第13章　立体几何初步--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026苏教版高中数学必修第二册
第13章　立体几何初步
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法正确的是(　　)
A.三点确定一个平面
B.和两条异面直线都相交的两条直线必定是异面直线
C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
2.如图,一个水平放置的平面图形的直观图A'B'C'D'为矩形,其中A'D'=2A'B'=2,则原平面图形的周长为(　　)
A.3
3.已知α,β是两个平面,m,n是两条直线,则下列命题错误的是(　　)
A.如果α∥β,n α,那么n∥β　　　　B.如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n
C.如果m∥n,m⊥α,那么n⊥α　　　　D.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β
4.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别取棱AA1,A1D1的中点E,F,则点C1到平面EFB1的距离为(　　)
A.
5.在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将△DAP沿直线DP翻折至△DA'P处,如图所示,若M为线段A'C的中点,则异面直线BM与PA'所成角的余弦值为(　　)
A. C.
6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别在棱AA1,CC1上,AB=AC=AD=2A1D=CE=2C1E=2,点F满足(0<λ<1),若B1E∥平面ACF,则λ的值为(　　)
A.
7.已知一个正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为,过其外接球球心作平行于底面的截面,则截得的棱台的体积为(　　)
A.
8.如图①,在等边三角形ABC中,D,E分别是线段AB,AC上异于端点的动点,且BD=CE,现将三角形ADE沿直线DE折起,使平面ADE⊥平面BCED,如图②,则D从B运动到A的过程中,下列说法错误的是(　　)
A.∠ADB的大小不会发生变化
B.二面角A-BD-C的平面角的大小不会发生变化
C.BD与平面ABC所成的角变大
D.AB与DE所成的角先变小后变大
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.如图,AC为圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC于S,AN⊥PB于N,则下列结论正确的是(　　)
A.BC⊥平面PAB　　　　B.AS⊥平面PBC
C.平面ABC⊥平面PAC　　　　D.平面ANS⊥平面PBC
10.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,点E和点F分别在线段AB1和B1M上运动(不包含端点),则下列说法正确的有　(　　)
A.正方体被平面AB1M截得的截面面积为　　　　B.BE+EF的最小值为2
C.三棱锥C-EMC1的体积为　　　　 D.直线A1E可能与平面AB1M垂直
11.如图1,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,EF⊥AB,CF=EF=2DF=2,AE=3,EB=4,将四边形AEFD沿EF折叠,使AD到达A'D'的位置,且平面A'D'FE⊥平面BCFE,连接A'B,D'C,如图2,则(　　)
　　
A.BE⊥A'D'
B.平面A'EB∥平面D'FC
C.多面体A'EBCD'F为三棱台
D.直线A'D'与平面BCFE所成的角为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知一个圆柱的底面半径为3,体积为72π,若该圆柱的上、下底面圆周都在球O的球面上,则球O的表面积为　　　　.
13.已知二面角α-l-β的大小为60°,二面角内一点P到平面α、β的距离分别为3和5,则P到l的距离为　　　　.
14.如图,四边形ABCD是圆台下底面圆的内接四边形,AB=AD=4,∠BCD=,PA为圆台的母线,PA=5,圆台上底面圆的半径为1,则该圆台的表面积为　　　　,四棱锥P-ABCD的体积的最大值为　　　　.　
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证:AB∥平面A1B1C;
(2)若AA1=AB,AB1⊥B1C1,求证:平面ABB1A1⊥平面A1BC;
(3)若底面ABCD是边长为1的正方形,∠A1AB=∠A1AD=,AA1=2,求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值.
16.(本小题满分15分)如图,AB为半球M的直径,C为上一点,P为半球球面上一点,且AC⊥PC.
(1)证明:PB⊥PC;
(2)若AC=AM=2,PB=,求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值.
17.(本小题满分15分)在直四棱柱ABCD-QMNP中,底面ABCD为平行四边形,PB⊥AC,E,F,G分别为线段AQ,DC,PA的中点.
(1)证明:PA=PC;
(2)证明:平面EFG∥平面PBC;
(3)若PD=1,∠DAB=60°,当PA与平面PBC所成角的正弦值最大时,求四棱锥P-ABCD的体积.
18.(本小题满分17分)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,用曲率刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差,其中多面体的面的内角叫作多面体的面角,角度用弧度制表示.例如:正四面体每个顶点均有3个面角,每个面角均为,故其各个顶点的曲率均为2π-3×=π.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点A的曲率为,N,M分别为AB,CC1的中点,且AB=AC.
