专题强化练6 空间中的角和距离--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
专题强化练6　空间中的角和距离
1.(2025北京顺义期中)如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,则下列叙述中错误的是(　　)
A.线段AD的长是点A到平面BCD的距离
B.线段AC的长是点A到直线BC的距离
C.∠ABD是二面角A-BC-D的一个平面角
D.∠ACD是直线AC与平面BCD所成角
2.(多选题)(2024江苏南通如皋中学模拟)已知异面直线a与b所成的角为60°,平面α与平面β的夹角为80°,直线a与平面α所成的角为15°,点P为平面α,β外一定点,则下列结论正确的是(　　)
A.过点P且与直线a,b所成的角均为30°的直线有3条
B.过点P且与平面α,β所成的角都是30°的直线有4条
C.过点P作与平面α成55°角的直线,可以作无数条
D.过点P作与平面α成55°角,且与直线a成60°角的直线,可以作3条
3.(2024广东调研)半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体,如图所示,多面体ABCD-EFGH就是一个半正多面体,其中四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形,其余八个面为等边三角形,已知该多面体的所有棱长均为2,则平面ABCD与平面EFGH之间的距离为(　　)
A.
4.(多选题)(2025江苏南京一中阶段检测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则(　　)
A.直线MN与直线AC所成的角是
B.直线MN与平面ACC1A1所成的角是
C.二面角M-AB-C的平面角是
D.平面BMN截正方体所得的截面面积为
5.(2025江苏连云港海州高级中学期中)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=4,若PC 平面α,BD∥平面α,平面α与直线AB,AD分别交于点E,F,则△PEF的面积为　　　　;直线BD到平面α的距离为　　　　.
6.(2025山东泰安期中)如图,已知三棱台ABC-A1B1C1中,平面ABB1A1⊥平面BCC1B1,△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=2AA1=2A1B1=2BB1=2.
(1)证明:AB1⊥平面BCC1B1;
(2)求直线AB1与平面ABC所成角的大小;
(3)在线段CC1上是否存在点F,使得二面角F-AB-C的大小为 若存在,求出线段CF的长;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
专题强化练6　空间中的角和距离
1.C　因为AD⊥平面BCD,所以线段AD的长是点A到平面BCD的距离,故A中叙述正确;
因为AD⊥平面BCD,BC 平面BCD,所以BC⊥AD,
又BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD 平面ACD,
所以BC⊥平面ACD,
又因为AC 平面ACD,所以BC⊥AC,所以线段AC的长是点A到直线BC的距离,故B中叙述正确;
因为BC⊥CD,BC⊥AC,所以∠ACD是二面角A-BC-D的平面角,故C中叙述错误;
因为AD⊥平面BCD,所以∠ACD是直线AC与平面BCD所成角,故D中叙述正确.
2.BC　过点P作分别与直线a,b平行的直线a',b',因为异面直线a与b所成的角为60°,所以a',b'的夹角为60°,
在直线a',b'确定的平面内过点P且与a',b'都成30°角的直线只有1条,所以过点P且与直线a,b所成的角均为30°的直线只有1条,A中结论错误;
因为平面α与平面β的夹角为80°,所以过点P且与平面α,β所成的角都是=40°或=50°的直线各有一条,两条直线分别记为m,n,
若过点P且与平面α,β所成的角都是30°,则在直线m的两侧各有一条,在直线n的两侧各有一条,因此共有2×2=4(条),B中结论正确;
以P为顶点,母线与底面成55°角的圆锥的底面所在平面为α,满足点P在α外,且过点P的直线与平面α成55°角,如图,
圆锥的每条母线与平面α都成55°角,因此可以作无数条,C中结论正确;
结合对C选项的分析,在上图中,过点P作PZ∥a,交平面α于点Z,过点Z及圆锥底面圆心O的直线与圆锥底面圆周交于点Q1,Q2,则∠PZO=15°,
显然∠Q1PQ2=70°,∠ZPQ1=40°,∠ZPQ2=110°,设Q为圆锥底面圆周上任意一点,
于是40°≤∠ZPQ≤110°,因此圆锥母线中与直线PZ成60°角的直线有2条,即与直线a成60°角的直线有2条,D中结论错误.
3.B　分别取BC,AD的中点M,N,连接MN,MG,NE,EG,如图1,
根据半正多面体的性质可知,四边形EGMN(如图2)为等腰梯形,
根据题意可知BC⊥MN,BC⊥MG,
而MN∩MG=M,MN,MG 平面EGMN,
故BC⊥平面EGMN,又BC 平面ABCD,
故平面ABCD⊥平面EGMN,则平面EFGH⊥平面EGMN,
作MS⊥EG,垂足为S,因为平面EFGH∩平面EGMN=EG,MS 平面EGMN,所以MS⊥平面EFGH,
则梯形EGMN的高即为平面ABCD与平面EFGH之间的距离,
MG=2×-1,
故MS=,
即平面ABCD与平面EFGH之间的距离为.
