第10章 三角恒等变换复习提升--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对公式结构把握不准确致错
1.(2025江苏徐州侯集高级中学适应性考试)已知sin(α-β)=2cos(α+β),tan(α-β)=,则tan α-tan β=(　　)
A.
2.(2025内蒙古包头第九中学阶段性考试)求证:(1);
(2).
易错点2　三角恒等变换中忽略角的范围致错
3.(2025江苏南京、镇江、徐州联盟调研)已知角α,β满足sin α=,cos β=-,且-,0<β<π,则sin(α-β)=　　 　;α+=　　 　.
4.(2025江苏徐州期中)已知α∈,β∈,tan α=.
(1)求sin的值;
(2)求α+β的大小.
易错点3　不能正确利用角之间的关系进行变换致错
5.(2024江苏徐州睢宁第一中学模拟)已知sin,则tan=　　　　.　
6.(2025江苏扬州邗江中学阶段测试)已知α,β∈,且cos.　
(1)求sin 2α的值;
(2)求α-β的值.
思想方法练
一、函数与方程思想在三角恒等变换中的应用
1.(2025江苏连云港赣榆高级中学学情检测)如图,在扇形OAB中,半径OA=4,∠AOB=90°,C在半径OB上,D在半径OA上,E是扇形弧上的动点(不包含端点),则平行四边形BCDE的周长的取值范围是(　　)
A.(8,12]　　　　 B.(8,12]
C.(8,8]
2.(多选题)(2025江苏连云港期末)已知,则(　　)
A.sin x+cos x=　　　　　 B.sin xcos x=-
C.|sin x|+|cos x|=　　　　　D.tan x=
二、分类讨论思想在三角恒等变换中的应用
3.(2025福建福州月考)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在直线y=2x上,则(　　)
A.sin α=-　　　　B.cos α=
C.tan α=2　　　　 D.sin 2α=-
4.(多选题)(2024吉林G6教考联盟期末)若=1,则角θ的取值范围可能为(　　)
A.
C.
三、转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
5.(2024江苏南京期末联考)已知α∈,β为锐角,cos,则sin的值为(　　)
A.
C.
6.(2025江苏宿迁沭阳塘沟高级中学调研)已知α,β∈,sin(2α+β)=2sin β,则tan β的最大值为(　　)
A.
7.(2025江苏南京金陵中学学情调研)在平面直角坐标系xOy中,A(),若点P(x,y)是线段AB上的动点,设∠BOP=θ,则+sin θ的最大值为(　　)
A.
8.已知0<β<,求sin(α+β)的值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.C　因为sin(α-β)=2cos(α+β),
所以sin αcos β-cos αsin β=2(cos αcos β-sin αsin β),
两边同时除以cos αcos β,得tan α-tan β=2-2tan α·tan β,即tan α·tan β=1-.
则tan(α-β)=,∴tan α-tan β=.
易错警示　在使用两角和与差的正、余弦公式时不要把“+”“-”以及函数名称记错,两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号相异”,两角和与差的正弦公式可简记为“异名相乘,符号相同”.
2.证明　(1)左边=
=
==右边.
(2)右边=
=
=
=
=
==左边.
3.答案　-
解析　因为-,
因为0<β<π,cos β=-,
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=××.
因为0<β<π,所以0<,
则cos,
所以sin××,
因为-.
4.解析　(1)因为tan α=,
所以(舍去负值),
所以sin 2α=2sin αcos α=,
所以sin××.
(2)因为α∈(易错点),
又cos(β-α)=,
所以sin(α+β)=sin[(β-α)+2α]=sin(β-α)cos 2α+cos(β-α)sin 2α=××,
故α+β=.
易错警示　在求三角函数值时要注意角的范围,由角的范围确定三角函数值的符号;在由三角函数值求角时,要先确定角的范围,要特别注意根据三角函数值的正负写出角的隐含范围.
5.答案　5
思路点拨
所求角与已知角之间没有明显的特殊关系,但由条件等式的右边含有,将待求式中的角用x表示,然后结合万能公式进行求解.
解析　设x=2α-,
整理可得sin x+cos x=,
由万能公式可得sin x+cos x=,
由x=2α-(易错点),
故tan,
由诱导公式可得tan,
由两角和的正切公式可得tan,
故tan=5.
6.解析　(1)∵α∈,∴α-,
∴sin,
∴sin=2××,
cos-1=2×,
∴sin 2α=sin××.
