n∈[0,3].
当P在AC上时,设,t∈[0,1],
∴,
∴m=,3m=n,3m+2n=3t∈[0,3].
①当m=时,n=0或n=1,若n=0,则P在AB上,若n=1,则点P就是点C,
满足条件的点P有2个,故①错误;
②当m+n=1时,m=1,n=0或m=,若m=1,n=0,则点P就是点B,若m=,则点P在AC上,
满足条件的点P有2个,故②正确;
③易知m+n的最大值为,此时m=,n=1,这样的点P有且只有1个,故③错误;
④易知3m+2n的最大值为3,当P在BC上时,恒有3m+2n=3,满足条件的点P有无数个,故④正确.
9.AB　对于A,|a|=,则当t=0时,|a|取得最小值,为1,故A正确;
对于B,若a⊥b,则2t+t=0,解得t=0,故B正确;
对于C,若t=1,则a=(1,1),易知也是与a垂直的单位向量,故C错误;
对于D,若a与b的夹角为钝角,则cos=<0,且向量a与b不反向共线,即t2-2≠0,所以t<0且t≠-,故D错误.
10.ABD　对于A,,故A正确;
对于B,若AB⊥AC,则=0,
易知,
所以×122=32,故B正确;
对于C,由B知+5,
因为,所以=144,所以+144=162,故×162+5=41,故C错误;
对于D,=4,
由C中分析知=144,
所以=4,
则=88,故D正确.
11.ABC　记AB的中点为F,连接CF,以D为原点,DB,DE所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,2),E(0,3),设C(m,3),B(n,0),G(x,y),m,n,x,y∈R,且m,n≠0,
所以=(m-x,3-y),
因为AC⊥AB,所以=0,即mn-2=0,
故n=,即B,所以,
因为=0,所以
解得即G,
所以,
又因为×+(m,1)=,所以),故A正确;
因为=0,所以),
即,所以G,C,F三点共线,且G为CF上靠近F的三等分点,
所以S△GAB=S△ABC=|·||
=
=,
当且仅当m2=,即m=±1时取等号,
所以△GAB面积的最小值为,故B正确;
|
≥=1,
当且仅当=m2,即m=±时取等号,
所以||≥1,故C正确;
=-
=,
易知函数y=m2--7(m≠0)没有最小值,即没有最小值,故D错误.
12.答案　
解析　向量a在向量b上的投影向量为·b=b,∴a·b=|b|2,
∵|a|=|b|,∴cos=,
∵∈[0,π],∴=.
13.答案　
解析　∵|b+xa|≥,∴|b+xa|2≥,整理可得a2x2+2|a|x+|a|-a2≥0(*),　
由题意知|a|≠0,若对任意x∈R,(*)式恒成立,则Δ=4|a|2-4|a|2≤0,
即≤0,∴|a|=2.
又t∈R,∴
=,
∴.
14.答案　
解析　由题意知△AB1C2为等腰三角形,∠AB1C2=120°,∠AB3C3=60°,所以∠C2AB3=30°,AC2=,
延长AC2,B3C3交于点D,如图所示,则∠D=90°,
所以,故=0,
所以mi=·(×3×cos 30°+0=,
所以m1+m2+…+m5=.
15.解析　(1)以B为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,2),B(0,0),C(2,0),M(1,0),D,则,(2分)
设N(x,y),由,得(x,y-2)=2(2-x,-y),
则解得x=,所以N,(4分)
所以,
所以.(6分)
(2))·()·(--1,(8分)
当||=1时,N点的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,所以(,(10分)
(,(12分)
所以的取值范围为[5-2].(13分)
16.解析　(1),(2分)
.(4分)
(2)由题意及(1)知,
且,(6分)
∴(1-λ),
∵不共线,∴(8分)
(3)设,由题可知01.
由(2)知,
∴,(10分)
又,
∴,
∵不共线,∴(12分)
∴,即=2.(14分)
∴点P为BC上靠近点C的三等分点.(15分)
17.解析　(1),(2分)
∴.(4分)
(2)假设线段BC上存在一点P,使得CD⊥AP,
设(0≤λ≤1),∵,
∴,(6分)
∵CD⊥AP,∴=0,
∴·[λλ=0,解得λ=,满足题意.(8分)
故线段BC上存在一点P,使得CD⊥AP,此时CP=CB.(9分)
(3)∵,
∴|,(10分)
∵=0(m∈R),∴=0,
∴3=0,
∴m,∴O,A,E三点共线,(11分)
∴-m|·||≥-3·,当且仅当|,即O为AE的中点时取等号,(13分)
又·(,
所以的最小值为-.(15分)
18.解析　(1)①设P(x,0),因为m=4,所以B(4,2),
因为A'(1,-2),所以=(3,4),(2分)
因为A',P,B三点共线,
所以4(x-1)=6,解得x=,
所以当A',P,B三点共线时,点P的坐标为.(4分)
②因为t=1,所以A(1,2).
因为A(1,2)关于x轴对称的点为A'(1,-2),
所以||,
所以当A',P,B三点共线时,||取得最小值,为|=5,(6分)
故||的最小值为5.(8分)
(2)因为t=sin θ,所以A,
又B,C(7-m,0),
所以.
因为的夹角α∈,
所以>0恒成立,
即=sin θ+m-7+>0恒成立,(10分)
又因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,
所以sin2θ-7sin θ+msin θ+16-3m>0,
即(3-sin θ)m又因为3-sin θ>0,
所以m<,θ∈(0,π)恒成立.(13分)
令3-sin θ=k,则k∈[2,3),
则m<+1,(15分)
因为k++1≥2+1=5,当且仅当k=2时等号成立,所以m的取值范围是m<5.(17分)
19.解析　(1)d(a,b)=.(2分)
(2)①证明:cos2+d2(a,b)==1,(4分)
因为d(a,b)≥0,∈[0,π],
所以d2(a,b)=1-cos2=sin2,
所以d(a,b)=sin.(6分)
若d(a,b)=d(c,d),则sin=sin,即sin θ1=sin θ2,充分性成立;
若sin θ1=sin θ2,则sin=sin,即d(a,b)=d(c,d),必要性成立.
综上,d(a,b)=d(c,d)的充要条件是sin θ1=sin θ2.(8分)
②因为,所以,所以,即,所以=-4,(10分)
由=0,可知点P为△ABC的重心,则,所以,(12分)
则,　(14分)
,
可得cos2<,(16分)
所以d(.(17分)
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