第14章　统计--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
第14章　统计
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列调查中,调查方式选择合理的是(　　)
A.了解某市高一年级学生的身高情况,选择普查
B.了解长征运载火箭的设备零件质量情况,选择抽样调查
C.了解一批待售袋装牛奶中的细菌数是否达标,选择普查
D.了解一批炮弹的杀伤力,选择抽样调查
2.某市AI智能机器人比赛有29位同学参赛,他们在预赛中所得的积分互不相同,只有积分在前15名的同学才能进入决赛.若某同学知道自己的积分后,要判断自己能否进入决赛,则他只需要知道这29位同学的预赛积分的(　　)
A.中位数　　　　B.众数　　　　C.平均数　　　　D.极差
3.一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,5,6,m,10,12,13.若该组数据的中位数是极差的,则该组数据的第60百分位数是(　　)
A.6　　　　B.7.5　　　　C.9　　　　D.9.5
4.某校组织全体学生参加主题为“强国之路”的知识竞赛活动,从中随机抽取了2 000名学生进行成绩统计,这些学生的成绩(单位:分)都在50分至100分之间,进行适当分组后(每组均为左闭右开区间),画出频率分布直方图(如图),下列说法正确的是(　　)
A.在被抽取的学生中,成绩在区间[90,100)内的学生有750人
B.直方图中x的值为0.020
C.估计全校学生成绩的中位数为87分
D.估计全校学生成绩的80%分位数为90分
5.随着DeepSeek的流行,各种AI大模型层出不穷,现对甲、乙两个大模型进行深度体验后,6位评委分别对甲、乙两个大模型进行打分(满分10分),得到下表.
1 2 3 4 5 6
甲 8.0 9.2 8.0 8.2 8.6 8.4
乙 7.8 9.0 8.3 8.4 8.5 8.5
则下列结论正确的是(　　)
A.甲模型得分的平均数大于乙模型得分的平均数　　　　
B.甲模型得分的中位数大于乙模型得分的中位数
C.甲模型得分的极差大于乙模型得分的极差　　　　
D.甲模型得分的方差大于乙模型得分的方差
6.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的,图中每个扇形的圆心角都是相等的,半径长短表示数量大小.某机构统计了2016年至2023年某国知识付费用户数量(单位:亿人次),并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示),根据此图,以下说法错误的是(　　)
A.2016年至2023年,知识付费用户数量逐年增加
B.2016年至2023年,知识付费用户数量逐年增加量中,2019年最多
C.2016年至2023年,知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D.2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍
7.某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量(单位:百辆),得到如下折线图:
现对2021年至2024年这4年的数据进行分析,设新能源汽车和纯电动汽车的销量的方差分别为,新能源汽车和纯电动汽车的销量的年平均增长率分别为p1和p2,则(　　)
A.,p1>p2
8.根据气象学上的标准,连续5天的日平均气温低于10 ℃即为入冬,某地将连续5天的日平均气温的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本,现有4组样本,它们各自的数据特征如下:①平均数<4;②平均数<4且极差小于或等于3;③平均数<4且标准差s≤4;④众数等于5且极差小于或等于4.
则4组样本中一定符合入冬标准的有(　　)
A.1组　　　　B.2组　　　　C.3组　　　　D.4组
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.某市教育局为了解网络教学期间的学生学习情况,从该市随机抽取了1 000名高中生,对他们每天的平均学习时间进行问卷调查,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图,下列说法正确的是(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(　　)
A.这1 000名高中生每天的平均学习时间为6小时~8小时的人数为100
B.估计该市高中生每天的平均学习时间的众数为9小时
C.估计该市高中生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时
D.估计该市高中生每天的平均学习时间的平均数为8.6小时
10.为了解某企业员工的学习情况,对该企业员工进行问卷调查,已知他们的得分都在A,B,C,D四个区间内,根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占,则下列结论正确的是(　　)
　　
A.男、女员工得分在A区间内的人数占比相同
B.在各得分区间内,男员工的人数均多于女员工的人数
C.得分在C区间内的员工人数最多
D.得分在D区间内的员工人数占总人数的19%
11.甲同学投掷骰子5次,并请乙同学将向上的点数记录下来,计算出平均数和方差.由于记录遗失,乙同学只记得这5个点数的平均数为2,方差在区间[1.2,2.4]内,则这5个点数(　　)
A.众数可能为1　　　　B.中位数可能为3
C.一定不会出现6　　　　D.出现2的次数不会超过2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.某高中为了解高二年级学生的作业情况,利用随机数表对该校400名高二学生进行抽样,先将所有学生按001,002,…,400进行编号,从中抽取40个样本.若从下面的随机数表中的第1行第6列的数开始向右读,则得到的第4个样本编号是　　　　.
