专题强化练1 平面向量数量积及其应用--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026苏教版高中数学必修第二册
专题强化练1　平面向量数量积及其应用
1.(2025江苏南京金陵中学期中)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若=-4且(λ∈R),则λ的值为(　　)
A.
2.(2025江苏盐城射阳中学模拟)蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的.若不计蜂巢壁的厚度,蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图,如图所示.设P为图中7个正六边形(边长为4)的某一个顶点,A,B为两个固定顶点,则的最大值为(　　)
A.44　　　　B.48　　　　
C.72　　　　D.76
3.(2025江苏G4联盟联考)已知△ABC中,||=2,且|λ|(λ∈R)的最小值为3,若P为AB上任意一点,则的最小值是(　　)
A.-12　　　　B.-11　　　　
C.-10　　　　D.-9
4.(多选题)(2025江苏镇江、徐州七校期中联考)设非零向量a,b的夹角为θ,定义运算a*b=|a||b|sin θ,下列说法正确的是(　　)
A.若a=(1,1),b=(-1,1),则a*b=2　　　　
B.a*b≥|a||b|
C.若a*b=0,则a∥b　　　　
D.a*(b+c)=a*b+a*c
5.(高考新发现)(借助函数,考查向量共线和模的坐标运算)(2025湖南湘一名校联盟期中)定义域为[a,b]的函数f(x)的图象的两个端点为A(a,f(a)),B(b,f(b)).点P(x,y)是f(x)图象上一点,其中x=λa+(1-λ)b(0≤λ≤1),A,B,Q三点共线,我们把||的最大值称为f(x)的“峰值”.若函数f(x)=,x∈[0,m]的“峰值”为,则m=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.3　　　　D.4
6.(多选题)(2025江苏南通第一中学阶段性考试)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a⊥(a-4b),则下列说法正确的是(　　)
A.|a-tb|(t∈R)的最小值为
B.若=1,则|ma+nb|的最大值为
C.若向量c满足=30°,则|c|的最大值是2+2
D.若向量c满足=30°,则|c|的最小值是2
7.(2024天津河东第四十五中学月考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,DE=2EC,M为BC的中点,则=　　　　;若点P在线段BD上运动,则的最小值为　　　　.
8.(2024辽宁沈阳联考)已知点M为△ABC外接圆圆O上的任意一点,∠ACB=30°,AC=2,BC=,则|)·的最大值为　　　　.
9.(2025江苏无锡天一中学月考)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2AD=2DC=4,点F是BC边的中点.
(1)若点E满足,且,求λ+μ的值;
(2)若点P是线段AF上的动点(含端点),求的取值范围.
10.(教材深研拓展)如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任一点P的斜坐标定义如下:若=xe1+ye2(其中e1,e2分别为与x轴,y轴正方向同向的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).在该斜坐标系中,已知=(m,4),试探究以下问题:
(1)若m=3,求的值;
(2)若⊥,求的坐标;
(3)求与垂直的单位向量的坐标.
答案与分层梯度式解析
专题强化练1　平面向量数量积及其应用
1.C　因为.
又.
则)
=
=,
由题意得|cos 60°=3×2×=3,
所以λ×4-×9+×3=-4,即.
2.B　解法一:取AB的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(-8,0),B(8,0),设点P(x,y),
所以=(8-x,-y),
则=-(8+x)(8-x)+y2=x2+y2-64,
设点P(x,y)到原点的距离为d,
则-64,
由图可知,距离原点最远的正六边形的顶点为最外围的顶点,
可取P(8,4),
所以-64=OP2-64=64+48-64=48,
即的最大值为48.
解法二(极化恒等式):设AB的中点为O,则,
所以的最大值为48.
解题技法　求两个向量的数量积的常用方法:
方法 使用条件
定义法 已知向量的模和夹角
基底法 将已知模和夹角的两个向量作为一组基底,把要求数量积的向量用这组基底线性表示
坐标法 出现直角三角形、等腰三角形等时,可合理建立平面直角坐标系
投影法 两个向量中有一个在变化,且容易向另一个向量所在的直线作垂线时,利用向量数量积的几何意义
极化恒 等式 在△ABC中,可取BC的中点O,则
3.D　设∠BAC=θ,θ∈(0,π),
则|λ|
=
=
=
=
=3时等号成立,此时cos θ=0,
因为θ∈(0,π),所以θ=,
以点A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(6,0),C(0,2),设点P(x,0),0≤x≤6,
则=(-x,2),
所以=-x(6-x)=x2-6x=(x-3)2-9,
当x=3时,取得最小值-9.
