第14章 统计复习提升--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对分层抽样的抽样比或权重理解有误致错
1.某医用口罩生产厂家生产A,B,C三种不同口罩,A,B,C三种口罩产量之比为2∶m∶1.为了调查这三种口罩的质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,样本中B种口罩数量比A种多40只,比C种多80只,则n=(　　)
A.240　　　　B.280　　　　C.320　　　　D.360
2.(2025江苏淮安马坝高级中学阶段检测)据统计,某市中学生的男、女生人数之比为2∶3,为了调查该市中学生每天睡眠时长的情况,按照男、女生人数比用分层抽样的方法抽取样本.根据样本数据计算出男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时,方差为2,女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时,方差为1.9,则可估计该市中学生每天睡眠时长的平均数为　　　　小时,方差为　　　　.
参考公式:分层抽样中,假设第一层有m个数,平均数为,方差为s2;第二层有n个数,平均数为,方差为t2,则总样本方差b2=
易错点2　忽视频率分布直方图的特征致错
3.(2024江苏泰州中学、宿迁中学、宜兴中学调研)为了加深师生对党史的了解,激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情,某校举办了“学党史、育文化”知识竞赛,并将1 000名参赛师生的竞赛成绩(满分100分,成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法错误的为(　　)
A.a的值为0.005
B.估计这组数据的众数为75
C.估计这组数据的85百分位数为85
D.估计成绩低于60分的有250人
易错点3　运用数字特征评价时考虑不周致错
4.(2024甘肃定西月考)现对甲、乙两人进行射靶测试,两人在相同的条件下各射靶10次,每次射靶成绩均为整数(单位:环),如图所示.
(1)填写下表:
平均数/环 方差/环2 中位数/环 命中9环及 以上/次
甲 1.2 7
乙 3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析:
①从平均数与方差相结合的角度分析谁更优秀;
②从平均数与中位数相结合的角度分析谁的成绩好些;
③从平均数和命中9环及以上的次数看谁的成绩好些;
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更好.
思想方法练
一、数形结合思想在统计图表中的应用
1.(多选题)(2025山东淄博摸底考试)某校举行了交通安全知识主题演讲比赛,甲、乙两位同学演讲后,6位评委对他们两人分别进行打分(满分10分),得到如图所示的折线统计图,则(　　 )
A.若去掉最高分和最低分,则甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B.甲得分的极差大于乙得分的极差
C.甲得分的75%分位数小于乙得分的75%分位数
D.甲得分的方差大于乙得分的方差
二、函数与方程思想在统计中的应用
2.(2025江苏连云港海头高级中学阶段检测)已知一组数据x1,x2,…,xn的平均数为a,标准差为s.若2x1-1,2x2-1,…,2xn-1的平均数与方差相等,则s2-a2的最大值为(　　)
A.-1　　　　 B.-
3.(2024四川成都诊断检测)2024年1月,某市的高二调研考试首次采用了“3+1+2”的新高考模式.该模式下,计算学生个人总成绩时,3+1的学科均以原始分记入,再选的2个学科(学生在政治、地理、化学、生物中选修2科)以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法如下:先将学生再选科目的原始成绩按从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级,各等级人数所占比例及各等级的赋分区间如表所示,所得分数的小数点后一位要进行“四舍五入”,最后得到保留为整数的转换分成绩作为赋分成绩.
等级 A B C D E
比例 15% 35% 35% 13% 2%
赋分区间 100~86 85~71 70~56 55~41 40~30
已知本次考试中化学科目的满分为100分.
(1)已知转换公式符合一次函数模型,若学生甲、乙在本次考试中化学的原始成绩分别为84分,78分,转换分成绩分别为78分,71分,试估算该市本次化学原始成绩B等级中的最高分;
(2)现从该市本次考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析,得到其频率分布直方图如图所示,求出图中a的值,并用样本估计总体的方法,估计该市本次化学原始成绩B等级中的最低分.
三、分类讨论思想在统计中的应用
4.(2025江西南昌期末)某车间10名工人生产的某产品的件数分别为32,35,38,39,40,42,44,44,45,x,若这组数据的50%分位数与25%分位数的差为2,且x∈N,则x=　　　　.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.A　设样本中A,B,C三种口罩分别有a只,b只,c只,
则=2,∴b=120,
则a=80,c=40,故n=a+b+c=240.
易错警示　分层抽样就是按比例抽样,解决有关分层抽样问题时,先根据题目条件得出或计算出相应比例,或者各部分的权重,再列式求解.
2.答案　7;2
解析　因为该市中学生的男、女生人数之比为2∶3,所以设男、女生人数分别为2a,3a,
故该市中学生每天睡眠时长的平均数为=7(小时),
每天睡眠时长的方差为2a×2+3a×1.9+(7.3-6.8)2=2.
