第15章 概率复习提升--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　列举样本点时重复或遗漏致错
1.(2024河北保定曲阳第一高级中学月考)已知m,n∈{-2,-1,1,2},若向量a=(m,n),b=(1,1),则向量a与向量b的夹角为锐角的概率为(　　)
A.
2.(2025江苏常州期中)“石头剪刀布”是我们小时候常玩的游戏,游戏规则如下:①石头赢剪刀,剪刀赢布,布赢石头;②两人玩游戏时,出相同的手势为平局,多人(参与游戏的人数大于或等于3)玩游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.若3人玩一轮游戏,则平局的概率为　　　　.
易错点2　混淆“互斥事件”“对立事件”与“相互独立事件”致错
3.(多选题)(2024江苏宿迁期末)一只不透明的口袋内装有9张卡片,上面分别标有数字1,2,3,…,9.从袋中任意抽取1张卡片,记“抽出的卡片上所标数字为1,4,7”为事件A,“抽出的卡片上所标数字小于7”为事件B,“抽出的卡片上所标数字大于7”为事件C,则下列说法正确的是(　　)
A.事件A与事件C是互斥事件 B.事件A与事件B是互斥事件
C.事件A与事件B相互独立 D.事件B与事件C是对立事件
4.(2025湖北鄂东南省级示范高中期中)一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球,从中任意摸出两个球.设事件A1=“摸出的两个球的编号之和不超过6”,事件A2=“摸出的两个球的编号都大于3”,事件A3=“摸出的两个球中有编号为4的球”,则(　　)
A.A1与A2相互独立　　　　B.A1与A3对立
C.A1∪A2与A3互斥　　　　D.A1∩A3与A2∩A3互斥
易错点3　不能正确应用事件间的关系求概率
5.(多选题)(2025河南南阳期末)甲、乙两人独立解决同一问题,甲解出此题的概率是,乙解出此题的概率是,下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙都解出此题的概率为
B.甲、乙都未解出此题的概率为
C.甲、乙恰有一人解出此题的概率为
D.至少有一人解出此题的概率为
6.(2024江苏连云港高级中学月考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为,在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求甲在两轮活动中恰好猜对1个成语的概率;
(2)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率.
思想方法练
一、数形结合思想在解决概率问题中的应用
1.(2024福建莆田阶段练习)甲、乙、丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式,当球在甲手中时,若骰子点数大于3,则甲将球传给乙,若点数不大于3,则甲将球保留;当球在乙手中时,若骰子点数大于4,则乙将球传给甲,若点数不大于4,则乙将球传给丙;当球在丙手中时,若骰子点数大于3,则丙将球传给甲,若点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中,则投掷3次骰子后,球仍在甲手中的概率为(　　)
A. C.
2.(多选题)(2024浙江县域教研联盟学业水平模拟)已知随机事件A,B的概率都大于0,表示事件A的对立事件,则(　　)
A.当P(A)+P(B)=1时,B=
B.当 B时,P(A)≥P(B)
C.当P()P(B)时,A,B相互独立
D.当P(AB)>0时,P(B)≤P(B)
二、转化与化归思想在解决概率问题中的应用
3.(2024山西大同阶段练习)已知某音响设备由五个部件组成:A电视机,B影碟机,C线路,D左声道和E右声道,其中每个部件能否正常工作相互独立,各部件正常工作的概率如图所示.当且仅当A与B中至少有一个正常工作,C正常工作,D与E中至少有一个正常工作时能听到声音,则听不到声音的概率为(　　)
A.0.197 38　　　　B.0.000 18　　　C.0.010 92　　　　D.0.098 28
4.(2025湖北武汉重点中学联考)某人有两把雨伞用于上下班,如果一天上班时下雨,只要有雨伞可取,那么他将拿一把去办公室,如果一天下班时下雨,只要有雨伞可取,那么他将拿一把回家,如果不下雨,那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为,不下雨的概率均为,且是否下雨相互独立.现在两把雨伞均在家里,那么连续上班两天,他至少有一天淋雨的概率为　　　　.
三、分类讨论思想在解决概率问题中的应用
5.(2024江苏无锡江阴月考)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑行的人越来越多.某自行车租车点的收费标准如下:每车每次租车时间不超过2小时时免费,超过2小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人来该租车点租车骑行(两人互不影响),设甲、乙不超过2小时还车的概率分别为,超过2小时但不超过3小时还车的概率分别为,两人租车时间都不会超过4小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付租车费用之和为4元的概率.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.B　向量a与向量b的夹角为锐角等价于a·b>0且a与b不同向,即a·b=m+n>0,且m≠n.