844212　533134　570127　328623　457889　072368　960804
325678　084367　895355　773489　948375　225355　783245
13.甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温(单位:℃)如下,
甲地:10,14,16,15,11,13,12;乙地:18,19,15,16,17,14,a,
记这7天甲地每天最低气温的标准差为s1,乙地每天最低气温的标准差为s2,若s1=s2,则a的值可以为　　　　.(写一个符合题意的答案即可)
14.为促进学生德、智、体、美、劳全面发展,某校开发出文化艺术课程、科技课程、体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数,从全校随机抽取5个班级,设这5个班级参加科技课程的人数分别为x,y,z,m,n(x四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)2024年4月25日,搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射,航天员叶光富、李聪、李广苏开始了他们的太空征程.为纪念中国航天事业所取得的成就,发掘并传承中国航天精神,某市随机抽取n名学生进行了航天知识竞赛,将成绩(单位:分,满分150分)整理后分成五组:[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知得分在[50,70),[70,90)内的频数分别为500,800.
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x,y的值;
(2)估计这n名学生成绩的平均数、86%分位数(求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表).
16.(本小题满分15分) “难度系数”反映试题的难易程度,难度系数越大,题目得分率越高,难度也就越小,“难度系数”的计算公式为L=1-,其中L为难度系数,Y为样本平均失分,W为试卷总分.某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷(每套测试卷总分为150分),用于对该校高二年级480名学生进行每周测试,测试前老师根据自己对学生的了解,预估了每套试卷的难度系数,如下表所示:
试卷序号i 1 2 3 4 5
考前预估难度系数Li 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55
测试后,随机抽取了50名学生的数据进行统计,结果如下:
试卷序号i 1 2 3 4 5
平均分/分 102 99 93 93 87
(1)根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分;
(2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间可能存在偏差,设Li'为第i套试卷的实测难度系数,并定义统计量S=[(L1'-L1)2+(L2'-L2)2+…+(Ln'-Ln)2](n为试卷套数),若S<0.001,则认为试卷的难度系数预估合理,否则认为不合理.以样本平均分估计总体平均分,试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理.
17.(本小题满分15分)某校艺术团共有150人,男生与女生的人数比是2∶1.为了解艺术团全体学生的身高,按性别比例进行分层抽样,抽取样本量为30的样本,并观测样本身高(单位:cm).已知男生样本的身高平均数为169,标准差为.下表是抽取的女生的样本数据:
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高/cm 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163
记抽取的第i个女生的身高(单位:cm)为xi(i=1,2,3,…,10),样本平均数=160,标准差s=.
(1)用样本估计总体,试估计艺术团女生身高(单位:cm)在[160,165]内的人数;
(2)用总样本的平均数和方差估计艺术团学生总体身高的平均数μ和方差σ2;
(3)若女生样本中身高在(+2s)之外的数据称为偏离值,剔除偏离值后,计算剩余女生样本身高的平均数与方差.
(参考数据:≈3.9,1592=25 281,1692=28 561)
18.(本小题满分17分)某市为了制订合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样,获得200户居民的年用水量(单位:吨)数据,按[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成九组,绘制成频率分布直方图(如图所示).
(1)求频率分布直方图中t的值;
(2)根据频率分布直方图估计该市60%的居民年用水量不超过m吨,求m的值;
(3)已知该市有100万户居民,规定:每户居民年用水量不超过50吨的正常收费,若超过50吨,则超出的部分每吨收1元水资源改善基金,请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数.(每组数据用所在区间的中点值代替)
19.(本小题满分17分)某校高三年级在一次月考后,对普通班100位学生的数学成绩作了统计分析,发现其中低于100分的有60位学生,且他们的成绩X都在[75,100)内.
(1)对他们的考试分数以5为组距画频率分布直方图时,发现Y满足:Y=5n≤X<5(n+1).
试求k的值,并估计低于100分的学生成绩的平均值;
(2)若在原始数据中,低于100分的学生成绩的平均值为70分,方差为400分2,如果计算100位学生成绩的原始数据,得其平均值为94分,方差为1 300分2,请求出数学成绩在100分及其以上的学生的成绩的平均值和方差.
答案全解全析
1.D　A中调查总体中的个体数比较大,不适合用普查,B中调查对精确度要求较高,应该用普查,C,D中调查具有破坏性,应用抽样调查.故D正确.