(2)∵β∈,∴β+,∴cos,
∴sin(α-β)=sin
-××,
∵α,β∈,∴α-β∈,∴α-β=-.
易错警示　在三角恒等变换中求值或求角时,要注意观察已知式与所求式之间的结构特征,必要时要进行角的变换,如本题中把2α变成,在平时练习中要多掌握变换的技巧,这些技巧能为解题提供思路.
思想方法练
1.A　以O为原点,OB,OA所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
设∠BOE=2θ,则E(4cos 2θ,4sin 2θ),θ∈,
从而DE=4cos 2θ,OD=4sin 2θ,OC=4-4cos 2θ,
DC==8sin θ,
故平行四边形BCDE的周长为2(DE+DC)=2(4cos 2θ+8sin θ)=-16+12.
构建关于sin θ的二次函数,结合sin θ的范围求解,体现了函数的思想.
因为0<θ<,
则8<-16+12≤12,即平行四边形BCDE的周长的取值范围是(8,12].
2.BC　,
令t=sin x+cos x=],
将t看成关于x的函数,体现了函数的思想.
则sin xcos x=或t=3(舍去),
根据sin xcos x和sin x+cos x的关系,构建一元二次方程,求出t的值,体现了方程的思想.
所以sin x+cos x=-,故A错误,B正确;
易知sin x,cos x是方程m2+=0的两根,
将sin x,cos x看成方程m2+=0的两根,利用求根
公式得解,体现了方程的思想.
解得m=,
所以
所以|sin x|+|cos x|=,故C正确;
tan x=,故D错误.
思想方法　三角恒等变换问题中,常通过相关公式得到方程(组),以达到求解的目的,这是方程思想的重要体现,在求解范围或最值问题时,可通过构造相关的函数,利用函数的性质求解,这体现了函数思想.
3.C　当角α的终边在第一象限内时,取终边上一点(1,2),此时sin α=,tan α=2,
则sin 2α=2sin αcos α=2××;
当角α的终边在第三象限内时,取终边上一点(-1,-2),
此时sin α=-,tan α=2,
则sin 2α=2sin αcos α=2××.
4.BD　
=,
则=1,满足条件;若角θ的终边不在坐标轴上,则cos θ与sin θ异号,θ为第二或第四象限角,
结合选项,不妨令θ∈,
若θ∈;
若θ∈.
思想方法　三角恒等变换问题涉及的分类讨论主要是角的终边位置不确定,所对应的三角函数值也不确定.常通过讨论角的终边所在位置判断正负.
5.A　∵α∈,β为锐角,
∴α-.
∵cos,
∴sin.
∵β-,
∴sin
=-cos
=-cos(α+β)cos
=-××.
6.B　因为sin(2α+β)=2sin β,
所以sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α],
通过角的变换将2α+β转化为(α+β)+α,将β转化为(α+β)-α,便于应用公式.
即sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=2[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α],
即3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α,
所以tan(α+β)=3tan α,
因为tan α>0,tan β>0,
所以tan β=tan[(α+β)-α]=,
所以tan β=时等号成立,
将求tan β的最大值问题转化为求只含tan α的式子的最大值问题,再结合基本不等式求解.
故tan β的最大值为.
7.B　由已知得),
则cos∠AOB=,
又0<∠AOB<π,∴∠AOB=,
∵P为线段AB上的动点,∴∠BOP∈=(x,y),
则,
则|cos∠BOP=2cos∠BOP.
将代数式转化为向量的数量积,进而转化为求角的余弦值.
所以.
8.解析　∵0<β<,∴<π.
∵sin,
∴cos.
∵,∴-,∴--α<0,
∵cos,∴sin,
∴cos××.
∵cos=-sin(α+β),
通过诱导公式将求α+β的正弦值转化为求-α的差的余弦值,充分体现了转化与化归思想.
∴sin(α+β)=.
思想方法　转化与化归思想是三角恒等变换问题中最基本、应用最广泛的数学思想,它贯穿于三角恒等变换问题的始终,在解题过程中要认真体会并理解,学会灵活应用.在解决问题时,要注意“三看”:(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算的角转化;(2)看名称,把一个式子尽量化成关于同一三角函数名称的式子;(3)看式子,看它是否满足三角函数的相关公式,如果满足,则直接使用公式;如果不满足,则转化角或转换三角函数名称,使其可以使用公式.
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