(1)证明:CN⊥平面ABB1A1;
(2)证明:平面AMB1⊥平面ABB1A1;
(3)若AA1=2AB,求二面角A-MB1-C1的正切值.
19.(本小题满分17分)已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点,且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O,已知∠BAD=60°,△PDB是等边三角形.
(1)求证:AC⊥PD;
(2)求点D到平面PBC的距离;
(3)若点E是线段AD上的动点,点E在何处时,直线PE与平面PBC所成的角最大 求出最大角的正弦值,并求出角取得最大值时线段DE的长.
答案全解全析
1.C　三个不在同一直线上的点可确定一个平面,A错误;和两条异面直线都相交的两条直线可能为相交直线,B错误;易知C正确;以直角三角形的一直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆锥,D错误.
2.C　由直观图还原平面图形,如图所示,
由四边形A'B'C'D'为矩形,得A'D'⊥O'A',
又∠A'O'D'=45°,所以△A'O'D'为等腰直角三角形,
则OA=O'A'=A'D'=2,O'D'=,
在原平面图形中,OD=2O'D'=4=6,
易知原平面图形ABCD为平行四边形,
所以原平面图形的周长为(AB+AD)×2=(1+6)×2=14.
3.D　对于A,由面面平行的定义可得n与β没有公共点,即n∥β,故A中命题正确;
对于B,如果n∥α,那么在α内一定存在直线b∥n,因为m⊥α,b α,所以m⊥b,则m⊥n,故B中命题正确;
对于C,如果m∥n,m⊥α,那么n⊥α,故C中命题正确;
对于D,α与β可能相交,也可能平行,故D中命题错误.
4.D　由题意可知EF=,
设点C1到平面EFB1的距离为h,
因为,
所以,解得h=.
5.C　取A'D的中点N,连接PN,MN,则PN=,
∵M是A'C的中点,∴MN∥CD,MN=CD,
∵CD∥AB,P为AB的中点,∴MN∥PB且MN=PB,故四边形PBMN为平行四边形,
∴MB∥PN,故∠A'PN(或其补角)为异面直线BM与PA'所成的角,
在Rt△NA'P中,cos∠A'PN=.
6.C　在BB1上取一点G,使得B1G=2BG,连接CG,AG,如图所示.
∵CE=2C1E=2,∴CC1=BB1=3,∴在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1G∥CE,且B1G=CE=2,
∴四边形B1GCE为平行四边形,∴B1E∥CG,
∵B1E 平面ACG,CG 平面ACG,∴B1E∥平面ACG,
若B1E∥平面ACF,则F在平面ACG内,又F为BD上一点,∴F为BD与AG的交点.
易知△BFG∽△DFA,∴,
∴,即λ的值为.
7.B　正三棱锥S-ABC如图,设M为△ABC的中心,三棱锥外接球的半径为R,球心为O,过点O且与底面ABC平行的截面为△A1B1C1,连接SM,BM,OB,
则BM==2,
在Rt△BOM中,+(2-R)2=R2,解得R=,所以OM=SM-R=,解得A1B1=,
则截得的棱台的上、下底面的面积为S上=,S下=,高为OM=,所以棱台的体积V=.
8.C　设等边三角形ABC的边长为1,AD=x(0在△ABC中,由BD=CE,得DE∥BC.
如图①,过点A作AG⊥BC,交DE于点H,交BC于点G,连接BH,则AH⊥DE,
在Rt△AGB中,∠ABG=60°,AB=1,∴BG=.
又DE∥BC,∴∠ADH=∠ABG=60°,
易得AH=x,则HG=(1-x).
如图②,在三角形ADE沿直线DE折起的过程中,始终满足AH⊥DE,HG⊥BC.
∵平面ADE⊥平面BCED,平面ADE∩平面BCED=DE,AH 平面ADE,∴AH⊥平面BCED.
又BH 平面BCED,∴AH⊥BH.
在Rt△BHG中,BH=,
在Rt△ABH中,AB=,
在△ADB中,cos∠ADB=,
∴∠ADB的大小不会发生变化,故A中说法正确.
过H作HO⊥BD,交BD的延长线于点O,连接AO,CD,
在Rt△HOD中,∠ODH=∠DBC=60°,DH=,
∴OH=x.
∵AH⊥平面BCED,BD 平面BCED,∴AH⊥BD,
又AH∩OH=H,AH,OH 平面AOH,
∴BD⊥平面AOH,
∴∠AOH为二面角A-BD-C的平面角.
在Rt△AOH中,tan∠AOH==2,
∴二面角A-BD-C的平面角的大小不会发生变化,故B中说法正确.