2.A　因为29位同学的积分中,中位数是第15名同学的积分,所以知道中位数即可判断是否在前15名,即是否进入决赛.
3.C　这组数据一共8个数,中位数为,极差为13-1=12,所以,解得m=9,又8×60%=4.8,所以第60百分位数是第5个数据9.
4.C　对于A,由题图可知,成绩(单位:分)在区间[90,100)内的频率为0.040×10=0.4,所以在被抽取的学生中,成绩在区间[90,100)内的有0.4×2 000=800(人),故A错误;
对于B,由题图得(0.005+0.010+x+0.030+0.040)×10=1,解得x=0.015,故B错误;
对于C,前3组的频率和为(0.005+0.010+0.015)×10=0.3,前4组的频率和为0.3+0.030×10=0.6,所以中位数在[80,90)内,设其为a分,则0.3+(a-80)×0.030=0.5,得a≈87,估计全校学生成绩的中位数为87分,故C正确;
对于D,易知80%分位数在[90,100)内,设其为m分,则0.6+(x-90)×0.040=0.8,得m=95,故D错误.
5.D　由题表可知甲模型得分的平均数=8.4,
乙模型得分的平均数≈8.42,因为8.4<8.42,故A错误;
将甲模型的6个得分从小到大排列为8.0,8.0,8.2,8.4,8.6,9.2,所以甲模型得分的中位数为=8.3,
将乙模型的6个得分从小到大排列为7.8,8.3,8.4,8.5,8.5,9.0,所以乙模型得分的中位数为=8.45,因为8.3<8.45,故B错误;
甲模型得分的极差为9.2-8.0=1.2,乙模型得分的极差为9.0-7.8=1.2,故C错误;
甲模型得分的方差×[(8.0-8.4)2+(9.2-8.4)2+(8.0-8.4)2+(8.2-8.4)2+(8.6-8.4)2+(8.4-8.4)2]≈0.17,
乙模型得分的方差×[(7.8-8.42)2+(9.0-8.42)2+(8.3-8.42)2+(8.4-8.42)2+(8.5-8.42)2+(8.5-8.42)2]≈0.12,0.17>0.12,故D正确.
6.C　对于A,由题图可知,2016年至2023年,知识付费用户数量逐年增加,故A中说法正确;
对于B和C,知识付费用户数量(单位:亿人次)的逐年增加量分别为:2017年,0.96-0.48=0.48,2018年,1.88-0.96=0.92,2019年,2.95-1.88=1.07,2020年,3.56-2.95=0.61,2021年,4.15-3.56=0.59,2022年,4.77-4.15=0.62,2023年,5.27-4.77=0.5,
则知识付费用户数量逐年增加量中,2019年最多,知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增的,故B中说法正确,C中说法错误;
对于D,由5.27>10×0.48,知2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍,故D中说法正确.
7.B　2021年至2024年这4年新能源汽车的销量(单位:百辆)分别为221,398,412,528,
平均数为×(221+398+412+528)=389.75,
所以×[(221-389.75)2+(398-389.75)2+(412-389.75)2+(528-389.75)2]=12 038.187 5,
2021年的新能源汽车销量的年增长率为≈21.43%,
2022年的新能源汽车销量的年增长率为≈80.09%,
2023年的新能源汽车销量的年增长率为≈3.52%,
2024年的新能源汽车销量的年增长率为≈28.16%,
故p1=×(21.43%+80.09%+3.52%+28.16%)=33.33%.
2021年至2024年这4年纯电动汽车的销量(单位:百辆)分别为121,298,312,366,
平均数为×(121+298+312+366)=274.25,
所以×[(121-274.25)2+(298-274.25)2+(312-274.25)2+(366-274.25)2]=8 473.187 5,
2021年的纯电动汽车销量的年增长率为≈42.35%,
2022年的纯电动汽车销量的年增长率为≈146.28%,
2023年的纯电动汽车销量的年增长率为≈4.70%,
2024年的纯电动汽车销量的年增长率为≈17.31%,
故p2=×(42.35%+146.28%+4.70%+17.31%)=52.66%,
所以,p18.B　①举反例:0,0,0,4,11,其平均数=3<4,但不符合入冬标准;
②假设有数据大于或等于10,由极差小于或等于3可知,该组数据中的最小值大于或等于7,此时数据的平均数必然大于7,与<4矛盾,假设错误,则此组数据全部小于10,符合入冬标准;
③举反例:1,1,1,1,11,其平均数=3<4,标准差s=4,但不符合入冬标准;
④当众数等于5且极差小于或等于4时,该组数据中最大的数不超过9,符合入冬标准.故②④符合入冬标准.
