第12章　复数--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
第12章　复数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数z=在复平面内所对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
2.复数z满足=2-2 025i,则的虚部为(　　)
A.-2　　　　B.-2 025i
C.2　　　　D.-2 025
3.若复数z满足i·z=2 022+i2 023(i是虚数单位),z的共轭复数是,则|z-|=(　　)
A.　　　　B.4 044　　　　
C.2　　　　D.0
4.已知α,β是关于x的实系数方程x2-4x+5=0的两个虚根,则=(　　)
A.　　　　
C.
5.已知复数z≠0,则“|z|=1”是“z+∈R”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
6.已知复数z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)在复平面内对应的点为Z,设r=|OZ|,θ是以x轴的非负半轴为始边、所在的射线为终边的角,则z=a+bi=r(cos θ+isin θ),把z=r(cos θ+isin θ)叫作复数z的三角形式,利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算,即[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈N*),例如:=cos 2π+isin 2π=1,若复数z满足z3=1+i,则z可能等于(　　)
A.　　　　
B.
C.　　　　
D.
7.已知复数z=(a∈R),当a≥1时,不等式2|z|2-t|z|+6≥0恒成立,则实数t的最大值是(　　)
A.4
C.
8.已知两个复数z,ω满足z2=ω=,且复数z在复平面内对应的点位于第一象限,则=(　　)
A.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列命题中正确的是(　　)
A.若复数z满足∈R,则z∈R
B.若z为复数,则z2=|z|2一定成立
C.若复数z=i,则z18=1
D.若复数z满足|z|=|z+i|+1,则z为纯虚数
10.下列说法中正确的是(　　)
A.若复数z=,则复数在复平面内对应的点位于第一象限
B.已知复数z满足(1+2i)z=2+i,则|z|=1
C.若3+2i是关于x的方程2x2+mx+n=0(m,n∈R)在复数集内的一个根,则n=26
D.若z∈C,且|z|=1,则|z-3-4i|的最小值为4
11.已知a,b∈R,复数z1=(1-i)a,z2=(1+i)b,则下列结论正确的是(　　)
A.|z1|≥,|z2|≥
B.若a=2,b=3,则|z1z2|=4
C.若a>0,b>0,a+b=2,则
D.若|z1|=2|z2|,则a-b=1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知公式eix=cos x+isin x,其中i是虚数单位,根据此公式计算i·的虚部是　　　　.
13.设复数z=,f(x)=x2 024+x2 023+…+x2+x+1,则f(z)=　　　　.
14.已知m∈R,关于z的方程(z2+z+m)(z2+z+2m)=0有四个复数根z1,z2,z3,z4.若这四个复数根在复平面内对应的点刚好是一个正方形的四个顶点,则实数m的值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知复数z=m-i(m∈R),且·(1+3i)为纯虚数(是z的共轭复数).
(1)求实数m的值;
(2)设复数z1=,求|z1|;
(3)复数z2=在复平面内对应的点在第一象限内,求实数a的取值范围.
16.(本小题满分15分)已知复数z=m+2+(m-2)i(m∈R).
(1)若复数z在复平面内对应的点在第四象限内,求实数m的取值范围;
(2)为z的共轭复数,且z+=6.
(i)若z-3i是关于x的一元二次方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根,求该方程的另一个根;
(ii)若|ω-z|=1,求|ω|的取值范围.
17.(本小题满分15分)设复数z=a+bi(a,b∈R),z1=z+ki,z2=·ki(k∈R).
(1)设a=b=,若|z1|=|z2|,求实数k的值;
(2)若存在实数k,使得z1与z2是某个实系数一元二次方程的两个虚数根,求符合条件的复数z的模的取值范围.
18.(本小题满分17分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.
(1)求复数z;
(2)若z是关于x的实系数方程x2+mx+2=0的一个复数根,求实数m的值;
(3)若复数z的实部大于0,z,z3,z-z3在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
19.(本小题满分17分)已知①任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式,其中r是复数z的模,θ是复数的辐角;②eix=cos x+isin x被称为欧拉公式,是复数的指数形式;③方程xn=1(n为正整数)有n个不同的复数根.
(1)设ω=-i,求ω2 024;
(2)试求出所有满足方程x6=1的复数x所组成的集合;
(3)若复数z=cos,求(z-1)(z2-1)…(z2 023-1).
答案全解全析
1.C　z==-1-2i,其在复平面内所对应的点的坐标为(-1,-2),位于第三象限.
2.A　因为=2-2 025i,所以z=2i-2 025i2=2 025+2i,则=2 025-2i,故的虚部为-2.
