第11章 解三角形--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）
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| 名称 | 第11章 解三角形--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 405.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-06 16:50:55 | ||
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文档简介
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2026苏教版高中数学必修第二册
第11章 解三角形
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,“A>B”是“cos2AA.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asin B,bc=4,则△ABC的面积为( )
A.1 B.
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2acos2=b(1-cos A)+a,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4.第24届冬季奥林匹克运动会会徽(如图1)以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用30°,45°,60°,90°,120°,150°等特殊角度.如图2,为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求,该同学取端点绘制了△ABD,测得AB=5,BD=6,AC=4,AD=3,若点C恰好在边BD上,则sin∠ACD的值为( )
A.
5.在△ABC中,AC=1,AD⊥BC,垂足为D,且,则当∠BAC取得最大值时,△ABC的周长为( )
A.2+
6.在△ABC中,AD⊥BC于点D,∠CAD=2∠BAD=2θ,BD=1,设△ABD,△ACD的面积分别为S1,S2,当>4时,tan θ的取值范围为( )
A.
7.图1所示的是清风楼,位于河北省邢台市,始建于唐、宋年间,是邢台市地标性建筑之一,也是邢台历史人文的一个缩影.某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度,在与楼底O位于同一水平面的A,B,C三处进行测量,如图2.已知在A处测得楼顶P的仰角为30°,在B处测得楼顶P的仰角为45°,在C处测得楼顶P的仰角为60°,BC=AB=22米,则可得清风楼的高度OP=( )
A.22米 B.11米 C.11米 D.11米
8.在四边形ABCD中,设△ABC的面积为S1,△ACD的面积为S2,S1=BC,∠CAD=30°,∠BCD=120°,则的值为 ( )
A.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是( )
A.若a=5,b=10,A=,则符合条件的三角形不存在
B.若a=8,c=10,B=,则符合条件的△ABC有两个
C.若a4+b4=c4,则C<
D.若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为
10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=2,a=2,则( )
A.bccos A=2a B.b2+c2=8
C.角A的最大值为 D.△ABC面积的最大值为
11.已知对任意角α,β均有公式sin 2α+sin 2β=2sin(α+β)·cos(α-β).设△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2.记a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,则下列关系式一定成立的是( )
A.bc(b-c)<16 B.6≤abc≤12
C.4≤≤4 D.sin Asin Bsin C=
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A=60°,b+c=6,且△ABC的面积为,则△ABC的内切圆的半径为 .
13.如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=,∠ADC=,AB⊥AD,CD=4AB,则tan∠CAD= .
14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=asin C-ccos A,若△ABC为锐角三角形,a=,则△ABC周长的取值范围为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)如图,有一四边形休闲区域ABCD,其四周是步道,中间是花卉种植区域,为减少拥堵,中间穿插了新能源环保电动车道AC,已知D=2B,且AD=1千米,CD=3千米,cos B=.
(1)求新能源环保电动车道AC的长度;
(2)若 ,求花卉种植区域的总面积(道路宽度不计).
从①∠ACB=这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
16.(本小题满分15分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
(1)求角A;
(2)若点D在线段AC上,且,ADsin∠CBD=CDsin C,求cos∠ABC.
17.(本小题满分15分)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,且满足(a+b+c)(a-b+c)=3ac.
(1)求B的大小;
(2)求ac的取值范围;
(3)求△ABC的内切圆半径r的最大值.
18.(本小题满分17分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
(1)求角C的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,求sin A+sin B+sin C的取值范围;
(3)若D是△ABC外一点(C,D分别位于AB两侧),且AC=3,AD=2,BD=1,∠ADB=120°,求sin∠CBD的值.
19.(本小题满分17分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos(A-C)-cos B=,△ABC的面积为.
(1)求B;
(2)若点P在△ABC的内部,满足∠APB=∠BPC=∠CPA=,求PB2-PA·PC的值;
(3)若△ABC所在平面内的点Q满足∠BQA=∠BQC=∠AQC=,求(QA+QC-QB)·QB的值.
