指数函数、对数函数及综合应用 高中数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）
文档属性
| 名称 | 指数函数、对数函数及综合应用 高中数学人教A版（2019）必修第一册（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 87.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-05 22:05:17 | ||
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文档简介
指数函数、对数函数及综合应用
一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知函数f(x)＝并且f(a)＝－3，则f(6－a)等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
2．函数f(x)＝log2(2x)·log2(4x)的最小值为( )
A．1 B. C．－ D．－
3．已知奇函数f(x)是R上的增函数，若a＝－f ，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a4．若函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(0,2] D．[2，＋∞)
5．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0且a≠1)的图象可能是( )
6．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对任意的x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
7．设函数f(x)＝ln(|x|－a)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)
C．若f(x)的定义域为R，则a的取值范围为(－∞，0]
D．若f(x)的值域为R，则a的取值范围为[0，＋∞)
8．已知f(x)，g(x) 都是定义在R上的函数，其中f(x) 是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x，则下列说法正确的是( )
A．f(g(x))为偶函数 B．g(0)＝0
C．f(x)＝ D．|f(x)|＋g(x)＝
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．若函数f(x)＝lg(－2x)为定义域上的奇函数，则实数a的值为________．
10．已知函数f(x)＝是定义域R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
11．若函数f(x)＝(ax2＋x＋2)的最大值为0，则实数a的值为________．
12．已知函数f(x)＝若存在x1四、解答题(本大题共3小题，共40分)
13．(13分)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，并且f(3)＝1.
(1)求a的值，并写出函数f(x)的定义域；
(2)若不等式f(t·4x)≥f(2x－t)对任意x∈[1,2]恒成立，求实数t的取值范围．
14．(13分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
15．(14分)已知函数f(x)＝2x＋2－x，g(x)＝＋log2(1＋2－x)．
(1)判断函数g(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(2)若g(x)≤log2f(x)＋a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
答案精析
1．A [因为f(a)＝－3，所以2a－1－2＝－3或－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.]
2．D [由题意得f(x)＝(log2x＋1)·(log2x＋2)＝(log2x)2＋3log2x＋2＝2－，
当log2x＝－时，f(x)取得最小值，其最小值为－.]
3．C [由题意得，a＝f
＝f(log25)，
因为log25>log24.1>2,1<20.8<2，
所以log25>log24.1>20.8，
因为函数f(x)单调递增，所以f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，
即a>b>c.]
4．D [在函数f(x)＝ln(ax－2)中，
令u＝ax－2，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，
而函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2
在(1，＋∞)上单调递增，且 x>1，ax－2>0，因此
解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．]
5．D [当01时，函数y＝过定点(0,1)且单调递减，函数y＝loga过定点且单调递增，各选项均不符合．]
6．A [对任意的x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，
则f(x)min≥g(x)min，
因为f(x)＝ln(x2＋1)在[0,3]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0，
又g(x)＝x－m在[1,2]上单调递减，所以g(x)min＝g(2)＝－m，
所以f(x)min＝0≥g(x)min＝－m，解得m≥.]
7．AD [因为当a>0时，函数定义域为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；当a＝0时，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a<0时，函数的定义域为R，函数定义域关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；
当a＝1时，令|x|－1>0，解得x<－1或x>1，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，故B错误；
若f(x)的定义域为R，则|x|－a>0恒成立，故a<0，则a的取值范围为(－∞，0)，故C错误；
若f(x)的值域为R，则－a≤0，故a≥0，则a的取值范围为[0，＋∞)，故D正确．]
8．ACD [f(g(－x))＝f(g(x))，
故f(g(x))为偶函数，故A正确；
因为f(x)＋g(x)＝2x，所以f(－x)＋g(－x)＝2－x，
又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以－f(x)＋g(x)＝2－x，
解得g(x)＝，
f(x)＝，故C正确；
由C的分析可知g(0)＝1，故B错误；
当x≥0 时，|f(x)|＝，
|f(x)|＋g(x)＝＋＝2x；
当x<0 时，|f(x)|＝，
|f(x)|＋g(x)＝＋＝2－x，
所以|f(x)|＋g(x)＝
故D正确．]
9．4
解析 因为f(x)为定义域上的奇函数，则f(x)＋f(－x)＝lg(－2x)＋lg(＋2x)＝lg(ax2－4x2＋1)＝0，所以ax2－4x2＋1＝1恒成立，解得a＝4.
10. [4,8)
解析 因为函数f(x)＝是定义域R上的增函数，
所以
解得4≤a<8.
11.
解析 因为f(x)的最大值为0，所以h(x)＝ax2＋x＋2的最小值为1，
所以解得a＝.
12．[1，＋∞)
解析 根据题意作f(x)的图象如图所示，
若存在x1所以x2－log2(x1＋1)＝log2－log2(x1＋1)＝log2＝
log2，因为－1所以log2∈[1，＋∞)．
13．解 (1)∵f(3)＝loga3＝1，
解得a＝3，
∴f(x)＝log3x，定义域为(0，＋∞)．
(2)∵f(x)＝log3x，∴f(x)是增函数，
又f(t·4x)≥f(2x－t)对任意x∈[1,2]恒成立，∴t·4x≥2x－t>0，
∴t(4x＋1)≥2x，∴t≥＝，
令y＝2x＋，则函数在[1,2]上单调递增，
∴ymin＝2＋＝，∴t≥＝，
又∵2x－t>0，x∈[1,2]，
∴t<(2x)min＝2.
