第15章　概率--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
第15章　概率
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.袋内装有8个红球、2个白球,从中任取2个球,下列是互斥而不对立事件的是(　　)
A.至少有一个白球与全部都是红球
B.至少有一个白球与至少有一个红球
C.恰有一个白球与恰有一个红球
D.恰有一个白球与全部都是红球
2.已知事件A,B满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列说法正确的是(　　)
A.若B A,则P(AB)=0.5　　　　
B.若A与B互斥,则P(A+B)=0.7
C.若A与B相互独立,则P(A)=0.1　　　　
D.若P(B)+P(C)=1,则C与B相互对立
3.已知甲袋中有4个白球、x个红球,乙袋中有2个白球、4个红球,各个球的大小与质地相同.现从甲、乙两袋中依次不放回地各取2个球,若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等,则x=(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.6或2　　　　D.8或4
4.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率均为,且是相互独立的,则灯亮的概率是(　　)
A.
5.张益唐是著名的华人数学家,他在数论研究方面取得了巨大成就,2013年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式,孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.在不超过12的素数中,随机选取两个不同的数,能够组成孪生素数的概率是(　　)
A.
6.在5件产品中,有3件一级品和2件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为的是(　　)
A.2件都是一级品　　　　B.2件都是二级品
C.一级品和二级品各1件　　　　D.至少有1件二级品
7.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力,随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量(单位:个),产品数量的分组区间为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35],频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20个产品的工人中随机选取2名进行培训,则这2名工人不在同一组内的概率是(　　)
A.
8.我们所说的ABO血型系统是由A,B,O三个等位基因决定的,每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成,且两个等位基因分别来自父亲和母亲,其中AA,AO为A型血,BB,BO为B型血,AB为AB型血,OO为O型血.比如:父亲和母亲的基因型分别为AO,AB,则孩子的基因型等可能地出现AA,AB,AO,BO四种结果.已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型,不考虑基因突变,则小明是A型血的概率为(　　)
A.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知事件A,B,C满足P(A)>0,P(B)>0,P(C)>0,则下列说法正确的是(　　)
A.若A B,则P(A)≤P(B)
B.若P(A)≤P(B),则A B
C.若AB= ,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
D.若AB= ,则A,B不独立
10.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同的4张卡牌,编号分别为1,2,3,4,现从中依次不放回地摸出两张卡牌,记事件A=“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”,事件B=“摸出的两张卡牌的编号之和为5”,事件C=“摸出的两张卡牌的编号之和为6”,则(　　)
A.事件B与事件C为互斥事件　　　　B.P(C)=
C.事件A与事件B相互独立　　　　D.P(A+B)=
11.四支足球队进行单循环比赛(任两支足球队恰进行一场比赛),任两支足球队之间获胜的概率都是.单循环比赛结束后,以获胜的场次数作为该队的成绩,按成绩从大到小排名次,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是(　　)
A.四支足球队并列第一名为不可能事件
B.有可能出现恰有三支足球队并列第一名的情况
C.恰有两支足球队并列第一名的概率为
D.只有一支足球队是第一名的概率为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.如图,小王一次买了两串冰糖葫芦,其中一串有两颗山楂,另一串有三颗山楂.若小王每次随机选择其中一串吃一颗(只能从上往下依次吃),则只有两颗山楂的这串先吃完的概率为　　　　.
13.某商场开展20周年店庆购物抽奖活动(100%中奖),凡购物满500元的顾客均可参加该活动,活动方式是在电脑上设置一个包含1,2,3,4,5,6的6个数字编号的滚动盘,按下启动键后,滚动盘上的数字开始滚动,当停止时滚动盘上出现一个数字,若该数字是大于5的数,则获得一等奖,奖金为150元;若该数字是小于4的奇数,则获得二等奖,奖金为100元;若该数字出现其他情况,则获得三等奖,奖金为50元.现某顾客依次操作两次,则该顾客奖金之和为200元的概率为　　　　.
14.甲、乙两人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三个区域的概率依次是,乙击中红、黄、蓝三个区域的概率依次是,甲、乙两人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次,则两人击中同色区域的概率为　　　　,两人击中不同色区域的概率为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)2024年5月底,各省教育厅陆续开始了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲、乙、丙三名同学成功进入决赛,在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是,甲、丙两名同学都解答错误的概率是,乙、丙两名同学都成功解出的概率是,且这三名同学能否成功解出该题相互独立.
(1)求乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率;
(2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.