答案全解全析
1.A 由cos2Asin2B,
因为在△ABC中,sin A>0,sin B>0,所以sin A>sin B,由正弦定理得a>b,由三角形中大边对大角知A>B,故为充要条件.
2.A 因为b=2asin B,所以由正弦定理得sin B=2sin Asin B,因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以1=2sin A,解得sin A=,所以S△ABC=bcsin A==1.
3.D 解法一:由题意得a(1+cos C)=b(1-cos A)+a,
整理得acos C+bcos A=b,
由正弦定理得sin Acos C+sin Bcos A=sin B,
因为sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
所以sin Acos C+sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C,即cos A(sin B-sin C)=0,所以cos A=0或sin B=sin C,
又A,B,C为三角形的内角,所以A=或B=C,
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
解法二:由题意得a(1+cos C)=b(1-cos A)+a,整理得acos C+bcos A=b,
由余弦定理得a·+b·=b,
所以=b,
即(a2+b2-c2)·c+(b2+c2-a2)·b=2b2c,
整理得(a2-c2)·(c-b)+b2(b-c)=0,
即(a2-c2-b2)·(c-b)=0,所以a2=c2+b2或c=b,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
4.D 在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=,
因为∠ADB∈(0,π),
所以sin∠ADB=,
在△ACD中,由正弦定理得,
所以,解得sin∠ACD=.
5.A 设CD=a(a>0),若,则D在BC的延长线上,且BD=3CD=3a,如图,
由AC=1,得AD2=1-a2,
则AB2=BD2+AD2=1+8a2,则AB=,
在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=,
又≥2,当且仅当8a2+1=3,即a=时等号成立,
故当a=时,cos∠BAC取得最小值,
此时∠BAC取得最大值,且BC=2a=1,AB=,所以△ABC的周长为2+.
6.A 如图,在Rt△ADB中,sin θ=,tan θ=,则AB=,
在Rt△ACD中,cos 2θ=,则AC=.
则=2cos θ·>4,
因为0<θ<,所以0<2θ<,即cos 2θ>0,
所以cos2θ>2cos 2θ=2(2cos2θ-1),解得cos2θ<,
故,即,所以tan2θ>,
又0<θ<,所以7.B 由题意可知,∠OAP=30°,∠OBP=45°,∠OCP=60°,设OP=h米,
则在Rt△AOP中,OA=h,
在Rt△BOP中,OB==h,
在Rt△COP中,OC=h,
在△AOB中,由余弦定理可得OB2=OA2+AB2-2OA·ABcos∠OAB,即h2=3h2+222-2×h×22cos∠OAB,
得cos∠OAB=,
在△AOC中,由余弦定理可得OC2=OA2+AC2-2OA·ACcos∠OAC,即h×44cos∠OAC,得cos∠OAC=,则,解得h=11(舍负).
8.B 在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,
因为S1=AB·BCsin B,
所以-cos B=sin B,即tan B=-,
因为B∈(0,π),所以B=.
设∠ACB=α,因为∠BCD=,∠CAD=,则∠ACD=+α,∠CAB=-α,
在△ACD中,由正弦定理得,即,
在△ABC中,由正弦定理得,即,
又CD=BC,所以2sin,
所以sin,
所以cos,即sin,
因为α∈,所以+2α∈,所以,故α=,
所以S1=AC·BCsin,
S2=AC·DCsinAC·DCsin,
易得sin,
所以.
9.AC 对于A,由正弦定理得,所以sin B=>1,所以符合条件的三角形不存在,故A正确;
对于B,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=64+100-2×8×10×=84,故b=2(舍负),所以符合条件的△ABC只有一个,故B错误;
对于C,若a4+b4=c4,则(a2+b2)2=a4+2a2b2+b4=2a2b2+c4>c4,所以a2+b2>c2,可得cos C=>0,因为C∈(0,π),所以C<,故C正确;
对于D,依题得c=,b=1,由正弦定理得,则sin C=,
因为=sin C>sin B=,所以C>B,又0°当A=90°时,S△ABC=,当A=30°时,S△ABC=×1×sin 30°=,故D错误.
