专题强化练8 统计、概率的综合应用--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
专题强化练8　统计、概率的综合应用
1.(2025天津九校联考)某地政府为了促进当地旅游业发展,从到该地旅游的游客中随机选取了400人进行调查,其中青年人、中年人、老年人三个年龄段游客的占比情况如图1所示,各年龄段游客的性别占比情况如图2所示,则下列说法正确的是(　　)
A.估计到该地旅游的女性占比为55%
B.从调查的游客中随机抽取一位进行深入调研,则抽到中年男性的概率为0.175
C.若按年龄进行分层,用分层抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品,则应从中年人中抽取8人
D.从调查的游客中选取一位作为幸运游客,在已知该幸运游客是青年人的条件下,其是女性的概率为0.6
2.(2025湖北宜昌开学考试)将95,96,97,98,99这5个数据作为总体,从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本,则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为(　　)
A.
3.(2024江西南昌期末)某中学高二学生有500人,首选科目为物理的有300人,首选科目为历史的有200人,现对高二年级全体学生进行数学学科学习质量检测,按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本,经计算得到首选科目为物理的学生该次数学质量检测的平均成绩为95分,方差为154分2,首选科目为历史的平均成绩为75分,所有样本的标准差为16分,则下列说法中错误的是(　　)
A.首选科目为历史的学生的样本容量为20
B.所有样本的均值为87分
C.每个首选科目为历史的学生被抽取到样本中的概率为
D.首选科目为历史的学生成绩的标准差为13分
4.(2025江苏泰州姜堰中学期中)已知一组均为正整数的数据丢失了一个,另外六个数据分别是13,8,26,8,11,8,若这组数据的平均数a1、中位数a2、众数a3满足a1+a3=2a2,现从已知的6个数据中任意抽取一个记为y,则y>a1的概率为　　　　.
5.(2024江苏宿迁期末)某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知,使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值m来衡量的,按质量指标值m划分产品等级的标准如表1.
表1
质量指 标值m 300≤m<350 250≤m<300或 350≤m<400 150≤m<250或 400≤m≤450
等级 一等品 二等品 三等品
现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本,检测其质量指标值m,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)用分层抽样的方法从样本质量指标值m在区间[350,400)和[400,450]内的产品中随机抽取6件,再从这6件中任取2件作进一步研究,求这2件产品都取自区间[350,400)的概率;
(2)根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如表2:
表2
产品等级 一等品 二等品 三等品
销售率
单件产品原售价 20元 15元 10元
(各等级产品的销售率为其销量与其对应产量的比值,未按原价售出的产品统一按原售价的50%全部售出)
已知该企业购进该新型机器的前提条件是其生产的产品同时满足下列两个条件:
①质量指标值m的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)不低于300;
②单件产品的平均利润不低于4元.
已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件,月产量为2 000件,根据图表信息,分析该新型机器是否达到企业的购进条件.
6.(2024安徽示范高中培优联盟联赛)一城市的某爱心机构鼓励市民多参加户外活动,与人面对面交流,让生活更加丰富多彩,并为此做了诸多宣传工作,为了使宣传全面有效,该机构随机选择了100位市民进行调查,这些市民的年龄数据的频率分布直方图如下:
(1)请估计这100位市民的平均年龄,结果保留整数(同组数据用该组区间的中点值代替);
(2)请估计该市一位市民年龄位于区间[40,60)的概率;
(3)现要从年龄在[20,30)和[70,80)的两组中用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行电话回访,有两种方案,若抽取的2人的年龄差大于10,则代表该机构宣传工作做得全面,获得好评.
方案一:从6人中按照不放回抽样的方法抽取2人,获得好评的概率为P1;
方案二:从6人中按照有放回抽样的方法抽取2人,获得好评的概率为P2.
假设获得好评的概率大的方案较好,请比较上述两种方案哪种更好,并说明理由.
答案与分层梯度式解析
专题强化练8　统计、概率的综合应用
1.B　对于A,估计到该地旅游的女性占比为40%×70%+35%×50%+25%×60%=60.5%,故A错误;
对于B,抽到中年男性的概率为0.35×0.5=0.175,故B正确;
对于C,应从中年人中抽取20×0.35=7(人),故C错误;
对于D,由题图2知该幸运游客是青年人的条件下,其是女性的概率为0.7,故D错误.