16.(本小题满分15分)多项选择题是高考数学中的一种题型,其规则如下:有多项符合题目要求,全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分(若某小题的正确选项为两个,则漏选一个正确选项得3分;若某小题的正确选项为三个,则漏选一个正确选项得4分,漏选两个正确选项得2分).现高二某同学正在进行第二学期开学考试,做到多项选择题的第10题和11题时发现自己只能全凭运气,在这两个多项选择题中,他选择一个选项的概率是,选择两个选项的概率是,选择三个选项的概率是.已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项,第11题正确答案是三个选项.
(1)求该同学第10题得6分的概率;
(2)求该同学两个题总得分不小于10分的概率.
17.(本小题满分15分)为进一步巩固提升全国文明城市,加速推行垃圾分类制度,某市推出了两套方案,并分别在A,B两个大型居民小区内试行.
方案一:进行广泛宣传活动,向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义,讲解分类垃圾桶的使用方式、垃圾投放时间等,定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动;
方案二:在小区内设立智能化分类垃圾桶,该垃圾桶操作简单,居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.该市建立激励机制,比如,垃圾分类换积分兑换礼品等,以激发居民参与垃圾分类的热情.
经过一段时间试行之后,在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查,记录他们对试行方案的满意度评分(满分100分),将数据分成6组:[40,50),[50,60),…,[90,100],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)分别估计两种方案满意度评分的平均值,并判断哪种方案的垃圾分类推行措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)以频率估计概率,若满意度评分不低于70分,则认为居民赞成推行此方案,若低于70分,则认为居民不赞成推行此方案,规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案,判断哪个小区可继续推行方案;
(3)根据(2)中的结果,从可继续推行方案的小区中抽取100人,再按居民态度是否赞成从这100人中分层抽取一个8人代表团,从代表团中选取2人进行汇总发言,求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率.
18.(本小题满分17分)甲、乙两人进行围棋比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲获胜的概率为,负的概率为,且每局比赛之间的胜负相互独立.
(1)求第三局结束乙获胜的概率;
(2)求甲获胜的概率.
19.(本小题满分17分)袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个,现进行摸球游戏.
(1)若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球,共摸球两次,至少有一次摸出白球的概率是,求袋中红球的个数;
(2)已知袋中有红球5个,从袋中每次摸出1个球,若是红球则放回袋中,若是白球则不放回袋中,求摸球三次共取出两个白球的概率;
(3)采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球,若连续两次摸到红球则停止摸球,否则继续摸球直至第六次摸球后结束.若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率,求袋中红球个数的所有可能取值.
答案全解全析
1.D　对于A,事件“至少有一个白球”包含“2个白球”“1红1白”,与事件“全部都是红球”不可能同时发生,但必有一个发生,故为对立事件,不符合题意;
对于B,事件“至少有一个红球”包含“2个红球”“1红1白”,结合A知两个事件的交事件为“1红1白”,不是互斥事件,不符合题意;
对于C,两事件均为“1红1白”,为同一事件,不符合题意;
对于D,两事件不可能同时发生,但可能同时不发生,即“2个白球”,是互斥而不对立事件,符合题意.
2.B　对于A,若B A,则P(AB)=P(B)=0.2,A错误;
对于B,若A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7,B正确;
对于C,若A与B相互独立,则A与相互独立,故P(A)=P(A)·P()=0.5×0.8=0.4,C错误;
对于D,若P(B)+P(C)=1,因为不确定C与B是否互斥,所以无法确定两事件是否对立,D错误.
3.C　设事件A为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”,事件B为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”,则P(A)=,
所以,解得x=2或x=6.
4.B　设A与B中至少有一个不闭合为事件T,E与F中至少有一个不闭合为事件R,C,D闭合的事件分别为G,H,则P(T)=P(R)=1-,所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P(.
5.B　不超过12的素数有2,3,5,7,11,共5个,从中任取两个数的样本空间Ω={(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11)},共10个样本点,其中是孪生素数的有(3,5),(5,7),共2个,故所求概率为.
6.D　记3件一级品分别为A1,A2,A3,2件二级品分别为B1,B2,
任取2件,则样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共10个样本点,
记事件A为“2件都是一级品”,则A={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共3个样本点,则P(A)=.
记事件B为“2件都是二级品”,则B={(B1,B2)},共1个样本点,则P(B)=.
记事件C为“一级品和二级品各1件”,则C={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2)},共6个样本点,则P(C)=.
易知B∪C表示事件“至少有1件二级品”,因为事件B,C为互斥事件,所以P(B)+P(C)=P(B∪C)=,故D符合条件.
7.C　根据题中频率分布直方图可知,生产产品数量(单位:个)在[10,15),[15,20)内的人数分别为5×0.02×20=2,5×0.04×20=4.设生产产品数量在[10,15)内的2人分别是A,B,在[15,20)内的4人分别为C,D,E,F,则从这6人中随机选取2名工人的样本点有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个,且这15个样本点出现的可能性相等,其中2名工人不在同一组内的样本点有(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共8个,则选取的2名工人不在同一组内的概率为.