10.BCD 由题意得|cos A=bccos A=2,而2a=4,故A错误;
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,则b2+c2=a2+2bccos A=4+4=8,故B正确;
由上述分析得cos A=,又A∈(0,π),所以0S△ABC=bcsin A=×sin A=tan A,又011.ACD ∵A-B+C=π-2B,C-A-B=C-(A+B)=2C-π,且sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,
∴sin 2A+sin(π-2B)=sin(2C-π)+,
∴sin 2A+sin 2B+sin 2C=,
又对任意角α,β均有公式sin 2α+sin 2β=2sin(α+β)·cos(α-β),
∴sin 2A+sin 2B+sin 2C=2sin(A+B)cos(A-B)-sin[2(A+B)]=2sin(A+B)·[cos(A-B)-cos(A+B)]=2sin C·[cos Acos B+sin Asin B-(cos Acos B-sin A·sin B)]=4sin Csin Asin B,
∴4sin Asin Bsin C=,∴sin Asin Bsin C=,D正确;
设△ABC外接圆的半径为R,
则S=absin C==2R2sin Asin Bsin C=R2,
由1≤S≤2得2≤R≤2,从而=2R∈[4,4],C正确;
abc=8R3sin Asin Bsin C=R3∈[8,16],B错误;
bc(b-c)12.答案
解析 S△ABC=bcsin A=,则bc=4,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=24,则a=2.
设△ABC的内切圆的半径为r,则,解得r=.
13.答案
解析 设∠CAD=θ,在△ACD中,由正弦定理得①,
由AB⊥AD得∠BAD=,则∠BAC=-θ,∠ACB=π-∠ABC-∠BAC=π-,
在△ABC中,由正弦定理得②,
由,即,整理得tan θ=,故tan∠CAD=.
14.答案 (3+]
解析 ∵c=asin C-ccos A,∴由正弦定理得sin C=sin Asin C-sin Ccos A,
又sin C>0,∴sin A-cos A=1,则2sin=1,即sin,
∵0由正弦定理得=2,
∴b=2sin B,c=2sin C,又C=-B,
故△ABC的周长为a+b+c=+2sin B+2sin C=+2sin B+2sin+3sin B+cos B
=2,
∵△ABC为锐角三角形,∴
∴≤1,
∴△ABC周长的取值范围为(3+].
15.解析 (1)∵cos B=,D=2B,
∴cos D=cos 2B=2cos2B-1=-.(2分)
在△ADC中,AD=1,CD=3,
由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos D=1+9-6×=12,(4分)
∴AC=2,即新能源环保电动车道AC的长度为2千米.(5分)
(2)若选①:∵cos B=,∴sin B=.
在△ABC中,由正弦定理得,
即,解得AB=,(7分)
∵sin∠BAC=sin(B+∠ACB)=sin Bcos∠ACB+cos Bsin∠ACB=,
∴S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=.(10分)
∵cos D=-,∴sin D=,
故S△ADC=AD·CD·sin D=,(11分)
∴花卉种植区域的总面积为(平方千米).(13分)
若选②:在△ABC中,由余弦定理得cos B=,
解得AB=3或AB=-(舍去).(8分)
∵cos B=,∴sin B=,∴S△ABC=AB·BC·sin B=.(10分)
∵cos D=-,∴sin D=,
故S△ADC=AD·CD·sin D=,(12分)
∴花卉种植区域的总面积为3(平方千米).(13分)
16.解析 (1)因为
=,(2分)
所以由正弦定理可得,故cos A=,(3分)
又A∈(0,π),所以A=.(4分)
(2)由,可得),即,所以AD=2CD,(6分)
因为ADsin∠CBD=CDsin C,所以=2,
又由正弦定理得,所以=2.(9分)
设CD=x,则AD=BD=2x,
在△ABD中,A=,所以△ABD为等边三角形,故AB=2x,
在△ABC中,由余弦定理得BC2=4x2+9x2-6x2=7x2,所以BC=x,(12分)
所以cos∠ABC=