4.AC　对于A,由题意得a·b=0,所以a⊥b,所以θ=,则a*b=|a||b|sin θ=××1=2,故A正确;
对于B,因为sin θ≤1,所以a*b=|a||b|sin θ≤|a||b|,故B错误;
对于C,若a*b=0,则sin θ=0,所以θ=0或θ=π,所以a∥b,故C正确;
对于D,若c=-b,则a*(b+c)=0,
a*b+a*(-b)=|a||b|sin θ+|a||b|sin(π-θ)=2|a||b|·sin θ,故D错误.
5.C　由题意知A(0,0),B,λ∈R,
所以Q,
x=λa+(1-λ)b=(1-λ)m,y=,
所以P,
则,
|,
令t=(1-λ)m,则t∈[0,m],
则|,
令g(t)=,t∈[0,m],
则g(t)≥2-1时取等号.
因为f(x)的“峰值”为,
所以2(舍).
6.ACD　对于A,由a⊥(a-4b)得a·(a-4b)=a2-4a·b=4-4a·b=0,故a·b=1,
则|a-tb|=
=,
当t=1时,|a-tb|取得最小值,A正确;
对于B,由=1,得5m2+2n2=10,则|ma+nb|=,当且仅当m=n=±时等号成立,B错误;
对于C,D,a·b=2×1×cos=1,则cos=,
又0°≤≤180°,所以=60°,
作=a,=2b,∠EOA=60°,OE=OA=2,以O为圆心,OA为半径作圆,如图,
当C是圆O的优弧上一点,即c=时,满足=30°,
作O点关于直线AE的对称点H,以H为圆心,HA为半径作圆,
当C是圆H的优弧上一点,即c=时,也满足=30°,
当C不是这两段优弧上的点时,不满足∠ACE=30°,即不满足=30°,
易知△OAE,△AEH都是等边三角形,因此|OH|=2,两圆半径都是2,
由图可知|c|的最小值是2,最大值是2+2,C,D正确.
7.答案　5;
解析　解法一:由题意得DE=2,BM=1.以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(3,0),D(0,2),E(2,2),M(3,1),
则=(0,2),
所以=(-1)×(-3)+1×2=5.
由题意可设)
故P(3λ,2-2λ),
则=(3-3λ,2λ-1),
所以,
所以当λ=.
解法二:由题意知CE=CM=1,则=2+0+0+3=5.
设,
故,
又|,
所以,
所以t=.
8.答案　1;
解析　
=
=
==1.
∵(上的投影向量的长度,
易得△ABC为直角三角形,O为AC的中点,如图,过点M作圆的切线,当切线与BA垂直且∠ABM为锐角时,|,
连接MO,MA,由MD与圆相切,且MD⊥AB得OM∥AB,
易得OM=OB=AB=1,所以四边形OMAB是菱形.
由同弧所对的圆周角相等知∠AMB=∠ACB=30°,所以∠ABM=30°,BM=2ABcos 30°=|cos 30°=.
故(.
9.解析　(1)由,
所以,
又.
(2)解法一:以点A为坐标原点,的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,
则A(0,0),D(0,2),B(4,0),C(2,2),F(3,1),
令=(3t,t),
则=(3t,t-2),
所以,t∈[0,1],
由二次函数的性质可得,当t=取得最大值,为8,
故.
解法二:取AD的中点M,作MG⊥AF,垂足为G,连接MP,如图所示,
则-1,
显然当点P位于点F处时,PM取到最大值3,当点P位于点G处时,PM取到最小值,
故.
10.解析　(1)由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=1×1×cos 60°=,
因为=(3,4),
所以=e1+2e2,=3e1+4e2,
所以=(e1+2e2)·(3e1+4e2)=3+10e1·e2+8=3×12+10×+8×12=16.
(2)若=0,
即(e1+2e2)·(me1+4e2)=0,
即m+(2m+4)e1·e2+8=m×12+(2m+4)×+8×12=2m+10=0,
所以m=-5,故=(-5,4).
(3)设所求向量为n=(x0,y0),则n=x0e1+y0e2,
所以n2=+2x0y0e1·e2+=1①,
因为n·=0,所以(x0e1+y0e2)·(e1+2e2)=0,
即x0+(2x0+y0)e1·e2+2y0y0=0②,
由①②解得
所以n=或n=,
即与.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)