8.C　因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型,所以小明父亲的基因型可能是AA,AB,BB,它们对应的概率分别为.
当小明父亲的基因型是AA时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的基因型可能是AA,AB,它们对应的概率均为,则小明是A型血的概率为;
当小明父亲的基因型是AB时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的基因型可能是AA,AB,BB,它们对应的概率分别为,则小明是A型血的概率为;
当小明父亲的基因型是BB时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的血型不可能是A型.
综上,小明是A型血的概率为.
9.ACD　对于A,若A B,则P(A)≤P(B),故A正确;
对于B,例如掷一次骰子,事件A表示得到1点或2点,事件B表示得到2点或3点或4点,则P(A)=,P(A)≤P(B),此时A B不成立,故B错误;
对于C,若AB= ,则P(AB)=0,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),故C正确;
对于D,若AB= ,则P(AB)=0,因为P(A)>0,P(B)>0,所以P(A)P(B)≠0,则P(A)P(B)≠P(AB),A,B不独立,故D正确.
10.ACD　从中依次不放回地摸出两张卡牌,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共12个样本点.
对于A,事件B={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},共4个样本点,
事件C={(2,4),(4,2)},共2个样本点,因为B∩C= ,所以事件B与C为互斥事件,故A正确;
对于B,P(C)=,故B错误;
对于C,事件A={(1,2),(1,3),(1,4),(3,1),(3,2),(3,4)},共6个样本点,则P(A)=,由A知P(B)=,
因为AB={(1,4),(3,2)},共2个样本点,所以P(AB)=,因为P(AB)=P(A)P(B)=,所以事件A与事件B相互独立,故C正确;
对于D,由C知事件A与B相互独立,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,故D正确.
11.ABD　设四支足球队分别为a,b,c,d,则四支足球队进行单循环比赛的情况有(a,b),(b,c),(c,d),(a,d),(a,c),(b,d),共6种,比赛的结果共有26=64种.
对于A,这6场比赛中,若四支足球队在前4场比赛中各赢1场,则剩下的2场比赛中必然有两支或一支足球队获胜,那么所得成绩不可能都一样,故四支足球队并列第一名是不可能事件,故A正确.
对于B,在6场比赛中,依次获胜的可以是a,b,c,a,c,b,此时三支足球队所获成绩相同,并列第一名,故B正确.
对于C,在6场比赛中,恰有两支足球队并列第一名有6种可能,若为a,b,则第一类:a赢b,有2种情况,分别是a,b,c,d,a,b和a,b,d,a,c,b,同理,第二类:b赢a,也有2种情况,故恰有两支足球队并列第一名的概率为,故C错误.
对于D,四支足球队中一支足球队为第一名有4种可能,此时这支足球队比赛的3场都胜,另外3场比赛有23=8种结果,故只有一支足球队是第一名的概率为,故D正确.
12.答案　
解析　将有两颗山楂的冰糖葫芦从上到下依次编号为1,2,有三颗山楂的冰糖葫芦从上到下依次编号为3,4,5,吃每颗山楂的概率均为.
则只有两颗山楂的这串先吃完有以下情况:
按照1→2顺序吃,概率为;
按照3→1→2或1→3→2顺序吃,概率为2×;
按照3→1→4→2或1→3→4→2或3→4→1→2顺序吃,概率为3×.
综上,符合题意的概率为.
13.答案　
解析　易知抽奖两次滚动盘上出现数字的情况有36种,
两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况:
①两次都中二等奖,其包含的情况为(1,3),(3,1),(1,1),(3,3),概率P1=;
②第一次中一等奖,第二次中三等奖,其包含的情况为(6,5),(6,4),(6,2),概率P2=;
③第一次中三等奖,第二次中一等奖,其包含的情况为(5,6),(4,6),(2,6),概率P3=,
所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率P=P1+P2+P3=.
14.答案　
解析　设甲击中红、黄、蓝三个区域的事件分别为A1,A2,A3,乙击中红、黄、蓝三个区域的事件分别为B1,B2,B3,
则P(A1)=.
∵甲、乙两人射击情况互不影响,
∴甲、乙两人击中同色区域的概率为P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=,
甲、乙两人击中不同色区域的概率为P(A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)=.
