第10章　三角恒等变换--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
第10章　三角恒等变换
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.“cos 2α=-”是“cos α=”的(　　)
A.必要不充分条件　　　　B.充分不必要条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
2.如图所示,cos 2∠AOB=(　　)
A.
3.已知θ∈,则tan=(　　)
A.　　　　C.2　　　　D.3
4.已知角α,β∈(0,π),cos α=,则角β的值为(　　)
A.
5.已知α+β=,若cos 2α+cos 2β=,则sin 2α-sin 2β=(　　)
A.±
6.在△ABC中,已知=nsin C,=ncos C,若tan=-3,则n的值为(　　)
A.无解　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
7.在边长为2的正方形ABCD中作Rt△EFG,直角顶点G为AB的中点,其他两顶点E,F分别在边AD,BC上运动,则△EFG的周长的取值范围为(　　)
A.　　　　
B.
C.　　　　
D.[2,5]
8.对于函数f(x)=,下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间上单调递增
C.当x=+kπ(k∈Z)时,函数f(x)取到最大值
D.若f(α)=,则tan α=2
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知cos αcos β=,则(　　)
A.sin αsin β=-　　　　B.cos(α-β)=
C.tan αtan β=　　　　D.sin 2αsin 2β=-
10.《周髀算经》中给出了弦图,弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形,若图中直角三角形的两锐角分别为α,β,其中小正方形的面积为4,大正方形的面积为9,则下列说法正确的是(　　)
A.每一个直角三角形的面积均为
B.3sin β-3cos α=2
C.3sin β-3sin α=2
D.cos(α-β)=
11.已知函数f(x)=2sin x+cos x,x∈[0,2π],则(　　)
A.若x1+x2=,则|f(x1)+f(x2)|≤3
B.若x1-x2=,则|f(x1)f(x2)|≤
C.若f(x1)+f(x2)=0,x1≠x2,则|x1-x2|=π
D.若f(x1)=f(x2)=,x1≠x2,则|x1-x2|=
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若5sin 2α=-8sin α,α∈,则cos的值是　　　　.
13.设f(x)=,则f(28°)+f(29°)+f(30°)+f(31°)+f(32°)=　　　　.
14.已知α为锐角,β为钝角,且sin α=,则tan β=　　　　;β-2α=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知向量m=(-cos x,sin x),n=(sin x+2cos x,sin x),函数f(x)=m·n+.
(1)若x∈,求f(x)的最小值;
(2)若x∈,f(x)=-1,求cos的值.
16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=cos4.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(α)=,tan β=,α,β均为锐角,求α+β.
17.(本小题满分15分)已知向量a=(2sin x,1),b=,x∈.
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b.
(i)若对于任意x1,x2∈,|f(x1)-f(x2)|≤λ恒成立,求实数λ的最小值;
(ii)若关于x的不等式af -f ≥2有解,求实数a的取值范围.
18.(本小题满分17分)某大型商场为迎接新年的到来,在自动扶梯AC(其长度大于5米)的C点的正上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE,如图所示,广告牌底部的点E正好为DC的中点,自动扶梯AC的坡度为(即∠CAB=30°).某人在扶梯上的点P处(异于点C)观察广告牌的视角为∠DPE=θ,当此人在A点时,观察广告牌的视角(即∠DAE)的正切值为.
(1)设BC的长为m米,用m表示tan∠DAB;
(2)求自动扶梯AC的长度;
(3)当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时,求CP的长.
19.(本小题满分17分)定义:μ=[sin2(θ1-θ0)+sin2(θ2-θ0)+…+sin2(θn-θ0)]为实数θ1,θ2,…,θn对θ0的“正弦方差”.
(1)若θ1=,θ3=π,则实数θ1,θ2,θ3对θ0的“正弦方差”μ的值是与θ0无关的定值吗 证明你的结论;
(2)若θ1=,θ2=α,θ3=β,α∈,β∈(π,2π),实数θ1,θ2,θ3对θ0的“正弦方差”μ的值是与θ0无关的定值,求α,β的值.
答案全解全析
1.A　由cos 2α=-得2cos2α-1=-,即cos2α=,解得cos α=±,
所以“cos 2α=-”是“cos α=”的必要不充分条件.
2.C　由题意知OA=,
则sin∠AOx=,cos∠AOx=,sin∠BOx=,cos∠BOx=,
故cos∠AOB=cos(∠AOx-∠BOx)=cos∠AOxcos∠BOx+sin∠AOxsin∠BOx=,
故cos 2∠AOB=2cos2∠AOB-1=2×.
3.D　由已知可得
所以tan θ=,
故tan=3.
4.C　因为α,β∈(0,π),且cos α=,所以sin α=,
因为sin(α+β)=,所以sin α>sin(α+β),所以α+β为钝角,所以cos(α+β)=-,
则cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-,
因为β∈(0,π),所以β=.