2.D　依题意可知,总体平均数为97,从这5个数据中随机选取2个作为一个样本,情况如下:
选到95,96,样本平均数为95.5,则|95.5-97|=1.5,
选到95,97,样本平均数为96,则|96-97|=1,
选到95,98,样本平均数为96.5,则|96.5-97|=0.5,
选到95,99,样本平均数为97,则|97-97|=0,
选到96,97,样本平均数为96.5,则|96.5-97|=0.5,
选到96,98,样本平均数为97,则|97-97|=0,
选到96,99,样本平均数为97.5,则|97.5-97|=0.5,
选到97,98,样本平均数为97.5,则|97.5-97|=0.5,
选到97,99,样本平均数为98,则|98-97|=1,
选到98,99,样本平均数为98.5,则|98.5-97|=1.5,
共10种,其中样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的情况有8种,故所求概率为.
3.C　设抽取的首选科目为历史的学生人数为n,则,解得n=20,故A中说法正确;
设首选科目为物理的学生成绩的平均数为分,方差为分2,首选科目为历史的学生成绩的平均数为分,方差为分2,所有样本的平均数为分,方差为s2分2,
则由题意可得=75,s2=162=256,
所以×95=87,故B中说法正确;
每个首选科目为历史的学生被抽取到样本中的概率为,故C中说法错误;
由分层抽样中方差的计算公式可得256=+(75-87)2],解得=169,
所以首选科目为历史的学生成绩的标准差为=13(分),故D中说法正确.
4.答案　
解析　设丢失的数据为x,则a1=,a3=8.
若x≤8,x∈N*,则a2=8,此时=8,解得x=-18,不满足题意;
若8若x>11,x∈N*,则a2=11,此时+8=2×11,解得x=24,故x=10或x=24.
当x=10时,a1=12,此时y>a1的概率为;
当x=24时,a1=14,此时y>a1的概率为.
综上,y>a1的概率为.
5.解析　(1)由题图知质量指标值m在区间[350,400)和[400,450]内的频率分别为0.004×50=0.2,0.002×50=0.1,
所以样本中质量指标值m在区间[350,400)内的有6×=4(件),分别设为a,b,c,d;
质量指标值m在区间[400,450]内的有6×=2(件),分别设为E,F,
则从这6件中任取2件,样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(a,F),(b,c),(b,d),(b,E),(b,F),(c,d),(c,E),(c,F),(d,E),(d,F),(E,F)},可知n(Ω)=15,
记“这2件产品都取自区间[350,400)”为事件A,则A={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},可知n(A)=6,
所以P(A)=.
(2)由题中频率分布直方图可知,产品质量指标值m的平均数为175×0.05+225×0.15+275×0.2+325×0.3+375×0.2+425×0.1=312.5>300,故满足条件①;
由题中频率分布直方图可知,该新型机器生产的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为0.3,0.4,0.3,
故2 000件产品中,一、二、三等品分别约有600件,800件,600件,
一等品的利润为600×=5 250(元),
二等品的利润为800×=1 600(元),
三等品的利润为600×=-1 800(元),
则2 000件产品的总利润为5 250+1 600-1 800=5 050(元),
故2 000件产品单件的平均利润的估计值为=2.525(元),2.525<4,故不满足条件②.
综上,该新型机器没有达到企业的购进条件.
6.解析　(1)这100位市民的平均年龄为5×0.01+15×0.02+25×0.12+35×0.17+45×0.23+55×0.2+65×0.17+75×0.06+85×0.02=47.9≈48(岁),即这100位市民的平均年龄约为48岁.
(2)这100位市民中,其年龄位于区间[40,60)的频率为(0.023+0.02)×10=0.43,
故估计该市一位市民年龄位于区间[40,60)的概率为0.43.
(3)参与调查的100位市民中年龄在区间[20,30)内的人数为0.012×10×100=12,在区间[70,80)内的人数为0.006×10×100=6,
按照分层抽样的方法抽取6人,则年龄在区间[20,30)内的应抽取×6=4(人),分别设为1,2,3,4;
年龄在区间[70,80)内的应抽取×6=2(人),分别设为a,b.
方案一:从6人中按照不放回抽样的方法抽取2人,所有可能出现的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b),共15种,
其中抽取的2人的年龄差大于10的情况有(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),共8种,
故获得好评的概率P1=.
方案二:从6人中按照有放回抽样的方法抽取2人,所有可能出现的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,a),(3,b),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a),(b,b),共36种,
其中抽取的2人的年龄差大于10的情况有(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),共16种,
故获得好评的概率P2=.
因为P1>P2,所以方案一较好.
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