连接AG,∵AH⊥平面BCED,BC,HG 平面BCED,
∴AH⊥BC,AH⊥HG,
又HG⊥BC,HG∩AH=H,HG,AH 平面AGH,
∴BC⊥平面AGH,
∵AG 平面AGH,∴BC⊥AG.
在Rt△AHG中,AG=.
设点D到平面ABC的距离为d,
由等体积法可得VA-BCD=VD-ABC,
即S△BCD·AH=S△ABC·d,
则d=.
设BD与平面ABC所成的角为θ,
则sin θ=,
D从B运动到A的过程中,x的值从1变到0(1与0均取不到),这一过程中逐渐变大,
∴sin θ变小,则角θ变小,故C中说法错误.
由DE∥BC得∠ABC(或其补角)为AB与DE所成的角,
易得tan∠ABC=,
令f(x)=(0当0当∴tan∠ABC先变小后变大,即AB与DE所成的角先变小后变大,故D中说法正确.
9.ACD　对于A,因为PA垂直于圆O所在的平面,BC在圆O所在的平面内,所以PA⊥BC,
因为AC为圆O的直径,B在圆周上,所以AB⊥BC,
又PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB,故A正确;
对于B,BC 平面PBC,若AS⊥平面PBC,则AS⊥BC,
又PA⊥BC,PA∩AS=A,PA,AS 平面PAC,所以BC⊥平面PAC,
又AC 平面PAC,所以BC⊥AC,这与AB⊥BC矛盾,故B错误;
对于C,因为PA⊥平面ABC,PA 平面PAC,所以平面ABC⊥平面PAC,故C正确;
对于D,由A知BC⊥平面PAB,因为AN 平面PAB,所以BC⊥AN,又AN⊥PB,PB∩BC=B,BC,PB 平面PCB,所以AN⊥平面PBC,又AN 平面ANS,所以平面ANS⊥平面PBC,故D正确.
10.AC　对于A,如图1,取C1D1的中点G,连接GB1,GM,DC1,
因为M为DD1的中点,所以MG∥DC1,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1∥DC1,所以AB1∥MG,
则正方体被平面AB1M所截得的截面为四边形AMGB1,且四边形AMGB1为等腰梯形,AM=B1G=,
在等腰梯形AMGB1中,过点M作MH⊥AB1于点H,如图2所示,
则AH=,所以MH=,
所以等腰梯形AMGB1的面积为,故A正确;
对于B,由AB=BB1=2,AB1=2=3,得在△AB1M中,cos∠AB1M=,则∠AB1M=45°,
将平面AB1M展开到与平面ABB1在同一个平面内,如图3所示,
所以∠BB1M为直角,连接BE,
所以当E,F都与B1重合时,BE+EF取得最小值2,与E,F不与端点重合矛盾,故B错误;
对于C,·B1C1=,故C正确;
对于D,在图1中连接A1E,若A1E⊥平面AB1M,则A1E⊥AB1,此时E为AB1的中点,
又AD⊥平面ABB1A1,A1E 平面ABB1A1,所以AD⊥A1E,
又AB1∩AD=A,AB1,AD 平面AB1C1D,所以A1E⊥平面AB1C1D,
又A1E⊥平面AB1M,所以平面AB1M∥平面AB1C1D,
显然平面AB1M与平面AB1C1D相交,矛盾,
所以A1E不可能与平面AB1M垂直,故D错误.
11.ABD　对于A,因为平面A'D'FE⊥平面BCFE,平面A'D'FE∩平面BCFE=EF,BE 平面BCFE,BE⊥EF,所以BE⊥平面A'D'FE,
又A'D' 平面A'D'FE,所以BE⊥A'D',故A正确.
对于B,因为A'E∥D'F,A'E 平面D'FC,D'F 平面D'FC,所以A'E∥平面D'FC,
因为BE∥CF,BE 平面D'FC,CF 平面D'FC,所以BE∥平面D'FC,
又A'E∩BE=E,A'E,BE 平面A'EB,
所以平面A'EB∥平面D'FC,故B正确.
对于C,因为,则,所以多面体A'EBCD'F不是三棱台,故C错误.
对于D,延长A'D',EF,相交于点G,
因为平面A'D'FE⊥平面BCFE,平面A'D'FE∩平面BCFE=EF,A'E 平面A'D'FE,A'E⊥EF,
所以A'E⊥平面BCFE,则∠A'GE为直线A'D'与平面BCFE所成的角.