5.A　∵cos 2α+cos 2β=,∴cos [(α+β)+(α-β)]+cos [(α+β)-(α-β)]=,
∴2cos(α+β)cos(α-β)=,
∵α+β=,故cos(α-β)=,
∴sin(α-β)=±,
∴sin 2α-sin 2β=sin [(α+β)+(α-β)]-sin [(α+β)-(α-β)]=2cos(α+β)sin(α-β)=±.
6.A　由tan=-3,得tan A=2,则cos A≠0,
由=nsin C,=ncos C知cos B≠0,cos C≠0,则=tan C,则tan A=tan B·tan C=2,
因为tan A=tan(π-B-C)=-tan(B+C)=-=tan B+tan C,所以tan B+tan C=2,
设tan B=t,则tan C=2-t,所以t(2-t)=2,
即t2-2t+2=0,其判别式Δ=4-8=-4<0,即该方程无解,故不存在这样的三角形,即n无解.
7.A　设∠AGE=α,则≤sin α≤,AG=BG=1,
所以GE=,
则EF=,
所以△EFG的周长L=,
易知0<αmin<,且sin αmin=cos αmax=,cos αmin=sin αmax=,
令t=sin α+cos α=,则t∈,易知sin αcos α=,所以L=,
又-1≤t-1≤-1,所以≤L≤,
解得2+2≤L≤,
即△EFG的周长的取值范围为.
8.C　因为f(x)=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x,
所以f(x)的最小正周期T==π,故A不正确;
对于B,当x∈时,2x∈,由正弦函数y=sin x的单调性知B不正确;
对于C,当x=+kπ(k∈Z)时,f(x)=(k∈Z),故C正确;
对于D,由f(α)=,得sin 2α=,即sin αcos α=,则,即,即2tan2α-5tan α+2=0,解得tan α=或tan α=2,又α∈,所以tan α=,故D错误.
9.ABD　由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,且cos αcos β=,得sin αsin β=,故A正确;
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,故B正确;
tan αtan β=,故C错误;
sin 2αsin 2β=2sin αcos α·2sin βcos β=4sin αsin β·cos αcos β=4×,故D正确.
10.ACD　由题可知,每一个直角三角形的面积均为(9-4)×,故A正确;
如图,设直角三角形中角α,β的对边分别为a,b,
则,a2+b2=9,sin β=,cos β=,sin α=,cos α=,
则3sin β-3cos α=0,故B错误;
由B中分析知3sin β-3sin α=b-a,由,a2+b2=9得ab==2,所以3sin β-3sin α=b-a=2,故C正确;
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,故D正确.
11.ABD　对于A,f(x1)+f(x2)=f(x1)+f
=2sin x1+cos x1+2sin
=3sin x1+3cos x1=3,
则|f(x1)+f(x2)|=3≤3,故A正确;
对于B,f(x2)=f=sin x1-2cos x1,
则f(x1)f(x2)=(2sin x1+cos x1)·(sin x1-2cos x1)
=2sin2x1-3sin x1cos x1-2cos2x1=-sin 2x1-2cos 2x1=-sin(2x1+φ),其中φ为锐角,且tan φ=,所以|f(x1)f(x2)|=|sin(2x1+φ)|≤,故B正确;
对于C,f(x)=2sin x+cos x=sin(x+α),其中α为锐角,且tan α=,
不妨取x1=0,x2=2π-2α,则x2∈(π,2π),
则f(x1)=sin α,f(x2)=f(2π-2α)=sin α,
此时f(x1)+f(x2)=0,但|x1-x2|≠π,故C错误;
对于D,因为f(x1)=f(x2)=,
即,
所以sin(x1+α)=sin(x2+α)=,
因为tan α=,α为锐角,所以0<α<,
不妨设x1所以所以x2-x1=,故|x1-x2|=,故D正确.
12.答案　
解析　由5sin 2α=-8sin α得10sin αcos α=-8sin α,　
又α∈,所以sin α≠0,故cos α=-,
又cos α=2cos2-1,所以cos2,
因此cos,
易知,所以cos.
13.答案　
解析　f(x)+f(60°-x)
=
=
=
=
=
=,
所以f(28°)+f(32°)=,
所以f(28°)+f(29°)+f(30°)+f(31°)+f(32°)=2.
14.答案　-
解析　因为α为锐角,sin α=,所以cos α=,所以tan α=,
则tan β=tan(β-α+α)=.
易得cos 2α=1-2sin2α=,2α∈(0,π),
则sin 2α=,
所以tan 2α=,
则tan(β-2α)==-1.
因为0又<β<π,所以0<β-2α<π,所以β-2α=.