9.BCD　对于A,由题图可知,这1 000名高中生每天的平均学习时间为6小时~8小时的人数为0.10×2×1 000=200,故A错误;
对于B,抽查的1 000名高中生每天的平均学习时间的众数为9小时,由此可以估计该市高中生每天的平均学习时间的众数为9小时,故B正确;
对于C,设抽查的1 000名高中生每天的平均学习时间的60%分位数为k小时,则0.05×2+0.10×2+0.25×(k-8)=0.6,解得k=9.2,由此可以估计该市高中生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时,故C正确;
对于D,抽查的1 000名高中生每天的平均学习时间的平均数为0.05×2×5+0.10×2×7+0.25×2×9+0.10×2×11=8.6(小时),由此可以估计该市高中生每天的平均学习时间的平均数为8.6小时,故D正确.
10.AD　设员工总人数为n,由题图1知女员工人数为20+60+70+50=200,
所以,解得n=500,所以男员工人数为500-200=300.
对于A,女员工得分在A区间内的人数占比为=10%,男员工得分在A区间内的人数占比为1-40%-35%-15%=10%,即男、女员工得分在A区间内的人数占比相同,故A正确;
对于B,由题图1知女员工得分在A区间内的有20人,在B区间内的有60人,在C区间内的有70人,在D区间内的有50人,
由题图2知男员工得分在A区间内的有300×10%=30(人),在B区间内的有300×40%=120(人),在C区间内的有300×35%=105(人),在D区间内的有300×15%=45(人),
所以得分在D区间内的男员工人数少于女员工人数,故B错误;
对于C,由B知得分在B区间内的有60+120=180(人),得分在C区间内的有70+105=175(人),所以得分在B区间内的人数比在C区间内的人数多,故C错误;
对于D,由B知得分在D区间内的有50+45=95(人),所以得分在D区间内的员工占总人数的=19%,故D正确.
11.ACD　解法一:若5个点数分别为1,1,1,2,5,则众数为1,平均数为2,方差s2=2.4∈[1.2,2.4],∴A正确.
假设中位数为3,设5个点数分别为a1,a2,a3,a4,a5(a1≤a2≤a3≤a4≤a5),则a3=3,a1+a2≥2,a4+a5≥6,由平均数为2得a1+a2+a4+a5=7,与假设相矛盾,∴B错误.
假设点数出现6,则其他4个点数之和为4,即数据为1,1,1,1,6,其方差s2=4 [1.2,2.4],与已知相矛盾,故一定不会出现6,∴C正确.
若2出现3次,则其他2个点数之和为4,即数据为1,2,2,2,3,其方差s2=0.4 [1.2,2.4],即2不能出现3次,同理2不能出现4次或5次,∴出现2的次数不会超过2,∴D正确.
解法二:设向上的点数分别为x1,x2,x3,x4,x5,
则x1+x2+x3+x4+x5=10,
(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2+(x5-2)2∈[6,12].
对于A,不妨取x1=x2=x3=1,x4=3,x5=4,则(xi-2)2=8∈[6,12],故A正确.
对于B,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5,则x3=3,∴x5≥x4≥3,x2≥x1≥1,∴x1+x2+x3+x4+x5≥11,不可能为10,故B错误.
对于C,若出现6,则(xi-2)2>12,与(xi-2)2∈[6,12]矛盾,故不可能出现6,故C正确.
对于D,假设2至少出现3次,不妨设x1=x2=x3=2,则x4+x5=4,(x4-2)2+(x5-2)2=2(x4-2)2<6,这与(xi-2)2∈[6,12]矛盾,故出现2的次数不会超过2,故D正确.
12.答案　345
解析　得到的前4个样本编号依次为253,313,012,345,则得到的第4个样本编号是345.
13.答案　20(或13)
解析　由题意得这7天甲地每天最低气温(单位:℃)的平均数=13,
这7天乙地每天最低气温的平均数,
7=(10-13)2+(14-13)2+(16-13)2+(15-13)2+(11-13)2+(13-13)2+(12-13)2=28,
则7=28,化简得(a-20)(a-13)=0,解得a=20或a=13,
故a的值为20或13(写出一个答案即可).
14.答案　0
解析　依题意得=9,
=4,
化简得x+y+z+m+n=45,(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2+(9-n)2=20.