=.(15分)
17.解析 (1)由(a+b+c)(a-b+c)=3ac得a2+c2-b2=ac,
在△ABC中,由余弦定理得cos B=,(2分)
因为0(2)由(1)知B=,则A+C=,令A=-θ,得-,(4分)
由正弦定理得,
则a=sin A,c=sin C,(5分)
因此ac=
=
=sin2θ,(7分)
由-得-所以ac的取值范围是.(9分)
(3)由(2)得a+c=cos θ=4cos θ,由-,得又a2+c2-b2=ac,所以(a+c)2-4=3ac,(11分)
由S△ABC=acsin B,
得r=(a+c-2),(13分)
则当a+c=4时,rmax=,
所以△ABC的内切圆半径r的最大值为.(15分)
18.解析 (1)由,(1分)
即(2sin A-sin B)·cos C=sin C·cos B,
则2sin A·cos C-sin B·cos C=sin C·cos B,
即2sin A·cos C=sin(B+C)=sin A,(2分)
因为sin A>0,所以cos C=,
又C∈(0,π),所以C=.(3分)
(2)因为△ABC为锐角三角形,所以
则,(5分)
则sin A+sin B+sin C=sin A+sin(A+C)+,(6分)
由得A+,所以sin,
所以,
即sin A+sin B+sin C的取值范围为.(8分)
(3)在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=4+1+2=7,即AB=,(9分)
在△ABC中,由余弦定理得cos C=,即BC2-3BC+2=0,解得BC=1或BC=2,(11分)
易知cos∠ABD=,则sin∠ABD=,(12分)
当BC=1时,cos∠ABC=,故sin∠ABC=,(13分)
所以sin∠CBD=sin(∠ABC+∠ABD)=sin∠ABC·cos∠ABD+cos∠ABC·sin∠ABD=;(14分)
当BC=2时,cos∠ABC=,故sin∠ABC=,(15分)
所以sin∠CBD=sin(∠ABC+∠ABD)=sin∠ABC·cos∠ABD+cos∠ABC·sin∠ABD=.(16分)
综上,当BC=1时,sin∠CBD的值为,当BC=2时,sin∠CBD的值为.(17分)
19.解析 (1)因为cos(A-C)-cos B=cos(A-C)+cos(A+C)=2cos Acos C,
,(2分)
所以2cos Acos C=,
因为tan A,tan C有意义,所以cos Acos C≠0,所以sin B=,
又0(2)如图1,因为点P在△ABC的内部,所以∠ABC<∠CPA=,所以∠ABC=,
又△ABC的面积为,所以AB·BC·sin,所以AB·BC=4,
设∠PBA=α,则∠PAB=-α,∠PBC=-α,∠PCB=+α,
在△PAB中,由正弦定理得,
所以PB=ABsin α,(6分)
在△PBC中,由正弦定理得,
所以PC=,
所以PB2-PA·PC=
===4.(8分)
(3)若点Q与点B在直线AC的异侧,如图2,
设∠QBA=θ,则∠QBC=∠ABC-θ,∠QAB=-θ,∠QCB=-∠ABC+θ,
在△QAB中,由正弦定理得,
所以QA=AB·sin θ,QB=AB·sin,
在△QBC中,由正弦定理得,(10分)
所以QC=BCsin(∠ABC-θ),
QB=,
则(QA+QC-QB)·QB=QA·QB+QC·QB-QB2=AB·BC·sin θ·sin
+BC·AB·sin(∠ABC-θ)·sin
-AB·BC·sin·sin
=+
=2cos-
=,(12分)
当∠ABC=时,原式==-4;
当∠ABC=时,原式==8.(14分)
若点Q与点B在直线AC的同侧,如图3,
则B在∠AQC的平分线上,所以∠ABC>∠AQC=,
所以∠ABC=,设∠QBA=θ',则∠QBC=-θ',∠QAB=-θ',∠QCB=-+θ',
同理可求得(QA+QC-QB)·QB=4.(16分)
综上所述,满足条件的点Q有3个,对应的(QA+QC-QB)·QB的值分别为-4,8,4.(17分)
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第11章 解三角形
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,“A>B”是“cos2A
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asin B,bc=4,则△ABC的面积为( )
A.1 B.