3.C　由题图可知10(2a+3a+3a+6a+5a+a)=1,即a=0.005,故A中说法正确;
观察题图知成绩在区间[70,80)内的人最多,故可估计这组数据的众数为75,故B中说法正确;
前四组频率之和为(2+3+3+6)×0.005×10=0.7,
前五组频率之和为(2+3+3+6+5)×0.005×10=0.95,
可知这组数据的85百分位数在[80,90)内,
设这组数据的85百分位数为m,
则有0.7+5×0.005×(m-80)=0.85,故m=86,
则估计这组数据的85百分位数为86,故C中说法错误;
估计成绩低于60分的有10×0.005×(2+3)×1 000=250(人),故D中说法正确.
易错警示　在频率分布直方图中,纵轴表示频率与组距的比值,而不是频率.各矩形的面积之比与高度之比都等于频率之比.
4.解析　(1)甲的平均数为=7(环),
乙的平均数为=7(环),
乙的方差×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+…+(9-7)2+(10-7)2]=5.4(环2),
乙的环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,
所以乙的中位数为=7.5(环),
故补全表格如下:
平均数/环 方差/环2 中位数/环 命中9环及以上/次
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
(2)①甲、乙的平均数相同,但是,说明甲的成绩更稳定,甲比乙优秀.
②甲、乙的平均数相同,而乙的中位数比甲大,说明乙射击环数大的次数比甲多,所以乙的成绩好些.
③甲、乙的平均数相同,但乙命中9环及以上的次数比甲多,可知乙的射击成绩好些.
④从题中折线图上看,乙的成绩基本呈上升趋势,而甲的成绩在平均线上波动不大,说明乙的状态在上升,有可挖掘的潜力.
易错警示　用样本的数字特征进行决策时,要结合题意,综合多个数字特征下结论.如本题中甲、乙的平均数相同,但乙的方差比甲大,说明乙的成绩不稳定,是不是乙的成绩就不好呢 其实乙的成绩一直处于上升趋势,所以还要根据实际情况及多种数据结合判断.
思想方法练
1.ABD　将甲、乙的得分从小到大排列如下:
甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,
根据题中折线图读出原始数据,进而利用相关公式得出中位数、极差、75%分位数.
去掉最高分和最低分后,可得甲的中位数为8.9,乙的中位数为8.6,故A正确;
甲得分的极差为9.3-7.0=2.3(分),乙得分的极差为9.1-8.1=1(分),故B正确;
6×75%=4.5,所以甲的75%分位数为9.2,乙的75%分位数为8.7,故C错误;
由题中折线图可直观看出两人得分波动的大小,进而判断方差的大小.
由题图可以看出,甲得分的波动比乙大,故甲得分的方差大于乙得分的方差,故D正确.
思想方法　数形结合思想是统计学中很重要的一种思想方法.一方面用图形可以直观表示相关统计量;另一方面可以借助图形分析样本数据的分布状况、变化趋势、变量间的关系等,进而估计总体的状况.
2.C　由题意知2a-1=4s2,整理得s2=,
又s2≥0,所以≥0,即a≥,
从而s2-a2=-a2+,
要求s2-a2的最大值,可转化为求二次函数y=-a2+上的最大值.
因为二次函数y=-a2+图象的对称轴为直线a=,所以该函数在上单调递减,故当a=时,(s2-a2)max=-.
3.解析　(1)设转换公式中转换分成绩y关于原始成绩x的一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),
则
通过构建关于k,b的方程组,用待定系数法求解.
∵B等级中转换分的最高分为85分,
∴令85=x-20,解得x=90.
故估计该市本次化学原始成绩B等级中的最高分为90分.
(2)∵10×(0.005+0.010+0.012+0.015+0.033+a)=1,
根据频率分布直方图的性质建立关于a的方程,求出a的值.
∴a=0.025.
设该市本次化学原始成绩B等级中的最低分为x分,
∵10×0.010+10×0.015+10×0.025=0.5,∴x=70,
即估计该市本次化学原始成绩B等级中的最低分为70分.
思想方法　在统计中,常通过频率分布直方图的相关性质和样本数字特征的相关公式列方程解决问题,在求样本的数字特征时,偶尔也会通过构造函数,结合函数的性质来求解.
4.答案　 40
解析　因为已知数据有10个,所以其50%分位数为从小到大排列后的第5项和第6项数据的平均值,25%分位数为从小到大排列后的第3项数据.
若x<35,则这组数据的50%分位数与25%分位数分别为=39.5和35,而39.5-35=4.5,不合题意;
若35≤x<38,则这组数据的50%分位数与25%分位数分别为=39.5和x,令39.5-x=2,解得x=37.5,不合题意;
若38≤x<39,则这组数据的50%分位数与25%分位数分别为=39.5和38,而39.5-38=1.5,不合题意;
若39≤x<42,则这组数据的50%分位数与25%分位数分别为和38,令-38=2,解得x=40,符合题意;
若x≥42,则这组数据的50%分位数与25%分位数分别为=41和38,它们的差为3,不符合题意.
综上,x=40.
思想方法　当样本中的数据不确定时,数据的不同取值可能会对相关的数字特征产生影响,需要对数据的不同取值进行讨论,讨论时要明确分类标准,做到不重不漏.
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