第11章 解三角形复习提升--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略三角形边角关系的隐含条件致错
1.已知钝角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=k,b=k+2,c=k+4(k>0),则实数k的取值范围为(　　)
A.(1,6)　　　　B.(0,2)　　　　C.(0,6)　　　　D.(2,6)
2.(多选题)(2025江苏连云港东海高级中学月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列命题为真命题的是(　　)
A.若sin 2A>sin 2B,则A>B
B.若asin A=bsin B,则△ABC为等腰三角形
C.若acos A=bcos B,则△ABC为等腰三角形
D.若2a=b+c,sin2A=sin Bsin C,则△ABC一定是等边三角形
3.(2024江苏无锡江阴长泾中学阶段性检测)在△ABC中,sin A=,cos B=,则sin C=　　　　.　
4.(2024北京朝阳陈经纶中学期中)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=sin B+sin A=2.
(1)求角A的大小;
(2)求△ABC的面积.
易错点2　忽略三角形中角的范围致错
5.(2024江苏连云港海州高级中学学情调查)设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=2A,则的取值范围是　　　　.
6.(2025江苏常州第一中学适应性测试)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2-a2=ac.
(1)求证:B=2A;
(2)求的取值范围.
思想方法练
一、函数与方程思想在解三角形问题中的应用
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,若角C的平分线交AB于点D,且CD=,a=3b,则c的值为(　　)
A.3　　　　B.
2.(2025江苏南京第二十九中学月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,则的最大值为(　　)
A.
3.(2025江苏苏州中学期中)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos C=a+ccos B,b=2,则△ABC的面积的最大值为(　　)
A.
二、分类讨论思想在解三角形问题中的应用
4.(2024山东莱州第一中学开学考试)在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,则b=　　　　.
5.(2025江苏镇江第一中学月考)如图,已知在东西走向上有AM,BN两座发射塔,且AM=100 m,BN=200 m,一辆测量车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°,该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B的仰角为θ,经计算tan θ=2,则两发射塔顶A,B之间的距离为　　　　　m.
6.(2025四川眉山第一中学模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin Acos B=2sin A-cos Asin B.若b=3,sin C=,则△ABC的面积为　　　　.
三、转化与化归思想在解三角形问题中的应用
7.(2024江苏如皋中学月考)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足,则的取值范围为　　　　　.
8.(2025江苏无锡市北高级中学期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(tan A+tan B)=2ctan B.
(1)求A的值;
(2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围;
(3)若△ABC为锐角三角形,且△ABC的面积为S,求的取值范围.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.D　∵c>b>a,且△ABC为钝角三角形,∴C为钝角.
由余弦定理,得cos C=<0,
∵k>0,∴k2-4k-12<0,∴0∵在△ABC中,两边之和大于第三边,
∴k+(k+2)>k+4(易错点),∴k>2.
综上,实数k的取值范围是(2,6).
易错警示　本题易忽略三角形的构成条件,即两边之和大于第三边,从而扩大k的取值范围.
2.BD　对于A,当A=30°,B=90°时,满足sin 2A>sin 2B,此时A对于B,若asin A=bsin B,由正弦定理得a2=b2,所以a=b,所以△ABC为等腰三角形,故B正确;
对于C,若acos A=bcos B,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,
所以2A=2B或2A+2B=π(易错点),即A=B或A+B=,则△ABC是等腰三角形或直角三角形,故C错误;
对于D,由sin2A=sin Bsin C及正弦定理得a2=bc,因为2a=b+c,所以4a2=b2+c2+2bc,即(b-c)2=0,所以a=b=c,故△ABC为等边三角形,故D正确.
3.答案　
解析　在△ABC中,0故sin B=,
因为sin A=由三角形中大边对大角可得A所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.
易错警示　本题由sin A4.解析　(1)由题意,结合正弦定理得,
∴sin B=3sin A,
结合sin B+sin A=2,得sin A=,
∵△ABC为锐角三角形,∴A=.
(2)由余弦定理得a2=c2+9-6ccos=7,解得c=1或c=2.当c=1时,cos B=<0,故B为钝角(易错点),这与△ABC为锐角三角形矛盾,故不满足条件;
当c=2时,满足题意,此时△ABC的面积为bc·sin A=.
易错警示　在解三角形时,若三角形有两解,则要根据题中条件进行检验,否则可能会产生增根,如本题中求出c有2个值后进行检验,舍去c=1的情形.
5.答案　(2+2)
解析　因为C=2A,所以sin C=sin 2A=2sin Acos A,cos C=cos 2A=2cos2A-1,
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
故由正弦定理可得
=4cos A+cos C+
=4cos A+2cos2A-1+2cos2A
=4cos2A+4cos A-1,
因为△ABC为锐角三角形,所以A∈,C=2A∈,B=π-3A∈(易错点),
所以A∈,则cos A∈,
因为y=4cos2A+4cos A-1=4-2在cos A∈上单调递增,
所以4cos2A+4cos A-1∈(2+2),
即∈(2+2).
6.解析　(1)证明:由得ac=c2-2accos B,即a=c-2acos B,由正弦定理得sin A=sin C-2sin Acos B=sin(A+B)-2sin Acos B,即sin A=sin(B-A),
因为A,B为△ABC的内角,所以A=B-A,故B=2A.
(2)因为△ABC是锐角三角形,
所以解得A∈,
故,
因为B=2A∈,所以sin B∈,则,
所以.