易知a的坐标共有16种可能,分别是(-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2),
满足条件的a的坐标为(-1,2),(2,-1),(1,2),(2,1),共4个,故所求的概率为.
2.答案　
解析　解法一(列举法):用(x,y,z)表示三人出的手势,则所有可能的情况有:(石头,剪刀,布),(石头,布,剪刀),(剪刀,石头,布),(剪刀,布,石头),(布,石头,剪刀),(布,剪刀,石头),(石头,石头,石头),(剪刀,剪刀,剪刀),(布,布,布),(石头,石头,布),(石头,布,石头),(布,石头,石头),(石头,石头,剪刀),(石头,剪刀,石头),(剪刀,石头,石头),(布,布,石头),(布,石头,布),(石头,布,布),(剪刀,布,布),(布,剪刀,布),(布,布,剪刀),(剪刀,剪刀,布),(剪刀,布,剪刀),(布,剪刀,剪刀),(石头,剪刀,剪刀),(剪刀,石头,剪刀),(剪刀,剪刀,石头),共27种.
其中平局的情况有(石头,剪刀,布),(石头,布,剪刀),(剪刀,石头,布),(剪刀,布,石头),(布,石头,剪刀),(布,剪刀,石头),(石头,石头,石头),(剪刀,剪刀,剪刀),(布,布,布),共9种,
所以平局的概率为.
解法二(画树形图法):
共27种情况.
下同解法一.
易错警示　列举样本点时要按照一定的顺序写,要保证所有样本点的列举不重不漏,有时也可借助表格或树形图等.
3.AC　由题意可知,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,4,7},B={1,2,3,4,5,6},C={8,9},
则n(Ω)=9,n(A)=3,n(B)=6,可得P(A)=.
对于A,因为A∩C= ,所以事件A与事件C是互斥事件,故A正确;
对于B,因为A∩B={1,4}≠ ,所以事件A与事件B不是互斥事件,故B错误;
对于C,由B可知n(AB)=2,则P(AB)=,
因为P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与事件B相互独立,故C正确;
对于D,因为B∪C={1,2,3,4,5,6,8,9}≠Ω,
所以事件B与事件C不是对立事件,故D错误.
4.D　由题意可知,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点,
A1={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4)},共6个样本点,
A2={(4,5),(4,6),(5,6)},共3个样本点,
A3={(1,4),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)},共5个样本点,
所以P(A1)=.
对于A,A1∩A2= ,故P(A1∩A2)=0≠P(A1)P(A2),故A错误;
对于B,A1∩A3={(1,4),(2,4)}≠ ,所以A1与A3不是对立事件,故B错误;
对于C,A1∪A2={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(4,5),(4,6),(5,6)},
则(A1∪A2)∩A3={(1,4),(2,4),(4,5),(4,6)}≠ ,所以A1∪A2与A3不是互斥事件,故C错误;
对于D,A2∩A3={(4,5),(4,6)},所以(A1∩A3)∩(A2∩A3)= ,所以A1∩A3与A2∩A3是互斥事件,故D正确.
易错警示　已知同一随机试验中的两个随机事件A,B,若A∩B= ,即两事件不能同时发生,则A与B互斥,此时P(A∪B)=P(A)+P(B);若A∪B=Ω且A∩B= ,即两事件必有一个发生,且不能同时发生,则A与B对立,此时P(A)=1-P(B),要熟知对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件;若A是否发生对B发生的概率无影响,则A与B相互独立,此时P(AB)=P(A)P(B).在具体问题中要注意三者的关系.
5.AC　记甲解出此题为事件A,乙解出此题为事件B,则A与B为相互独立事件,P(A)=.
P(AB)=P(A)P(B)=,故A正确;
P(,故B错误;
记甲、乙恰有一人解出此题为事件C,则P(C)=P(A,故C正确;
记至少有一人解出此题为事件D,
则P(D)=1-P()(易错点)=1-,故D错误.
易错警示　在求概率问题时,若正面求解遇到的情况较多或较复杂,则通常转化为求其反面,即求其对立事件的概率,最后用1减去对立事件的概率得所求概率,通常表现为“至多”“至少”等类型的试题.
6.解析　(1)记甲在两轮活动中恰好猜对1个成语为事件M,则有两种情况:第一轮猜对且第二轮猜错;第一轮猜错且第二轮猜对,
则P(M)=.
(2)设事件A1,A2分别表示甲在两轮活动中猜对1个,2个成语,事件B1,B2分别表示乙在两轮活动中猜对1个,2个成语,
则P(A1)=,
P(B1)=,
设事件N为“‘星队’在两轮活动中共猜对3个成语”,
则N=A1B2∪A2B1,易知A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立(易错点),
所以P(N)=P(A1B2)+P(A2B1)
=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)
=.
