第12章 复数复习提升--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对复数的相关概念理解不清致错
1.(2024江苏苏州部分高中适应性考试)设复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),若(1+i)·z为纯虚数,则复数的虚部为(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　
C.2　　　　 D.-i
2.(多选题)(2025山东威海期中)已知z1,z2是复数,i为虚数单位,则下列说法正确的是(　　)
A.5+i>4+i　　　　 B.
C.若|z1|>|z2|,则　　　　D.|z1z2|=|z1||z2|
易错点2　对复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件记忆不准确致错
3.(2024江苏苏锡常镇四市教学情况调研)已知z1,z2是两个虚数,则“z1,z2均为纯虚数”是“为实数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2024广东东莞中学第一次段考)已知复数z=+(m2+m)i,i为虚数单位,m∈R.
(1)若z为实数,求实数m的值;
(2)若z为虚数,求实数m的取值范围;
(3)当z为纯虚数时,若复数x满足x2=z,求x.
易错点3　不能正确理解复数的几何意义致错
5.(2025广东高州第一中学月考)设非零复数z1和z2在复平面内对应的向量分别为,其中O为坐标原点,若w=为纯虚数,则(　　)
A.∥　　　　
B.||
C.()⊥()　　　　
D.||
6.(2024福建师范大学附属中学期中)已知复数z满足|z-1+2i|=1,则|z|的最小值为　　　　.
易错点4　对复数范围内方程的解的问题考虑不全面致错
7.(2024湖南衡阳期末)在复数范围内,z1,z2是方程z3+z2+z+1=0的两个不同的复数根,则|z1-z2|的值为(　　)
A.1　　　　B.或2
8.(2025江苏无锡辅仁高级中学期中)设复数z1=1-ai(a∈R),z2=2+i.
(1)若在复平面内,复数z1+z2对应的点在实轴上,求z1z2;
(2)若是纯虚数,且z1是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的根,求实数b,c的值.
思想方法练
一、函数与方程思想在复数中的应用
1.(2024江苏泰州月考)若复数z满足|z-1|=|z+i|,则|z-1|的最小值为(　　)
A.
2.(2024江苏泰州兴化期中)已知复数z1=m+2i(m∈R),z2=cos α+isin α,且|z1|=|z2|,z1在复平面内所对应的点位于第二象限.
(1)求m的值;
(2)若z1·z2为纯虚数,求tan 2α的值.
二、数形结合思想在复数中的应用
3.(多选题)(2024安徽淮南期中)设复数z在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的有(　　)
A.若|z|=1,则z=±1或z=±i
B.若|z-(2+i)|=1,则|z|的最小值为-1
C.若z=-2i,则|z|=7
D.若1≤|z|≤,则点Z的集合所构成图形的面积为π
4.(2025江苏连云港海头高级中学学情检测)已知复数z满足|z+2-2i|=2,且复数z在复平面内对应的点为M.
(1)确定点M的集合所构成图形的形状;
(2)求|z-1+2i|的最大值和最小值.
三、转化与化归思想在复数中的应用
5.(2024山东青岛期末)任意一个复数z的代数形式都可写成三角形式,即z=a+bi=r(cos θ+isin θ),其中a,b∈R,i为虚数单位,r=|z|=,cos θ=,sin θ=,θ∈[0,2π).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667—1754)创立,指的是设两个复数(用三角形式表示):z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],且z2≠0.若令z1=z2=…=zn=z,则能导出复数乘方公式:zn=rn(cos nθ+isin nθ).请用以上知识解决以下问题:
(1)试将z=-+3i写成三角形式;
(2)已知|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=7,求的值;
(3)设z=a+bi,a,b∈R,当|z|=1时,求|z2+z+1|的最大值和最小值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.A　因为(1+i)·z=(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i为纯虚数,所以解得a=1,
则z=1+i,的虚部为-1.
易错警示　复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi;复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数是=a-bi.
2.BD　复数的虚部不为0,所以不能比较大小,故A错误;
设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,
则=(a-bi)(c-di)=ac-bd-(ad+bc)i,
z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,则,故B正确;
当a,b,c,d均不为0时,均为虚部不为0的复数(易错点),不能比较大小,故C错误;
由B知|z1z2|==
,　
|z1|=,
|z1||z2|=,　
所以|z1z2|=|z1||z2|,故D正确.
易错警示　当两个复数能比较大小时,它们均为实数,虚部为0,否则不能比较大小.
3.A　若z1,z2均为纯虚数,设z1=bi,z2=ci,其中b,c∈R且b,c≠0,则∈R,故充分性成立;
当z1=1+i,z2=2+2i时,∈R,但z1,z2均不是纯虚数,故必要性不成立.
综上所述,“z1,z2均为纯虚数”是“为实数”的充分不必要条件.
易错警示　要明确a=0且b≠0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件,两者缺一不可.
4.解析　(1)由题意可知m≠0,
若z为实数,则m2+m=0(关键点),解得m=0(舍去)或m=-1,所以实数m的值为-1.
(2)若z为虚数,则m2+m≠0(关键点),解得m≠0且m≠-1,
所以实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,+∞).　
(3)若z为纯虚数,则解得m=-2,即z=2i.
设x=a+bi(a,b∈R),则x2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi=2i,则
所以x=1+i或x=-1-i.
易错警示　a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件,即a=0 /z为纯虚数,且z为纯虚数 a=0.
5.D　设z1=a+bi,z2=c+di,w=ki,其中a,b,c,d,k∈R,且a,b不同时为0,c,d不同时为0,k≠0,
由题意得a+bi=ki(c+di)=-kd+cki,
所以,故A错误;
||的大小,故B错误;
(的位置关系,故C错误;
||,故D正确.