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2acos2=b(1-cos A)+a,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4.第24届冬季奥林匹克运动会会徽(如图1)以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用30°,45°,60°,90°,120°,150°等特殊角度.如图2,为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求,该同学取端点绘制了△ABD,测得AB=5,BD=6,AC=4,AD=3,若点C恰好在边BD上,则sin∠ACD的值为( )
A.
5.在△ABC中,AC=1,AD⊥BC,垂足为D,且,则当∠BAC取得最大值时,△ABC的周长为( )
A.2+
6.在△ABC中,AD⊥BC于点D,∠CAD=2∠BAD=2θ,BD=1,设△ABD,△ACD的面积分别为S1,S2,当>4时,tan θ的取值范围为( )
A.
7.图1所示的是清风楼,位于河北省邢台市,始建于唐、宋年间,是邢台市地标性建筑之一,也是邢台历史人文的一个缩影.某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度,在与楼底O位于同一水平面的A,B,C三处进行测量,如图2.已知在A处测得楼顶P的仰角为30°,在B处测得楼顶P的仰角为45°,在C处测得楼顶P的仰角为60°,BC=AB=22米,则可得清风楼的高度OP=( )
A.22米 B.11米 C.11米 D.11米
8.在四边形ABCD中,设△ABC的面积为S1,△ACD的面积为S2,S1=BC,∠CAD=30°,∠BCD=120°,则的值为 ( )
A.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是( )
A.若a=5,b=10,A=,则符合条件的三角形不存在
B.若a=8,c=10,B=,则符合条件的△ABC有两个
C.若a4+b4=c4,则C<
D.若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为
10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=2,a=2,则( )
A.bccos A=2a B.b2+c2=8
C.角A的最大值为 D.△ABC面积的最大值为
11.已知对任意角α,β均有公式sin 2α+sin 2β=2sin(α+β)·cos(α-β).设△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2.记a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,则下列关系式一定成立的是( )
A.bc(b-c)<16 B.6≤abc≤12
C.4≤≤4 D.sin Asin Bsin C=
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A=60°,b+c=6,且△ABC的面积为,则△ABC的内切圆的半径为 .
13.如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=,∠ADC=,AB⊥AD,CD=4AB,则tan∠CAD= .
14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=asin C-ccos A,若△ABC为锐角三角形,a=,则△ABC周长的取值范围为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)如图,有一四边形休闲区域ABCD,其四周是步道,中间是花卉种植区域,为减少拥堵,中间穿插了新能源环保电动车道AC,已知D=2B,且AD=1千米,CD=3千米,cos B=.
(1)求新能源环保电动车道AC的长度;
(2)若 ,求花卉种植区域的总面积(道路宽度不计).
从①∠ACB=这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
16.(本小题满分15分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
(1)求角A;
(2)若点D在线段AC上,且,ADsin∠CBD=CDsin C,求cos∠ABC.
17.(本小题满分15分)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,且满足(a+b+c)(a-b+c)=3ac.
(1)求B的大小;
(2)求ac的取值范围;
(3)求△ABC的内切圆半径r的最大值.
18.(本小题满分17分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
(1)求角C的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,求sin A+sin B+sin C的取值范围;
(3)若D是△ABC外一点(C,D分别位于AB两侧),且AC=3,AD=2,BD=1,∠ADB=120°,求sin∠CBD的值.
19.(本小题满分17分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos(A-C)-cos B=,△ABC的面积为.
(1)求B;
(2)若点P在△ABC的内部,满足∠APB=∠BPC=∠CPA=,求PB2-PA·PC的值;
(3)若△ABC所在平面内的点Q满足∠BQA=∠BQC=∠AQC=,求(QA+QC-QB)·QB的值.
答案全解全析
1.A 由cos2A
因为在△ABC中,sin A>0,sin B>0,所以sin A>sin B,由正弦定理得a>b,由三角形中大边对大角知A>B,故为充要条件.
2.A 因为b=2asin B,所以由正弦定理得sin B=2sin Asin B,因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以1=2sin A,解得sin A=,所以S△ABC=bcsin A==1.