易错警示　在利用概率的加法公式进行计算时,需先判断两事件是否互斥,若A,B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B),若A,B不互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).　
思想方法练
1.D　利用树形图列举所有可能的情况,体现了数形结合思想的应用.
初始时,球在甲手中,投掷3次骰子,传球的所有可能情况可用树形图表示如下:
由树形图可知,当投掷3次骰子后,球仍在甲手中共有4种情况:
①甲→甲→甲→甲,其概率为,
②甲→甲→乙→甲,其概率为,
③甲→乙→甲→甲,其概率为,
④甲→乙→丙→甲,其概率为,
所以投掷3次骰子后,球仍在甲手中的概率P=.
2.CD　利用Venn图直观表示各事件间的关系,从而方便求解对应的概率,体现了数形结合思想的应用.
对于选项A,根据对立事件的定义知,P(A)+P()=1,又P(A)+P(B)=1,所以P(B)=P(),而事件的概率相等并不代表事件一定相等,比如抛一颗质地均匀的骰子试验中,A表示事件“出现1,2,3点”,B表示事件“出现2,3,5点”,如图1,P(A)+P(B)=1,但是B≠,故A错误;
对于选项B,如图2,阴影部分代表事件A,无法判断P(A)与P(B)的大小,故B错误;
对于选项C,因为P()P(B),所以,B相互独立,因此A,B相互独立,故C正确;
对于选项D,如图3,阴影部分代表事件B,由图可知,P(B)≤P(B),故D正确.
思想方法　数形结合思想在概率问题中主要体现在两方面:一是在列举样本点时,可通过画树形图直观表示,这种方法适用于较复杂的样本点探求,一般需要分两步或两步以上完成的情况;二是在判断事件间的关系或进行事件间的运算时,可通过画Venn图直观理解.
3.A　听不到声音的情况比较复杂,可转化为分析能听到声音的情况来处理,即利用对立事件求解,体现了转化思想的应用.
设A电视机,B影碟机,C线路,D左声道和E右声道能正常工作的事件为Mi(i=1,2,3,4,5),能听到声音为事件M,
则P(M)=[1-P()]·P(M3)·[1-P()]
=[1-P()]·P(M3)·[1-P()]
=(1-0.1×0.2)×0.9×(1-0.3×0.3)=0.802 62,
所以听不到声音的概率为P()=1-0.802 62=0.197 38.
4.答案　
解析　至少一天淋雨可转化为两天都不淋雨,利用对立事件求解.
“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”,连续上班两天,上班、下班的次数为4.
(1)若4次均不下雨,则概率为.
(2)若有1次下雨但没有淋雨,则第一天或第二天上班时下雨,概率为2×.
(3)若有2次下雨但没有淋雨,共3种情况:
①同一天上下班均下雨,②两天上班时均下雨,下班时均不下雨,③第一天上班时下雨,下班时不下雨,第二天上班时不下雨,下班时下雨,
则概率为2×.
(4)若有3次下雨但没有淋雨,则第一天或第二天下班时不下雨,概率为2×.
(5)若4次均下雨,则概率为,
则两天都没有淋雨的概率为,
故至少有一天淋雨的概率为1-.
思想方法　转化与化归思想在概率问题中的应用主要体现在:
(1)正难则反:当事件的概率直接计算比较复杂时,可转化为求其对立事件的概率.
(2)化繁为简:对复杂事件进行分解,将需要计算概率的事件分解为互斥的几类简单事件.
5.解析　(1)按甲、乙两人的租车时间均不超过2小时,均超过2小时但不超过3小时,均超过3小时三种情况分类讨论求解.
甲、乙两人的租车时间均不超过2小时的概率P1=,
甲、乙两人的租车时间均超过2小时但不超过3小时的概率P2=,
甲、乙两人的租车时间均超过3小时的概率P3=,
故甲、乙两人所付租车费用相同的概率P4=P1+P2+P3=.
(2)按甲免费、乙租车费用为4元,乙免费、甲租车费用为4元,甲、乙租车费用均为2元三种情况分类讨论求解.
甲免费、乙租车费用为4元的概率P5=,
乙免费、甲租车费用为4元的概率P6=,
甲、乙租车费用均为2元的概率P7=,
故甲、乙两人所付租车费用之和为4元的概率P8=.
思想方法　在概率问题中,当要求的结果由多种情况构成时,就需要对各种情况进行合理分类,从而将复杂事件分解为若干个简单事件来求解,注意要选择正确的分类标准,做到不重不漏.
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