6.答案　-1
解析　根据复数模的几何意义,可知|z-1+2i|=1表示在复平面内,复数z对应的点与复数1-2i对应的点(1,-2)之间的距离为1,所以复数z对应的点在以点(1,-2)为圆心,1为半径的圆上,记该圆为M,如图,
|z|表示圆M上的点到原点的距离,由图可知,|z|的最小值为OM-1=-1.
方法技巧　解决复数的模的几何意义问题要把握以下关键点:①|z|表示点Z到原点的距离;②|z|=r表示点Z的集合是以原点为圆心,r为半径的圆;③|z-a-bi|(a,b∈R)表示点Z到点(a,b)的距离,其中Z为z在复平面内对应的点.在遇到与此相关的题目时,通常借助复数的几何意义从几何角度解题.
7.D　由z3+z2+z+1=0,得z2(z+1)+z+1=(z2+1)(z+1)=0,
所以z=±i或z=-1.
当z1=±i,z2=-1或z2=±i,z1=-1时,|z1-z2|=;
当z1=i,z2=-i或z2=i,z1=-i时,|z1-z2|=2.
综上,|z1-z2|=或2.
易错警示　本题容易错误地认为±i是该方程的两个不同的复数根,而忽略了-1也是该方程的复数根.
8.解析　(1)由题意可知z1+z2=3+(1-a)i,若复数z1+z2在复平面内对应的点在实轴上,则z1+z2∈R,
可得1-a=0,即a=1,所以z1z2=(1-i)(2+i)=3-i.
(2)i,
若解得a=2,
因为z1=1-2i是方程x2+bx+c=0的根,所以=1+2i也是该方程的根,
由根与系数的关系得所以b=-2,c=5.
易错警示　实系数一元二次方程中的虚根是以共轭复数的形式成对出现的,但如果题设中没有直接交代一元二次方程的系数是实数,就不能得出上述结论.
思想方法练
1.B　令z=x+yi,x,y∈R,
由|z-1|=|z+i|得,
所以y=-x,
所以|z-1|=,
通过变量代换,将所求问题转化为二次函数的最值问题,利用二次函数的性质进行求解,体现了函数思想.
所以当x=.
2.解析　(1)由已知得|z2|==1,
因为|z1|=,所以m2+4=5,解得m=±1,
又z1在复平面内所对应的点位于第二象限,所以m<0,
所以m=-1.
(2)由(1)知z1=-1+2i.因为z1·z2=(-1+2i)(cos α+isin α)=(-cos α-2sin α)+(-sin α+2cos α)i为纯虚数,
根据纯虚数的概念列出关于cos α,sin α的等式及不等式,求出cos α,sin α的值后进一步得解.
所以
即2sin α=-cos α,且sin α≠2cos α,
显然cos α≠0,所以tan α=,
所以tan 2α=.
思想方法　一般运用方程思想解决复数分类及复数相等中的参数问题,一般应用函数思想解决复数模的最值或者范围问题,求解时可根据题目条件,结合复数相关概念列式,再转化为函数(一般为二次函数)问题解决.
3.BD　对于A,当z==1,故A错误.
对于B,因为|z-(2+i)|=1,所以z对应的点的集合是圆心为(2,1)(记为A),半径为1的圆(如图1),|z|表示圆上的点到原点(0,0)的距离,
由复数及其运算的几何意义画出z对应的点所表示的图形,利用几何图形的性质解决最值问题.
易知当z对应的点为B时,|z|取得最小值,
则|z|min=-1,故B正确.
对于C,|z|=,故C错误.
对于D,点Z的集合是以原点为圆心,1和为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),即图2中的阴影部分,其面积为π×()2-π×12=π,故D正确.
　
4.解析　(1)设复数-2+2i在复平面内对应的点为P(-2,2),
则|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=MP=2,故点M的集合是以点P(-2,2)为圆心,2为半径的圆.
(2)设复数1-2i在复平面内对应的点为Q(1,-2),则|z-1+2i|=MQ,
将复数模的问题转化为两点间的距离问题,通过画出图形,直观解决最值问题.
如图所示,
易求得PQ==5,
则|z-1+2i|的最大值即MQ的长的最大值,为PQ+2=7;
|z-1+2i|的最小值即MQ的长的最小值,为PQ-2=3.
思想方法　在求复数模的最值问题时,可以利用复数及其运算的几何意义建立复数、复平面内的点的关系.
若复数z在复平面内对应的点为Z,r>0,则|z-(a+bi)|=r表示点Z的集合是以点(a,b)为圆心,r为半径的圆;|z-(a+bi)|r表示点Z的集合为上述圆外部所有的点组成的集合;|z-(a+bi)|=|z-(c+di)|表示点Z的集合是以点(a,b)和(c,d)为端点的线段的垂直平分线.(a,b,c,d,r∈R)
5.解析　(1)由复数的三角形式得z=-.
(2)如图,设复数z1对应的向量为,
则在△OZ1Z2中,由余弦定理得cos∠Z1OZ2=,∴sin∠Z1OZ2=±,
又,∴±i.
(3)由题意可设z=cos θ+isin θ,θ∈R,
根据|z|=1可设出复数的三角形式,从而将复数模的最值问题转化为三角函数的最值问题求解.
则|z2+z+1|=|z2+z+z·+1|=|2cos θ+1|,
∵-1≤cos θ≤1,∴-2≤2cos θ≤2,∴-1≤2cos θ+1≤3,
∴|z2+z+1|max=3,|z2+z+1|min=0.
思想方法　在解决复数问题时,通过把复数z设成z=a+bi(a,b∈R)或者z=r(cos θ+isin θ)(r>0,θ∈R)的形式,实现复数问题实数化;复数的几何意义也是很明显的转化与化归思想的应用,通过把复数转化为复平面内的点或向量,将复数问题几何化.
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