3.D 解法一:由题意得a(1+cos C)=b(1-cos A)+a,
整理得acos C+bcos A=b,
由正弦定理得sin Acos C+sin Bcos A=sin B,
因为sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
所以sin Acos C+sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C,即cos A(sin B-sin C)=0,所以cos A=0或sin B=sin C,
又A,B,C为三角形的内角,所以A=或B=C,
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
解法二:由题意得a(1+cos C)=b(1-cos A)+a,整理得acos C+bcos A=b,
由余弦定理得a·+b·=b,
所以=b,
即(a2+b2-c2)·c+(b2+c2-a2)·b=2b2c,
整理得(a2-c2)·(c-b)+b2(b-c)=0,
即(a2-c2-b2)·(c-b)=0,所以a2=c2+b2或c=b,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
4.D 在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=,
因为∠ADB∈(0,π),
所以sin∠ADB=,
在△ACD中,由正弦定理得,
所以,解得sin∠ACD=.
5.A 设CD=a(a>0),若,则D在BC的延长线上,且BD=3CD=3a,如图,
由AC=1,得AD2=1-a2,
则AB2=BD2+AD2=1+8a2,则AB=,
在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=,
又≥2,当且仅当8a2+1=3,即a=时等号成立,
故当a=时,cos∠BAC取得最小值,
此时∠BAC取得最大值,且BC=2a=1,AB=,所以△ABC的周长为2+.
6.A 如图,在Rt△ADB中,sin θ=,tan θ=,则AB=,
在Rt△ACD中,cos 2θ=,则AC=.
则=2cos θ·>4,
因为0<θ<,所以0<2θ<,即cos 2θ>0,
所以cos2θ>2cos 2θ=2(2cos2θ-1),解得cos2θ<,
故,即,所以tan2θ>,
又0<θ<,所以
则在Rt△AOP中,OA=h,
在Rt△BOP中,OB==h,
在Rt△COP中,OC=h,
在△AOB中,由余弦定理可得OB2=OA2+AB2-2OA·ABcos∠OAB,即h2=3h2+222-2×h×22cos∠OAB,
得cos∠OAB=,
在△AOC中,由余弦定理可得OC2=OA2+AC2-2OA·ACcos∠OAC,即h×44cos∠OAC,得cos∠OAC=,则,解得h=11(舍负).
8.B 在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,
因为S1=AB·BCsin B,
所以-cos B=sin B,即tan B=-,
因为B∈(0,π),所以B=.
设∠ACB=α,因为∠BCD=,∠CAD=,则∠ACD=+α,∠CAB=-α,
在△ACD中,由正弦定理得,即,
在△ABC中,由正弦定理得,即,
又CD=BC,所以2sin,
所以sin,
所以cos,即sin,
因为α∈,所以+2α∈,所以,故α=,
所以S1=AC·BCsin,
S2=AC·DCsinAC·DCsin,
易得sin,
所以.
9.AC 对于A,由正弦定理得,所以sin B=>1,所以符合条件的三角形不存在,故A正确;
对于B,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=64+100-2×8×10×=84,故b=2(舍负),所以符合条件的△ABC只有一个,故B错误;
对于C,若a4+b4=c4,则(a2+b2)2=a4+2a2b2+b4=2a2b2+c4>c4,所以a2+b2>c2,可得cos C=>0,因为C∈(0,π),所以C<,故C正确;
对于D,依题得c=,b=1,由正弦定理得,则sin C=,
因为=sin C>sin B=,所以C>B,又0°
10.BCD 由题意得|cos A=bccos A=2,而2a=4,故A错误;
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,则b2+c2=a2+2bccos A=4+4=8,故B正确;
由上述分析得cos A=,又A∈(0,π),所以0
∴sin 2A+sin(π-2B)=sin(2C-π)+,
∴sin 2A+sin 2B+sin 2C=,
又对任意角α,β均有公式sin 2α+sin 2β=2sin(α+β)·cos(α-β),
∴sin 2A+sin 2B+sin 2C=2sin(A+B)cos(A-B)-sin[2(A+B)]=2sin(A+B)·[cos(A-B)-cos(A+B)]=2sin C·[cos Acos B+sin Asin B-(cos Acos B-sin A·sin B)]=4sin Csin Asin B,
∴4sin Asin Bsin C=,∴sin Asin Bsin C=,D正确;
设△ABC外接圆的半径为R,
则S=absin C==2R2sin Asin Bsin C=R2,
由1≤S≤2得2≤R≤2,从而=2R∈[4,4],C正确;
abc=8R3sin Asin Bsin C=R3∈[8,16],B错误;
bc(b-c)
解析 S△ABC=bcsin A=,则bc=4,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=24,则a=2.