4.ACD　对于A,连接CD1,AD1,则MN∥CD1,所以直线MN与AC所成的角即为直线CD1与AC所成的角,
又△ACD1是等边三角形,
所以直线CD1与AC所成的角为,
故直线MN与直线AC所成的角是,故A正确;
对于B,由上述分析知MN∥CD1,则直线CD1与平面ACC1A1所成的角即为直线MN与平面ACC1A1所成的角,
连接B1D1交A1C1于点E,连接EC,易知CC1⊥平面A1B1C1D1,又B1D1 平面A1B1C1D1,
所以CC1⊥B1D1,又A1C1⊥B1D1,A1C1∩CC1=C1,A1C1,CC1 平面ACC1A1,
所以B1D1⊥平面ACC1A1,所以∠ECD1即为直线CD1与平面ACC1A1所成的角,
易知sin∠ECD1=,故B错误;
对于C,连接BC1,平面MAB即为平面ABC1D1,因为AB⊥平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,所以AB⊥AD1,又AB⊥AD,所以∠D1AD为二面角M-AB-C的平面角,
在Rt△ADD1中,AD=DD1,所以∠D1AD=,故C正确;
对于D,连接A1B,A1M,易知A1B∥CD1,CD1∥MN,所以A1B∥MN,
所以平面BMN截正方体所得的截面为梯形A1BNM,
且MN=,
所以梯形的高为,
所以截面面积为××,故D正确.
5.答案　6
解析　如图,过点C作BD的平行线,与直线AB,AD分别交于点E,F,则AE=AF=6,EF=6,
由PA⊥平面ABCD,EF 平面ABCD,得PA⊥EF,
由四边形ABCD是正方形及BD∥EF,可得AC⊥EF,
因为AC∩PA=A,AC,PA 平面PAC,
所以EF⊥平面PAC,又PC 平面PAC,所以EF⊥PC,
易求得PC=.
设AC∩BD=O,则OC=,易知平面PAC⊥平面PEF,平面PAC∩平面PEF=PC,
过点O作OG⊥PC,垂足为G,则OG⊥平面PEF,因为BD∥平面PEF,O∈BD,所以OG的长就是直线BD到平面α的距离,OG=OCsin∠PCA=×.
6.解析　(1)证明:由已知得四边形ABB1A1为等腰梯形,
在等腰梯形ABB1A1中,cos∠ABB1=,
在△ABB1中,由余弦定理得
A-2AB·BB1·cos∠ABB1=3,
则AB2=A,所以AB1⊥BB1.
又因为平面ABB1A1⊥平面BCC1B1,平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1,AB1 平面ABB1A1,
所以AB1⊥平面BCC1B1.
(2)如图1,过B1作B1H⊥AB,垂足为H,
因为AB1⊥平面BCC1B1,BC 平面BCC1B1,
所以AB1⊥BC,
又BA⊥BC,BA∩AB1=A,BA,AB1 平面ABB1A1,
所以BC⊥平面ABB1A1,
又B1H 平面ABB1A1,所以BC⊥B1H.
又AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,
所以B1H⊥平面ABC,
故∠B1AB为AB1与平面ABC所成的角,
在Rt△B1AB中,cos∠B1AB=,因此∠B1AB=30°,所以AB1与平面ABC所成角的大小为30°.
(3)如图2,延长AA1,CC1,BB1,交于点P,由(1)得△PAB为正三角形,
由BC⊥平面ABB1A1,BC 平面ABC,得平面ABC⊥平面PAB,
取AB的中点N,连接PN,CN,则PN⊥AB,又平面ABC∩平面PAB=AB,PN 平面PAB,所以PN⊥平面ABC.
作FE∥PN交CN于E,则FE⊥平面ABC,
又AB 平面ABC,所以AB⊥FE,
作ED⊥AB于D,连接FD,则ED即为FD在平面ABC内的射影,
因为ED⊥AB,AB⊥FE,ED∩FE=E,ED,FE 平面DEF,
所以AB⊥平面DEF,
又FD 平面DEF,所以AB⊥FD,则∠FDE为二面角F-AB-C的平面角.
假设线段CC1上存在点F,使得二面角F-AB-C的大小为,
设FE=,
则=1,
即,
又PN=,
所以PC=,
因此,
所以线段CC1上存在满足题意的点F,CF=.
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