3.B　因为i·z=2 022+i2 023=2 022+i3=2 022-i,
所以z==-1-2 022i,所以=-1+2 022i,
所以z-=-1-2 022i-(-1+2 022i)=-4 044i,
所以|z-|=|-4 044i|=4 044.
4.A　对于方程x2-4x+5=0,Δ=(-4)2-4×1×5=-4<0,
∴方程x2-4x+5=0的两个虚根为=2-i,
不妨取α=2+i,β=2-i,则|α|=,
∴.
5.A　设z=a+bi,a,b∈R,且a,b不同时为0,
当|z|==1时,a2+b2=1,
则z+=2a∈R,故充分性成立;
取z=2,则z+∈R,但|z|=2,故必要性不成立.
综上所述,“|z|=1”是“z+∈R”的充分不必要条件.
6.D　设z=r(cos θ+isin θ),则z3=1+i==r3(cos 3θ+isin 3θ),
所以r=,k∈Z,即θ=,k∈Z,
所以z=,k∈Z,
当k=2时,θ=,故z可能等于.
7.B　z=ai,
所以|z|==10|a|.
当a≥1时,不等式2|z|2-t|z|+6≥0恒成立,
即t≤2|z|+恒成立,即t≤20a+恒成立.
令f(a)=20a+,易知当a≥1时,f(a)单调递增,
所以f(a)min=f(1)=,所以实数t的取值范围是,其最大值是.
8.C　设ω=a+bi,a,b∈R,
由ω=得a+bi=(a-bi)2,所以a+bi=a2-b2-2abi,
则
因为z2=ω=,且复数z在复平面内对应的点位于第一象限,
所以所以ω=-i,
所以.
9.ACD　对于A,设z=a+bi(a,b∈R),则∈R,则b=0,故z=a∈R,故A正确;
对于B,若z=i,则z2=-1,|z|2=1,z2≠|z|2,故B错误;
对于C,z3==-1,
故z18=(z3)6=1,故C正确;
对于D,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=+1,故+1,化简得a=0,b≤-1,故z为纯虚数,D正确.
10.BCD　对于A,z=i,则i,其在复平面内对应的点为,位于第四象限,A错误.
对于B,z=i,所以|z|==1,B正确.
对于C,因为3+2i是方程2x2+mx+n=0的一个复数根,所以方程的另一个复数根为3-2i,则=(3+2i)·(3-2i)=13,解得n=26,C正确.
对于D,由|z|=1得复数z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心,1为半径的圆,
|z-3-4i|表示圆上的点到点(3,4)的距离,
则|z-3-4i|min=-1=4,D正确.
11.BC　对于A,|z1|=()b>0,故A错误;
对于B,|z1z2|=|z1||z2|=(,故B正确;
对于C,)b-a,由a+b=2,得a=2-b,故)2b-2=2b-1,因为b>0,所以2b-1>,故C正确;
对于D,由|z1|=2|z2|,得=2,即()a-b=2,即=1,故a-b=2,故D错误.
12.答案　
解析　由题意得i,∴i·=i·i,
∴i·.
13.答案　1
解析　z==-i,则z4+z3+z2+z=1+i-1-i=0,
所以f(z)=z2 020(z4+z3+z2+z)+z2 016(z4+z3+z2+z)+…+(z4+z3+z2+z)+1=1.
14.答案　
解析　不妨设z2+z+m=0的两根分别为z1,z2,z2+z+2m=0的两根分别为z3,z4,两方程的判别式分别为Δ1,Δ2,
由题意知Δ1=1-4m≠0,Δ2=1-8m≠0,即m≠且m≠.
①当m<时,Δ1>0,Δ2>0,则z1,z2,z3,z4均为实数,所以四个实数根在复平面内对应的点均在实轴上,与题意矛盾;
②当时,Δ1>0,Δ2<0,则z1,z2为实数,z3,z4为虚数,由题知|z1-z2|=|z3-z4|,
所以,即1-4m=8m-1,解得m=,
此时z2+z+=0,解得
z2+z+=0,解得
这四个复数根在复平面内对应的点为以为中心,且对角线所在直线的方程分别为x=-,y=0,对角线的长度为的正方形的顶点.
③当m>时,Δ1<0,Δ2<0,则z1,z2,z3,z4均为虚数,
所以z1,z2为共轭复数且z1+z2=-1,故z1,z2的实部均为-,
同理,z3,z4的实部均为-,即这四个复数根在复平面内对应的点均在直线x=-上,与题意矛盾.
综上,m=.