设△ABC的内切圆的半径为r,则,解得r=.
13.答案
解析 设∠CAD=θ,在△ACD中,由正弦定理得①,
由AB⊥AD得∠BAD=,则∠BAC=-θ,∠ACB=π-∠ABC-∠BAC=π-,
在△ABC中,由正弦定理得②,
由,即,整理得tan θ=,故tan∠CAD=.
14.答案 (3+]
解析 ∵c=asin C-ccos A,∴由正弦定理得sin C=sin Asin C-sin Ccos A,
又sin C>0,∴sin A-cos A=1,则2sin=1,即sin,
∵0
∴b=2sin B,c=2sin C,又C=-B,
故△ABC的周长为a+b+c=+2sin B+2sin C=+2sin B+2sin+3sin B+cos B
=2,
∵△ABC为锐角三角形,∴
∴≤1,
∴△ABC周长的取值范围为(3+].
15.解析 (1)∵cos B=,D=2B,
∴cos D=cos 2B=2cos2B-1=-.(2分)
在△ADC中,AD=1,CD=3,
由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos D=1+9-6×=12,(4分)
∴AC=2,即新能源环保电动车道AC的长度为2千米.(5分)
(2)若选①:∵cos B=,∴sin B=.
在△ABC中,由正弦定理得,
即,解得AB=,(7分)
∵sin∠BAC=sin(B+∠ACB)=sin Bcos∠ACB+cos Bsin∠ACB=,
∴S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=.(10分)
∵cos D=-,∴sin D=,
故S△ADC=AD·CD·sin D=,(11分)
∴花卉种植区域的总面积为(平方千米).(13分)
若选②:在△ABC中,由余弦定理得cos B=,
解得AB=3或AB=-(舍去).(8分)
∵cos B=,∴sin B=,∴S△ABC=AB·BC·sin B=.(10分)
∵cos D=-,∴sin D=,
故S△ADC=AD·CD·sin D=,(12分)
∴花卉种植区域的总面积为3(平方千米).(13分)
16.解析 (1)因为
=,(2分)
所以由正弦定理可得,故cos A=,(3分)
又A∈(0,π),所以A=.(4分)
(2)由,可得),即,所以AD=2CD,(6分)
因为ADsin∠CBD=CDsin C,所以=2,
又由正弦定理得,所以=2.(9分)
设CD=x,则AD=BD=2x,
在△ABD中,A=,所以△ABD为等边三角形,故AB=2x,
在△ABC中,由余弦定理得BC2=4x2+9x2-6x2=7x2,所以BC=x,(12分)
所以cos∠ABC=
=.(15分)
17.解析 (1)由(a+b+c)(a-b+c)=3ac得a2+c2-b2=ac,
在△ABC中,由余弦定理得cos B=,(2分)
因为0
由正弦定理得,
则a=sin A,c=sin C,(5分)
因此ac=
=
=sin2θ,(7分)
由-得-
(3)由(2)得a+c=cos θ=4cos θ,由-,得
由S△ABC=acsin B,
得r=(a+c-2),(13分)
则当a+c=4时,rmax=,
所以△ABC的内切圆半径r的最大值为.(15分)
18.解析 (1)由,(1分)
即(2sin A-sin B)·cos C=sin C·cos B,
则2sin A·cos C-sin B·cos C=sin C·cos B,
即2sin A·cos C=sin(B+C)=sin A,(2分)
因为sin A>0,所以cos C=,
又C∈(0,π),所以C=.(3分)
(2)因为△ABC为锐角三角形,所以
则,(5分)
则sin A+sin B+sin C=sin A+sin(A+C)+,(6分)
由得A+,所以sin,