因为A'E∥D'F,所以,即,
解得GF=1,则GE=3,则tan∠A'GE==1,
则∠A'GE=,故D正确.
12.答案　100π
解析　如图,设M,N为圆柱上、下底面圆圆心,
由圆柱的体积V=π×32·MN=72π,可得MN=8,
则该圆柱的外接球球O的球心O为MN的中点,在Rt△ONA中,由勾股定理得OA==5,即外接球的半径R=5,所以球O的表面积S=4πR2=4π×52=100π.
13.答案　
解析　如图,过P作PA⊥α于点A,作PB⊥β于点B,则PA=3,PB=5,设l∩平面PAB=O,
由α∩β=l,得l⊥PA,l⊥PB,
因为PA,PB是平面PAB内的两条相交直线,所以l⊥平面PAB,
又OP,OA,OB 平面PAB,所以l⊥OP,l⊥OA,l⊥OB,故∠AOB是二面角α-l-β的平面角,即∠AOB=60°,
则∠APB=120°,在△APB中,由余弦定理得AB==7,
易知P到l的距离OP是四边形OAPB的外接圆的直径,即△APB的外接圆的直径,所以由正弦定理得OP=.
14.答案　42π;
解析　如图,连接BD.
因为∠BCD=,所以∠BAD=.
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=42+42-2×4×4×cos 120°=48,
所以BD=4.
由正弦定理可知四边形ABCD外接圆的直径为=8,
所以圆台的下底面圆的半径R=4,又上底面圆的半径r=1,
所以圆台的侧面积S侧=π(r+R)l=π×5×5=25π,
上底面面积S上=πr2=π,下底面面积S下=πR2=16π,
所以圆台的表面积S表=25π+π+16π=42π.
在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD=BC2+CD2-BC·CD≥2BC·CD-BC·CD=BC·CD,
所以BC·CD≤48,当且仅当BC=CD=4时等号成立,
所以S△BCD=BC·CD·sin∠BCD≤12,
又S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=,　
所以四边形ABCD面积的最大值为12,
又四棱锥P-ABCD的高h==4,
所以四棱锥P-ABCD的体积的最大值为S四边形ABCD·h=.
15.解析　(1)证明:由平行六面体的性质得AB∥A1B1,
又AB 平面A1B1C,A1B1 平面A1B1C,
所以AB∥平面A1B1C.(2分)
(2)证明:由AA1=AB知平行四边形ABB1A1为菱形,所以AB1⊥A1B,
因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC,(4分)
又A1B∩BC=B,A1B,BC 平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC,
又AB1 平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.　(7分)
(3)连接A1D,易知A1D∥B1C,所以异面直线A1B与B1C所成的角即为∠BA1D或其补角,(8分)
由底面ABCD是边长为1的正方形可知∠BAD=,且AB=AD=1,所以BD=,
在△A1AB中,由余弦定理可得
A1B=
=,(10分)
在△A1AD中,由余弦定理可得A1D=,(12分)
所以在△A1DB中,由余弦定理得cos∠BA1D=,
因此异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.(13分)
16.解析　(1)证明:因为AB为半球M的直径,C为上一点,所以AC⊥BC,
又AC⊥PC,BC∩PC=C,BC,PC 平面PBC,
所以AC⊥平面PBC,(2分)
又PB 平面PBC,所以AC⊥PB,
因为P为半球球面上一点,所以PA⊥PB,(4分)
又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,所以PB⊥平面PAC,
又PC 平面PAC,所以PB⊥PC.(6分)
(2)在Rt△ABC中,AB=2AM=4,AC=2,所以BC=2,
所以PC=,(8分)
在Rt△PAB中,PA=.
故S△PAC=·AC·PC=,
S△PAB=·PA·PB=,(11分)
设点C到平面PAB的距离为h,
由VC-PAB=VB-PAC,知S△PAB·h=S△PAC·PB,
所以h=,(13分)
设直线PC与平面PAB所成的角为θ,
则sin θ=.(15分)
17.解析　(1)证明:连接BD,设AC∩BD=O,连接PO.
因为PD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PD⊥AC,
又PB⊥AC,PB∩PD=P,PB,PD 平面PDB,
所以AC⊥平面PDB.(2分)
因为PO 平面PDB,所以AC⊥PO,
又由四边形ABCD为平行四边形得AO=OC,
所以PA=PC.(4分)
(2)证明:延长EG交PD于点H,连接FH,则H为PD的中点.
因为E,F,G,H分别为AQ,DC,PA,PD的中点,
所以EG∥PQ,FH∥PC.(5分)
又PQ∥BC,所以EG∥BC.
