专题强化练2 三角函数式的恒等变形--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
专题强化练2　三角函数式的恒等变形
1.(2025江苏溧阳中学阶段考试)已知sin θ-4cos θ=0,则=(　　)
A.-
2.(2025江苏徐州期中)下列函数f(x)的最小正周期为2π的是(　　)
A.f(x)=sin xcos x　　　　
B.f(x)=
C.f(x)=cos　　　　
D.f(x)=sin 2x-cos 2x
3.(2025江西丰城中学段考)已知函数f(x)=cos 3x-cos 2x,x∈(0,π),若f(x)有两个零点x1,x2(x1A.
4.(2025江苏苏州大学附属中学期中)若sin(α+β)=cos 2αsin(α-β),其中2α,α+β,α-β≠+kπ,k∈Z,则tan(α+β)的最大值为(　　)
A.
5.(2025江苏徐州侯集高级中学质量检测)已知函数f(x)=2sin xcos x+4cos2x-1,若实数a,b,c使得af(x)-bf(x+c)=3对任意的实数x恒成立,则2a+b-cos c的值为(　　)
A.
6.(多选题)(2024福建龙岩期末)已知sin(α+β)=,tan α-tan β=0,则(　　)
A.sin αcos β=
C.sin 2αsin 2β=
7.(2025江苏宿迁沭阳华冲高级中学期中)已知cos β=cos(2α+β),且α+β≠+kπ(k∈Z),则tan(α+β)tan α=　　　　.
8.(创新题)(2025湖南长沙第一中学期中)由倍角公式cos 2x=2cos2x-1,可知cos 2x可以表示为cos x的二次多项式.对于cos 3x,我们有cos 3x=cos(2x+x)=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2sin xcos xsin x=2cos3x-cos x-2(1-cos2x)cos x=4cos3x-3cos x,则cos 3x可以表示为cos x的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式Pn(t)=a0+a1t+a2t2+…+antn(a0,a1,a2,…,an∈R),使得cos nx=Pn(cos x),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式.
(1)利用结论cos 3x=4cos3x-3cos x,求出sin 18°的值;(提示:3×18°=90°-2×18°)
(2)在切比雪夫多项式中证明:|a1+a2+a3+…+an|≤2;
(3)设函数f(x)=|x2+ax+b|,其中a,b∈R.若对任意a,b∈R,总存在x0∈[0,4],使得f(x0)≥m,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　三角函数式的恒等变形
1.D　由sin θ-4cos θ=0,得tan θ=4,
故
=.
2.C　对于A,f(x)=sin xcos x=sin 2x的最小正周期为π,故A不符合题意;
对于B,f(x)=的最小正周期为π,故B不符合题意;
对于C,f(x)=cossin x的最小正周期为2π,故C符合题意;
对于D,f(x)=的最小正周期为π,故D不符合题意.
3.B　f(x)=cos 3x-cos 2x=cos,x∈(0,π).
令f(x)=0,得sin =0,
因为x∈(0,π),所以>0,
故sin =kπ,k∈Z,
因为x∈(0,π),所以x=,
又x1所以cos x1cos x2=cos
=
=.
4.D　设x=α+β,y=α-β,则α=,
因为sin(α+β)=cos 2αsin(α-β),所以sin x=cos(x+y)·sin y,
故sin x=(cos xcos y-sin xsin y)sin y=cos xcos ysin y-sin xsin2y,
即cos xcos ysin y-sin xsin2y-sin x=cos xcos ysin y-sin x(1+sin2y)=0,
因为α+β≠+kπ,k∈Z,所以cos x≠0,
方程两边同时除以cos x,得cos ysin y-tan x(1+sin2y)=0,
所以tan x=,
令2y=θ,tan x=k,
所以k=sin(θ+φ),其中tan φ=k,
又sin(θ+φ)≤1,所以3k≤,
则tan(α+β)的最大值为.
5.B　f(x)=2sin xcos x+4cos2x-1=sin 2x+2cos 2x+1=sin(2x+φ+2c)+1,
实数a,b,c使得af(x)-bf(x+c)=3对任意的实数x恒成立,即bsin(2x+φ+2c)+a-b=3恒成立,
即bsin(2x+φ+2c)+(a-b-3)=0恒成立,
即bsin 2ccos(2x+φ)+(a-b-3)=0恒成立,
则
由②知b=0或sin 2c=0,
若b=0,由①知a=0,显然不满足③,所以b≠0,
若sin 2c=0,则cos 2c=±1,
当cos 2c=1时,由①知a=b,不满足③,舍去,所以cos 2c=-1,则cos c=0,由①③知a=-b=.
6.ACD　因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
所以cos(α+β)=±=±,
所以tan(α+β)==±(2+),故B错误;
因为tan α-sin βcos α,
所以,故A正确;
易得sin βcos α=,
则sin 2αsin 2β=4sin αcos αsin βcos β
=4sin αcos β·cos αsin β=4××,故C正确;
因为cos(α+β)=±,
所以cos2(α-β)=cos2(α+β)+,所以cos(α-β)=±,故D正确.
7.答案　3-2
解析　由题知cos[(α+β)-α]=cos[(α+β)+α],
即cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=sin(α+β)sin α,
得(+1)sin(α+β)sin α,
因为α+β≠+kπ(k∈Z),
所以tan(α+β)tan α=.
8.解析　(1)因为cos 54°=4cos318°-3cos 18°,cos 54°=sin 36°=2sin 18°cos 18°,所以2sin 18°cos 18°=4cos318°-3cos 18°,
所以2sin 18°=4cos218°-3=4(1-sin218°)-3=1-4sin218°,即4sin218°+2sin 18°-1=0,
所以sin 18°=.
(2)证明:由题意可知cos nx=a0+a1cos x+a2cos2x+…+ancosnx,　
令x=;令x=0,则a0+a1+a2+…+an=1,
所以|a1+a2+a3+…+an|=|1-a0|≤1+|a0|≤2.
(3)由题意可知m≤min{max{f(x)}}.
其中max{f(x)}表示f(x)在[0,4]上的最大值,是一个含有a,b的表达式,
min{max{f(x)}}表示f(x)最大值的最小值.
由切比雪夫多项式的定义可知|t|≤1时,|Pn(t)|≤1.
令t=,则x=2t+2,当x∈[0,4]时,t∈[-1,1],y=|(2t+2)2+a(2t+2)+b|=|4t2-2+(2a+8)t+2a+b+6|,
当2a+8=0且2a+b+6=0,即a=-4且b=2时,
由切比雪夫多项式知y=|4t2-2|=2|2t2-1|≤2.
当a≠-4或b≠2时,|4t2-2+(2a+8)t+2a+b+6|≤|4t2-2|+|(2a+8)t+2a+b+6|,
min{max{|4t2-2|+|(2a+8)t+2a+b+6|}}≥min{2+|2a+b+6|}≥2,
故min{max{f(x)}}≥2,当且仅当a=-4,b=2时取等号.
综上,实数m的取值范围是(-∞,2].
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