15.解析　(1)记甲成功解出这道题为事件A,乙成功解出这道题为事件B,丙成功解出这道题为事件C,
则由题知(3分)
解得P(B)=,
即乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为.(6分)
(2)记这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件D,
则P(D)=P()+P(ABC)(9分)
=P()P(C)+P(A)P(B)·P()+P(A)P(B)P(C)
=,
即这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为.(13分)
16.解析　(1)第10题得6分需满足选两个选项且选对,选两个选项共有6种情况:AB,AC,AD,BC,BD,CD,只有一种情况是正确答案,此时选对的概率为,　(3分)
所以该同学第10题得6分的概率P=.(6分)
(2)总得分不低于10分共2种情况:第10题得6分且第11题得4分;第10题得6分且第11题得6分,(9分)
记事件A为第10题得6分,满足选了两个选项且选对;事件B1为第11题得4分,满足选了两个选项且选对;事件B2为第11题得6分,满足选了三个选项且选对.
则P(A)=,(12分)
故所求概率为P(AB1)+P(AB2)=.(15分)
17.解析　(1)设A小区方案一满意度评分的平均分为,
则=(45×0.006+55×0.014+65×0.018+75×0.031+85×0.021+95×0.010)×10=72.7(分).(2分)
设B小区方案二满意度评分的平均分为,
则=(45×0.005+55×0.010+65×0.010+75×0.020+85×0.032+95×0.023)×10=78.3(分).(4分)
∵72.7<78.3,
∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.(5分)
(2)A小区方案一的满意度评分不低于70分的频率为(0.031+0.021+0.010)×10=0.62,由频率估计概率知赞成率为62%;
B小区方案二的满意度评分不低于70分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75,由频率估计概率知赞成率为75%,(9分)
∴B小区可继续推行方案二.(10分)
(3)由(2)知,B小区不赞成的有25%,故8人代表团中不赞成的有8×25%=2(人),分别记为a,b,赞成的有8×75%=6(人),分别记为1,2,3,4,5,6.(12分)
从中任选2人有以下情况:ab,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6,12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共28种,(13分)
其中至少有一个不赞成有以下情况:ab,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6,共13种,(14分)
故所求概率P=.(15分)
18.解析　(1)设事件A为“第三局结束乙获胜”,
由题意知,乙每局获胜的概率为,不获胜的概率为.(2分)
若第三局结束乙获胜,则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).
故P(A)=.(5分)
(2)设事件B为“甲获胜”.
若第二局结束甲获胜,则甲两局连胜,此时的概率P1=.(7分)
若第三局结束甲获胜,则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜),
此时的概率P2=.(9分)
若第四局结束甲以积分(2分)获胜,则甲第四局必定获胜,前三局为1胜2平或1胜1平1负,总共有以下9种情况:(胜,平,平,胜),(平,胜,平,胜),(平,平,胜,胜),(胜,平,负,胜),(胜,负,平,胜),(平,胜,负,胜),(平,负,胜,胜),(负,胜,平,胜),(负,平,胜,胜),
易得每局比赛中甲平局的概率为1-,
则此时的概率P3=.(13分)
若第四局结束甲以积分(1分)获胜,则乙的积分为0分,则对于甲总共有4种情况:(胜,平,平,平),(平,胜,平,平),(平,平,胜,平),(平,平,平,胜).
此时的概率P4=.(15分)
故P(B)=P1+P2+P3+P4=.(17分)
19.解析　设袋中有红球m个.
(1)设事件A=“摸球一次,从袋中摸出1个红球”,则P(A)=.(1分)
设事件B=“摸球两次,至少有一次摸出白球”,则=“摸球两次,两次均摸出红球”.
则P(B)=1-P(,解得m=4(舍负),即袋中红球有4个.(4分)
(2)设事件C=“摸球三次共取出两个白球”,
则摸球三次的可能情况为“白白红”“白红白”“红白白”,
则P(C)=.
所以摸球三次共取出两个白球的概率为.(8分)
(3)设事件E=“第三次摸球后停止摸球”,F=“第五次摸球后停止摸球”.由题意知1≤m≤9,m∈N*.
若m=1,则不可能连续两次摸到红球,不合题意.(10分)
若m=2,则事件E发生的情况为“白红红”,
且P(E)=,
事件F发生的情况为“白白白红红”,
且P(F)=,
P(E)=P(F),不合题意.(12分)
若m=9,则最多第三次摸球后就停止摸球,不符合题意.
若m=8,则事件E发生的情况为“白红红”,
且P(E)=,
事件F发生的情况为“白红白红红”或“红白白红红”,
且P(F)=,P(E)>P(F),符合题意.(14分)
若3≤m≤7,m∈N*,则事件E发生的情况为“白红红”,
且P(E)=,
事件F发生的情况为“白白白红红”或“白红白红红”或“红白白红红”,
且P(F)=,
由P(E)>P(F)得,1>,即m2-5m+6>0,
解得m<2或m>3,即m=4,5,6,7.(16分)
综上所述,红球个数的所有可能取值为4,5,6,7,8.(17分)
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