因为EG 平面PBC,BC 平面PBC,
所以EG∥平面PBC,
同理可得HF∥平面PBC,
因为EG∩HF=H,EG,HF 平面EFG,
所以平面EFG∥平面PBC.(8分)
(3)设AD=x,x>0,
由(1)可得AC⊥平面PDB,
因为BD 平面PDB,所以AC⊥BD,
故平行四边形ABCD为菱形,(9分)
又∠DAB=60°,所以BD=AB=x.
因为PD⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以PD⊥AD,
故PA=,同理得PC=PB=.
故S△PBC=.(11分)
设d为点A到平面PBC的距离,PA与平面PBC所成的角为θ,则sin θ=.(12分)
又VP-ABC=×PD×S△ABC=×S△ABD=×d×S△PBC=,
故x2,故d=,
故sin θ=-3,
当且仅当x4=,即x=时等号成立,(14分)
故当PA与平面PBC所成角的正弦值最大时,
VP-ABCD=.(15分)
18.解析　(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,
因为AC,AB 平面ABC,所以AA1⊥AC,AA1⊥AB,
所以点A的曲率为2π-2×-∠BAC=,
所以∠BAC=.(2分)
又AB=AC,所以△ABC为正三角形.
因为N为AB的中点,所以CN⊥AB.(3分)
又AA1⊥平面ABC,CN 平面ABC,所以AA1⊥CN,
因为AA1∩AB=A,AA1,AB 平面ABB1A1,
所以CN⊥平面ABB1A1.(5分)
(2)证明:取AB1的中点D,连接DM,DN.
因为N为AB的中点,所以DN∥BB1且DN=BB1.(7分)
又CM∥BB1且CM=BB1,所以DN∥CM且DN=CM,
所以四边形CNDM为平行四边形,则DM∥CN.(8分)
由(1)知CN⊥平面ABB1A1,则DM⊥平面ABB1A1.
又DM 平面AMB1,所以平面AMB1⊥平面ABB1A1.(10分)
(3)取BC的中点F,连接AF,则AF⊥BC.
因为BB1⊥平面ABC,AF 平面ABC,
所以BB1⊥AF,
因为BB1∩BC=B,BB1,BC 平面BB1C1C,
所以AF⊥平面BB1C1C.
又B1M 平面BB1C1C,所以AF⊥B1M,
过F作B1M的垂线,垂足为H,连接AH,
又AF∩FH=F,AF,FH 平面AFH,
所以B1M⊥平面AFH,
又AH 平面AFH,所以AH⊥B1M,所以∠AHF为二面角A-MB1-C1的平面角的补角.(13分)
设B1M∩BC=E,AB=2,则AF=.
由等面积法可得ME·FH=EF·CM,则FH=,(15分)
则tan∠AHF=,
故二面角A-MB1-C1的正切值为-.(17分)
19.解析　(1)证明:∵点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O,∴PO⊥平面ABCD,
∵AC 平面ABCD,∴PO⊥AC,(2分)
∵四边形ABCD为菱形,∴BD⊥AC,
∵PO∩BD=O,PO,BD 平面PBD,
∴AC⊥平面PBD,(4分)
∵PD 平面PBD,∴AC⊥PD.(5分)
(2)由题意可得△ABD,△BCD,△PBD都是边长为2的等边三角形,
∴PO=AO=CO=,S△BDC=,
∵BP=BC=2,∴S△PBC=,(8分)
设点D到平面PBC的距离为h,由VD-PBC=VP-BDC得S△PBC·h=S△BDC·OP,
即,解得h=.
故点D到平面PBC的距离为.(10分)
(3)设直线PE与平面PBC所成的角为θ,
∵AD∥BC,AD 平面PBC,BC 平面PBC,
∴AD∥平面PBC,
∴E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离h.
过E作EF⊥平面PBC,交平面PBC于点F,连接PF,则θ=∠EPF,
此时sin θ=,又θ∈,故要使θ最大,则需使PE最小,此时PE⊥AD.(12分)
由题意可知OD=1,OA=,
∵PO⊥平面ABCD,且PO=,
∴PA==2,
在△PAD中,由余弦定理可得
cos∠PAD=,
∴sin∠PAD=,(14分)
由等面积法得S△PAD=AP·ADsin∠PAD=AD·PE,　
即×2×PE,解得PE=,
则DE=,sin θ=,(16分)
即点E为线段AD上靠近点D的四等分点时,直线PE与平面PBC所成的角最大,此时sin θ=.(17分)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)