15.解析　(1)由题意得f(x)=m·n+=-cos x(sin x+2cos x)+sin2x+sin xcos x-2cos2x+sin2x+sin 2x-cos 2x-1+sin 2x-cos 2x=-,(3分)
由0≤x≤,得≤2x+,
所以当2x+,即x=时,f(x)取得最小值,为-.(6分)
(2)由0≤x≤,得≤2x+≤π,
由f(x)=-1,得-=-1,所以sin,(8分)
因为0<,所以<π,所以cos<0,
所以cos,(11分)
因此cos
=
=.(13分)
16.解析　(1)易得f(x)=cos4-sin x=cos x-sin x=-,(2分)
所以f(x)的最小正周期为=2π.(3分)
(2)由(1)得f(α)=-,
则sin,　(4分)
因为α∈,所以α-,
又sin<0,所以α-,(6分)
所以cos,(7分)
所以sin α=sin,(9分)
所以cos α=,(10分)
因为tan β=,β为锐角,所以
解得sin β=,cos β=,(13分)
由α,β均为锐角,得α+β∈(0,π),
又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=>0,所以α+β=.(15分)
17.解析　(1)由a∥b,得sin x=coscos x-sin x,可得sin x-cos x=0,
所以=0,(2分)
又x∈,所以x=.(3分)
(2)(i)f(x)=a·b=2sin xcossin xcos x-sin2x+sin 2x+cos 2x=sin,　(5分)
当x∈时,2x+,
则sin,(6分)
因为对于任意x1,x2∈,|f(x1)-f(x2)|≤λ恒成立,所以λ≥,故实数λ的最小值为.(8分)
(ii)由题意知asin≥2有解,
所以asin≥2有解,
即acos x-cos 2x≥2有解,(10分)
所以cos 2x-acos x+2=2cos2 x-acos x+1≤0有解,
令t=cos x,则t∈,则2t2-at+1≤0在t∈上有解,则a≥,(12分)
因为2t+≥2,当且仅当2t=,即t=时取等号,所以a的取值范围为a≥2.(15分)
18.解析　(1)因为在直角三角形ABC中,∠CAB=30°,∠B=90°,BC=m米,所以AB=m米,(2分)
因为DE=5米,E是DC的中点,所以DB=2DE+BC=(10+m)米,
所以在Rt△DAB中,tan∠DAB=.(5分)
(2)由(1)知tan∠DAB=.
易知在直角三角形EAB中,tan∠EAB=,
因为tan∠DAE=,∠DAB=∠EAB+∠DAE,
所以tan∠DAB=tan(∠EAB+∠DAE)
=,
即,解得m=或m=5,(8分)
当m=时,AC=2m=5米(舍去),
当m=5时,AC=2m=10米,
所以自动扶梯AC的长度为10米.(10分)
(3)作PQ⊥BC于点Q,如图所示,
设CQ=x米,则PQ=x米,PC=2x米,
由(2)可知x∈(0,5],tan∠DPQ=,tan∠EPQ=,(12分)
当tan∠DPE取最大值时,∠DPE最大,(13分)
易得tan∠DPE=tan(∠DPQ-∠EPQ)=
=,当且仅当x=时,等号成立,(16分)
所以当视角θ最大时,CP=2x=5(米).(17分)
19.解析　(1)“正弦方差”μ的值是与θ0无关的定值.(1分)
证明如下:若θ1=,θ3=π,
则μ=
=[1-cos(2π-2θ0)]
=
=(3分)
=
=(-cos 2θ0+cos 2θ0)=.(5分)
(2)由题意得,
μ=
=[1-cos(2β-2θ0)]
=cos+cos(2α-2θ0)+cos(2β-2θ0)
=(sin 2θ0+cos 2αcos 2θ0+sin 2αsin 2θ0+cos 2βcos 2θ0+sin 2βsin 2θ0)
=[sin 2θ0(1+sin 2α+sin 2β)+cos 2θ0(cos 2α+cos 2β)],(7分)
因为μ的值是与θ0无关的定值,
所以(9分)
因为α∈,β∈(π,2π),所以2α∈(π,2π),2β∈(2π,4π),
由cos 2α+cos 2β=0可知,2α+2β=5π或2β-2α=π,即α+β=或β-α=,
若β-α=,则sin 2α+sin 2β=sin 2α+sin(π+2α)=0≠-1,故舍去.(11分)
对sin 2α+sin 2β=-1,cos 2α+cos 2β=0两式的等号两边分别平方后相加,可得2+2cos(2β-2α)=1,即cos(2β-2α)=-,
因为2β-2α∈(0,3π),所以2β-2α=,即β-α=.(13分)
当时,解得不满足题意;
当时,解得满足题意;
当时,解得满足题意.(16分)
故(17分)
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