所以,
即sin A+sin B+sin C的取值范围为.(8分)
(3)在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=4+1+2=7,即AB=,(9分)
在△ABC中,由余弦定理得cos C=,即BC2-3BC+2=0,解得BC=1或BC=2,(11分)
易知cos∠ABD=,则sin∠ABD=,(12分)
当BC=1时,cos∠ABC=,故sin∠ABC=,(13分)
所以sin∠CBD=sin(∠ABC+∠ABD)=sin∠ABC·cos∠ABD+cos∠ABC·sin∠ABD=;(14分)
当BC=2时,cos∠ABC=,故sin∠ABC=,(15分)
所以sin∠CBD=sin(∠ABC+∠ABD)=sin∠ABC·cos∠ABD+cos∠ABC·sin∠ABD=.(16分)
综上,当BC=1时,sin∠CBD的值为,当BC=2时,sin∠CBD的值为.(17分)
19.解析 (1)因为cos(A-C)-cos B=cos(A-C)+cos(A+C)=2cos Acos C,
,(2分)
所以2cos Acos C=,
因为tan A,tan C有意义,所以cos Acos C≠0,所以sin B=,
又0
又△ABC的面积为,所以AB·BC·sin,所以AB·BC=4,
设∠PBA=α,则∠PAB=-α,∠PBC=-α,∠PCB=+α,
在△PAB中,由正弦定理得,
所以PB=ABsin α,(6分)
在△PBC中,由正弦定理得,
所以PC=,
所以PB2-PA·PC=
===4.(8分)
(3)若点Q与点B在直线AC的异侧,如图2,
设∠QBA=θ,则∠QBC=∠ABC-θ,∠QAB=-θ,∠QCB=-∠ABC+θ,
在△QAB中,由正弦定理得,
所以QA=AB·sin θ,QB=AB·sin,
在△QBC中,由正弦定理得,(10分)
所以QC=BCsin(∠ABC-θ),
QB=,
则(QA+QC-QB)·QB=QA·QB+QC·QB-QB2=AB·BC·sin θ·sin
+BC·AB·sin(∠ABC-θ)·sin
-AB·BC·sin·sin
=+
=2cos-
=,(12分)
当∠ABC=时,原式==-4;
当∠ABC=时,原式==8.(14分)
若点Q与点B在直线AC的同侧,如图3,
则B在∠AQC的平分线上,所以∠ABC>∠AQC=,
所以∠ABC=,设∠QBA=θ',则∠QBC=-θ',∠QAB=-θ',∠QCB=-+θ',
同理可求得(QA+QC-QB)·QB=4.(16分)
综上所述,满足条件的点Q有3个,对应的(QA+QC-QB)·QB的值分别为-4,8,4.(17分)
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同课章节目录
- 第9章 平面向量
- 9.1 向量概念
- 9.2 向量运算
- 9.3 向量基本定理及坐标表示
- 9.4 向量应用
- 第10章 三角恒等变换
- 10.1 两角和与差的三角函数
- 10.2 二倍角的三角函数
- 10.3 几个三角恒等式
- 第11章 解三角形
- 11.1 余弦定理
- 11.2 正弦定理
- 11.3 余弦定理、正弦定理的应用
- 第12章 复数
- 12.1 复数的概念
- 12.2 复数的运算
- 12.3 复数的几何意义
- 12.4 复数的三角形式
- 第13章 立体几何初步
- 13.1 基本立体图形
- 13.2 基本图形位置关系
- 13.3 空间图形的表面积和体积
- 第14章 统计
- 14.1 获取数据的基本途径及相关概念
- 14.2 抽样
- 14.3 统计图表
- 14.4 用样本估计总体
- 第15章 概率
- 15.1 随机事件和样本空间
- 15.2 随机事件的概率
- 15.3 互斥事件和独立事件