易错警示　当已知三角形为锐角三角形时,要保证三个角均为锐角,在解三角形时要注意这个隐含条件.
思想方法练
1.C　因为CD平分∠ACB,
所以=3,所以BD=c,
在△BCD和△DCA中分别应用余弦定理得到方程,联立方程,通过解方程组求得a,b,c的值,充分体现了方程思想的应用.
在△BCD中,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,
即=a2+3-3a,
在△DCA中,DA2=CD2+CA2-2CD·CAcos∠DCA,
即=3+b2-3b,
联立
2.A　由题意得,当且仅当b=c时取等号,
令=t(t>0),
则sin A=6t-2tcos A,即6t=sin A+2tcos A=sin(A+φ)≤(其中tan φ=4t),
利用辅助角公式和三角函数的有界性,构造不等式求最值,充分体现了函数思想.
∴03.D　由题意,结合余弦定理得b·a+c·,
即b2+a2-c2=a2+a2+c2-b2,所以2b2=a2+2c2,
又b=2,所以a2+2c2=8,
因为cos B=,
所以sin B=,
所以S△ABC=acsin B=
=,
将三角形的面积利用边角关系进行消参,转化为关于a2的二次函数求最值,充分体现了函数思想.
所以当a2=,即a=时,S△ABC取得最大值,为.
思想方法　用正、余弦定理解三角形时,通常根据已知条件得到边或角的相关数据,然后结合定理或三角形面积公式来构造方程(组)求解.对于求最值或范围问题,常通过正、余弦定理进行边角互化,构造函数,转化为函数的最值问题,或利用基本不等式求解,这是函数与方程思想在解三角形中的重要体现.
4.答案　+1或-1
解析　∵,A=45°,a=2,
∴sin C=,
∴C=60°或C=120°.
角C有两个解,需分类讨论.
当C=60°时,B=75°,
则b=+1;
当C=120°时,B=15°,
则b=-1.
故b的值为+1或-1.
5.答案　100或100
解析　在Rt△AMP中,∠APM=30°,AM=100 m,所以PM=100 m,连接QM,
在△PQM中,∠QPM=60°,PQ=100 m,所以△PQM为等边三角形,则QM=100 m,∠PMQ=60°,
在Rt△BNQ中,因为tan θ=2,BN=200 m,则QN=100 m,
在△QMN中,由余弦定理得QN2=QM2+MN2-2QM·MNcos∠QMN,
即MN2-300MN+20 000=0,解得MN=100 m或MN=200 m,
MN的值有两个,分别求这两种情况下A,B之间的距离,体现了分类讨论思想.
过A作AH⊥BN于H,则BH=100 m,
当MN=100 m时,AB=(m),
当MN=200 m时,AB=(m),
所以两发射塔顶A,B之间的距离是100 m或100 m.
6.答案　
解析　由sin Acos B=2sin A-cos Asin B,得2sin A=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,
∴=2,由正弦定理可得c=2a,∴C>A.
只知道C的正弦值,无法判断其余弦值的正负,故需要分C为锐角和钝角两种情况讨论.
若C为锐角,则cos C=,由余弦定理得,整理得2a2+a-6=0,解得a=(负值舍去),
∴S△ABC=absin C=;
若C为钝角,则cos C=-,由余弦定理得-,整理得2a2-a-6=0,解得a=2(负值舍去),　
∴S△ABC=absin C=.
综上所述,△ABC的面积为.
思想方法　在解三角形问题中涉及的分类讨论主要有以下几个方面:三角形形状的不确定,利用正弦定理解三角形时出现两解的情况.讨论的关键是明确分类对象,做到不重不漏.
7.答案　()
解析　因为,
所以(c-b)cos C=c(cos B-cos C),
所以2ccos C=bcos C+ccos B,
由正弦定理得2sin Ccos C=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),
通过正弦定理将边转化为角.
又B+C=π-A,所以sin A=sin 2C,
因为在锐角△ABC中,0当A=2C时,B=π-A-C=π-3C,
所以,符合题意;
当A=π-2C时,B=π-A-C=π-(π-2C)-C=C,此时b=c,不合题意.
所以,
又=2cos C,将长度比值的范围问题,通过正弦定理和三角恒等变换转化为关于C的三角函数的值域问题.
所以=2cos C∈(),
则的取值范围为().
8.解析　(1)由题意及正弦定理得sin B×=2sin C×,所以,
因为sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以,由C∈(0,π)得sin C>0,
所以2cos Acos B=cos B,又cos B≠0,所以cos A=,
又A∈(0,π),所以A=.
(2)由正弦定理得,
利用正弦定理边化角,将边长的比值转化为角的比值,然后弦化切,利用三角函数的性质求范围.
因为△ABC为锐角三角形,所以,则tan B∈,可得∈(0,),
所以.
(3)由余弦定理得cos A=cos,即b2+c2=a2+bc,
由S=bcsin A=bc,得,
利用面积公式将所求式子转化为边长的关系,再利用正弦定理转化为角的关系,然后利用三角形的内角和消参.
sin Bsin C=sin Bsin=sin Bsin 2B+(1-cos 2B)=,
因为△ABC为锐角三角形,所以,可得,
则,即sin Bsin C∈,
所以,即.
思想方法　转化与化归思想在解三角形中的应用非常广泛,如解三角形时,常用正弦定理或余弦定理进行边角互化;求最值或范围问题时,常将所涉及的元素转化为某个角的三角函数值;实际应用中也常建立数学模型,将实际问题转化为数学问题来解决.
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