第四章 指数函数与对数函数 单元测试卷 高中数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

指数函数与对数函数检测试卷
一、选择题
1、设,,,则这四个数的大小关系是( )
A. B. C. D.
2、函数,的定义域是( )
A. B. C. D.
3、函数的零点的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4、函数的定义域为(　　)
A. B. C. D.
5、设,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
6、“”是“”的一个( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7、已知函数与的零点分别为a,b,则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
8、已知方程有两个不等的实根，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
9、当有意义时，化简的结果是( ).
A. B. C. D.
10、已知，则( ).
A. B. C. D.a
11、若，，则( ).
A.0 B. C. D.
12、设函数在上单调递减，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、已知函数（，且）的图象恒过定点，则____________.
14、已知函数的图象和直线有三个交点,则___________.
15、若,则a的值为______________.
16、已知函数的图象与直线有四个交点，则a的取值范围为_____________.
17、若函数的图象和直线有四个交点,则实数a的取值范围为__________.
三、解答题
18、回答下列问题
（1）化简
（2）若,求的值.
19、已知函数.
（1）当时，讨论函数的零点存在情况；
（2）当时，证明：当时，.
20、已知函数，，.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）讨论函数的值域.
21、设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点.
22、求满足下列条件的各式的值：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
参考答案
1、答案：B
解析：,,
所以,
故选B.
2、答案：B
解析：考查函数的定义域,利用对数的真数大于0即求得.,.
3、答案：C
解析：如图,画出与的图象,
由图知与的图象有两个交点.
故函数的零点有2个.
4、答案：C
解析：要使原函数有意义,则,解得或,
所以原函数的定义域为,
故选C.
5、答案：D
解析：即;
即;
即.
所以.
故选：D.
6、答案：C
解析：因为,
所以在R上单调递增,且恒成立,在上单调递增,
当时,由的单调性可得,即;
当时,由的单调性可得;
综上：“”是“”的充要条件.
故选：C.
7、答案：D
解析：根据题意,,
所以且,
,
所以且,
对比和可知,结合和只有一个交点,
所以,故,故选项A错误;
分析图像可知,,故选项B错误;
若成立,则有,即有,
即有,故矛盾,所以选项C错误;
,故选项D正确.
故选：D.
8、答案：D
解析：函数，其图象如图所示.由直线与
的图象相交且有两个交点，可得.
9、答案：C
解析：当有意义时，.
.
10、答案：A
解析：.
11、答案：B
解析：.
12、答案：B
解析：令，因为在上单调递减，所以在上单调递增，且在上恒成立，所以解得.故选B.
13、答案：3
解析：由函数(且)且的图象恒过定点知，
解得：，，
则.
故答案为：3.
14、答案：-1
解析：由题设,过定点,关于对称且在、上递减,、上递增,它们的图象如下图示：
要使与直线有三个交点,只需与相切且切点横坐标即可,
所以有且只有一个根,即,解得或.
当时,代入方程可得;当时,代入方程可得;
综上,.
故答案为：-1.
15、答案：1
解析：
故答案为：1.
16、答案：
解析：，函数图象如下图所示：
当时，，
当时，.
所以要想函数的图象与直线有四个交点，
只需，
故答案为：.
17、答案：
解析：,画出函数的图象,
直线过定点,
当时,显然不符合题意;
当时,直线可化为,直线的斜率为,
当直线与相切时,有三个交点.
联立得到,
由得或.
当时,方程的解为,满足条件,此时切线的斜率为2;当时,当的解为,不满足条件.
结合图象知,若函数和直线有四个交点,所以直线的斜率应满足,实数a的取值范围是.
故答案为：.
18、答案：（1）;
（2）14
解析：（1）;
（2）,则
所以,
19、
（1）答案：两个零点
解析：当时，，
显然，即1是的一个零点，
求导得，
在上单调递增，且，
则在上存在唯一零点，
当时，，当时，，
因此，函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，
从而得在上函数存在一个零点，
所以函数存在两个零点；
（2）答案：证明见解析
解析：令，，则，
由（1）知在上单调递增，
且在上存在唯一零点，即，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因此，，
即，则，
而，有，于是得，
所以当，时，.
20、答案：（1）
（2）偶函数，理由见解析
（3）答案见解析
解析：（1）且，得，即定义域为.
（2）因为定义域关于原点对称，且，
所以函数为偶函数.
（3），
令，由，得，
则，，
当时，，所以原函数的值域为；
当时，，所以原函数的值域为.
21、答案：见解析
解析：，
，
，又，
.
，
与中至少有一个为正，
又，
或.
函数在内至少有一个零点.
22、答案：（1）
（2）2
解析：（1），
；
（2），
.