易知n≥m+1≥z+2≥y+3≥x+4,x+y+z+m+n≤5n-10,可得n≥11.
又因为(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2+(9-n)2=20,
所以9-x,9-y,9-z,9-m,9-n这5个数的绝对值不超过4,所以9-n≥-4,即11≤n≤13,
当n=13时,可得(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2=4,无解;
当n=12时,可得(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2=11,由x当n=11时,(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2=16,无解.
综上,z-9=0.
15.解析　(1)由题中频率分布直方图可知得分在[50,70)内的频率为0.012 5×20=0.25,而得分在[50,70)内的频数为500,所以样本容量n==2 000.(3分)
因为得分在[70,90)内的频数为800,所以20x=,解得x=0.02.
则(0.012 5+x+y+0.005+0.005)×20=1,所以y=0.007 5.(6分)
(2)得分在[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]内的频数分别为500,800,0.007 5×20×2 000=300,0.005×20×2 000=200,200,
所以这2 000名学生成绩的平均数为
=88(分).(9分)
86%×2 000=1 720,
得分在[50,70),[70,90),[90,110)内的频数和为500+800+300=1 600,
而在[50,70),[70,90),[90,110),[110,130)内的频数和为1 600+200=1 800,(11分)
所以86%分位数在[110,130)内,
所以86%分位数为110+×20=122(分).(13分)
16.解析　(1)由试卷2的难度系数得0.64=1-,
解得Y=54,所以试卷2的样本平均失分为54分,(3分)
所以根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分为150-54=96(分).(6分)
(2)由题意可得L1'=1-=0.58,(11分)
则S=×[(0.68-0.7)2+(0.66-0.64)2+(0.62-0.6)2+(0.62-0.6)2+(0.58-0.55)2]=0.000 5<0.001,(14分)
所以这5套试卷难度系数的预估合理.(15分)
17.解析　(1)∵在女生样本中,身高(单位:cm)在[160,165]内的频率为,(2分)
∴估计艺术团女生身高在[160,165]内的人数为150×=20.(3分)
(2)设总样本的平均数为,方差为S2,
由题意知男生样本的身高(单位:cm)平均数为169,方差为39,女生样本的身高平均数为160,方差为15,
则总样本身高的平均数=166,(5分)
方差S2=×[15+(160-166)2]=49,(6分)
所以艺术团学生总体身高的平均数μ=166,方差σ2=49.(7分)
(3)≈152.2,≈167.8,
由样本数据可知169为偏离值,(9分)
剔除169后,女生样本的身高平均数×(160×10-169)=159,(11分)
由s2==-256 000=15得=256 150,(13分)
则剔除169后,女生样本的身高的方差
s'2='2=×(256 150-28 561-9×25 281)=.(15分)
18.解析　(1)由题中频率分布直方图得10×(0.003+0.008+0.022+0.024+0.007+0.003+0.003+2t)=1,解得t=0.015.(3分)
(2)前4组频率之和为0.03+0.08+0.15+0.22=0.48,前5组频率之和为0.48+0.24=0.72,所以m∈[40,50),(7分)
由,解得m=45.(10分)
(3)由题可知在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]内的居民年用水量(单位:吨)分别用55,65,75,85代替,则他们的年用水量分别超出5吨,15吨,25吨,35吨,(14分)
则106×(0.15×5+0.07×15+0.03×25+0.03×35)=3.6×106(元),
所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数为3.6×106元.(17分)
19.解析　(1)X在[75,100)内,以5为组距可分成5组:[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),
因为75≤X<100,5n≤X<5(n+1),n∈N*,
所以当n取15,16,17,18,19时,各个小区间的频率P=5Y=(3分)
由+k·=1,解得k=1.
故成绩落在[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100)内的频率分别是.(5分)
故估计低于100分的学生成绩的平均值为77.5×(分).(8分)
(2)因为成绩低于100分的学生有60人,
所以成绩在100分及其以上的学生有100-60=40(人),
设低于100分的学生的成绩为xi(i=1,2,…,60)分,则平均数=70分,方差=400分2,
设100分及其以上学生的成绩为yi(i=1,2,…,40)分,平均数为分,方差为分2,
100位学生的成绩为zm(m=1,2,…,100)分,则平均数为=94分,方差为=1 300分2,
所以60,所以=130.(12分)
由s2=,
得-702=400,故=5 300,
-942=1 300,故=10 136,(14分)
故-1302
=×(100×10 136-60×5 300)-1302=490.
所以数学成绩在100分及其以上的学生的成绩的平均值为130分,方差为490分2.(17分)
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