15.解析　(1)因为z=m-i(m∈R),所以=m+i,
故·(1+3i)=(m+i)(1+3i)=(m-3)+(3m+1)i,(2分)
又·(1+3i)为纯虚数,所以解得m=3.(4分)
(2)z1=i,(6分)
所以|z1|=.(8分)
(3)因为i2 025=i506×4+1=i,
所以z2=i,(10分)
因为复数z2=在复平面内对应的点在第一象限内,所以解得a>,
故实数a的取值范围为.(13分)
16.解析　(1)复数z=m+2+(m-2)i在复平面内对应的点为(m+2,m-2),(1分)
因为该点在第四象限内,所以解得-2所以实数m的取值范围是(-2,2).(4分)
(2)(i)由z=m+2+(m-2)i得=m+2-(m-2)i,
由z+=6,得m+2+(m-2)i+m+2-(m-2)i=2m+4=6,解得m=1,(6分)
故z=3-i,则z-3i=3-4i,
因为3-4i是方程x2+ax+b=0的一个根,所以该方程的另一个根为3+4i.(9分)
(ii)由(i)知z=3-i,则|ω-z|=|ω-(3-i)|=1,表示ω在复平面内对应的点W与点(3,-1)(记为Z)之间的距离为1,因此点W的轨迹是以Z(3,-1)为圆心,1为半径的圆,(11分)
而|ω|表示点W到原点O的距离,易求得|OZ|=>1,(13分)
故|OZ|-1≤|ω|≤|OZ|+1,即-1≤|ω|≤+1,
所以|ω|的取值范围是[+1].(15分)
17.解析　(1)由题意得z=i,
所以z1=z+ki=i,
z2=·ki=·ki=ki.(3分)
因为|z1|=|z2|,
所以,
即(k+1)2=0,所以k=-1.(5分)
(2)由题意得z1=a+(b+k)i,z2=bk+aki.
因为z1与z2是某个实系数一元二次方程的两个虚数根,
所以z1,z2互为共轭复数,即(8分)
若b=0,则a=k=0,此时z1,z2均为零,不符合题意;(11分)
若b≠0,则b+=-a·,整理得b2=-a2-a,
由b2>0,得a∈(-1,0),
又|z|2=a2+b2=-a,所以0<|z|2<1,即0<|z|<1.(14分)
所以符合条件的复数z的模的取值范围是(0,1).(15分)
18.解析　(1)设z=a+bi,a,b∈R,
由|z|=得a2+b2=2①,(1分)
z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,
∵z2的虚部为2,∴2ab=2②,(3分)
联立①②,解得故z=1+i或z=-1-i.(5分)
(2)当z=1+i时,易知=1-i也是方程x2+mx+2=0的一个复数根,
由根与系数的关系知z+=-m=2,故m=-2;(7分)
当z=-1-i时,易知=-1+i也是方程x2+mx+2=0的一个复数根,
由根与系数的关系知z+=-m=-2,故m=2.(9分)
综上,m的值为±2.(10分)
(3)∵z的实部大于0,∴z=1+i,
则z3=(1+i)3=1+3i+3i2+i3=-2+2i,(12分)
∴z-z3=(1+i)-(-2+2i)=3-i,
则A(1,1),B(-2,2),C(3,-1),
∴=(2,-2),(14分)
设∠BAC=θ,则cos θ=,∴sin θ=,
故△ABC的面积为|sin θ==2.(17分)
19.解析　(1)依题意,ω=-,　(2分)
所以ω2 024=()2 024=i.(4分)
(2)设x=cos θ+isin θ=eiθ,则x6=(cos θ+isin θ)6=(eiθ)6=ei·6θ=cos 6θ+isin 6θ=1,(6分)
因此sin 6θ=0且cos 6θ=1,则6θ=2kπ,k∈Z,解得θ=,k∈Z,
结合终边相同的角的概念及特征,可取k=0,1,2,3,4,5,则对应的θ依次为0,,(8分)
因此对应的x依次为1,i,
所以满足方程的复数x所组成的集合是.(10分)
(3)当z=cos时,zn=,|z|=1,
则(zn)2 024=()2 024=ei·2nπ=cos 2nπ+isin 2nπ=1,(12分)
因此关于x的方程x2 024-1=0的根依次为1,z,z2,z3,…,z2 023,
则x2 024-1=(x-1)(x-z)(x-z2)(x-z3)…(x-z2 023),(13分)
又由x2-1=(x-1)(1+x),x3-1=(x-1)(1+x+x2),x4-1=(x-1)(1+x+x2+x3),……,
可得x2 024-1=(x-1)(1+x+x2+…+x2 023),
故(x-z)(x-z2)(x-z3)…(x-z2 023)=1+x+x2+…+x2 023,(15分)
令x=1,得(1-z)(1-z2)(1-z3)…(1-z2 023)=1+1+12+…+12 023=2 024,而2 023为奇数,
所以(z-1)(z2-1)(z3-1)…(z2 023-1)=-2 024.(17分)
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