综上，实数t的取值范围是.
14．(1)解 ∵f(x)为定义域R上的奇函数，∴f(0)＝0，可得b＝1，
又∵f(－1)＝－f(1)，∴
＝－，解得a＝1.
经检验当a＝1且b＝1时，f(x)＝满足f(－x)＝－f(x)，
即f(x)是奇函数.
所以a＝1，b＝1.
(2)证明 由(1)得f(x)＝＝－1＋，
任取实数x1，x2，且x1则f(x1)－f(x2)＝，
∵x10，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)为减函数．
(3)解 根据(1)(2)知，函数f(x)是奇函数且为减函数．
∴不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，即f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)，
即t2－2t>－2t2＋k对任意的t∈R都成立，
∴k<3t2－2t对任意的t∈R都成立，
∵3t2－2t＝32－，当t＝时取得最小值－，
∴k<－，即k的取值范围是.
15．解 (1)g(x)为定义域R上的偶函数．证明如下：
对任意的x∈R,1＋2－x>0，故函数g(x)的定义域为R，
g(x)＝＋log2＝＋
log2＝＋log2(2x＋1)－log22x＝－＋log2(2x＋1)＝g(－x)，
因此，函数g(x)为定义域R上的偶函数．
(2)∵f(x)＝2x＋2－x，g(x)＝＋log2(1＋2－x)，∴g(x)≤log2f(x)＋a对一切实数x恒成立，
即＋log2(1＋2－x)≤log2(2x＋2－x)＋a对一切实数x恒成立，
整理得，x＋2log2(1＋2－x)≤log2(2x＋2－x)＋2a，
即2a≥log22x＋log2(1＋2－x)2－
log2(2x＋2－x)＝log2，
即2a≥log2对一切实数x恒成立，
而2x＋2－x＝2x＋≥2＝2，
当且仅当2x＝1，即x＝0时取等号，
∴以log2∈(0,1]，
∴2a≥1，即a≥，即实数a的取值范围为.
一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知函数f(x)＝并且f(a)＝－3，则f(6－a)等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
2．函数f(x)＝log2(2x)·log2(4x)的最小值为( )
A．1 B. C．－ D．－
3．已知奇函数f(x)是R上的增函数，若a＝－f ，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(0,2] D．[2，＋∞)
5．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0且a≠1)的图象可能是( )
6．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对任意的x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
7．设函数f(x)＝ln(|x|－a)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)
C．若f(x)的定义域为R，则a的取值范围为(－∞，0]
D．若f(x)的值域为R，则a的取值范围为[0，＋∞)
8．已知f(x)，g(x) 都是定义在R上的函数，其中f(x) 是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x，则下列说法正确的是( )
A．f(g(x))为偶函数 B．g(0)＝0
C．f(x)＝ D．|f(x)|＋g(x)＝
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．若函数f(x)＝lg(－2x)为定义域上的奇函数，则实数a的值为________．
10．已知函数f(x)＝是定义域R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
11．若函数f(x)＝(ax2＋x＋2)的最大值为0，则实数a的值为________．
12．已知函数f(x)＝若存在x1
13．(13分)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，并且f(3)＝1.
(1)求a的值，并写出函数f(x)的定义域；
(2)若不等式f(t·4x)≥f(2x－t)对任意x∈[1,2]恒成立，求实数t的取值范围．
14．(13分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
15．(14分)已知函数f(x)＝2x＋2－x，g(x)＝＋log2(1＋2－x)．
(1)判断函数g(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(2)若g(x)≤log2f(x)＋a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
答案精析
1．A [因为f(a)＝－3，所以2a－1－2＝－3或－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.]
2．D [由题意得f(x)＝(log2x＋1)·(log2x＋2)＝(log2x)2＋3log2x＋2＝2－，
当log2x＝－时，f(x)取得最小值，其最小值为－.]
3．C [由题意得，a＝f
＝f(log25)，
因为log25>log24.1>2,1<20.8<2，
所以log25>log24.1>20.8，
因为函数f(x)单调递增，所以f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，
即a>b>c.]
4．D [在函数f(x)＝ln(ax－2)中，
令u＝ax－2，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，
而函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2
在(1，＋∞)上单调递增，且 x>1，ax－2>0，因此
解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．]
5．D [当0
6．A [对任意的x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，
则f(x)min≥g(x)min，
因为f(x)＝ln(x2＋1)在[0,3]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0，
又g(x)＝x－m在[1,2]上单调递减，所以g(x)min＝g(2)＝－m，
所以f(x)min＝0≥g(x)min＝－m，解得m≥.]
7．AD [因为当a>0时，函数定义域为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；当a＝0时，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a<0时，函数的定义域为R，函数定义域关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；
当a＝1时，令|x|－1>0，解得x<－1或x>1，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，故B错误；
若f(x)的定义域为R，则|x|－a>0恒成立，故a<0，则a的取值范围为(－∞，0)，故C错误；
若f(x)的值域为R，则－a≤0，故a≥0，则a的取值范围为[0，＋∞)，故D正确．]
8．ACD [f(g(－x))＝f(g(x))，
故f(g(x))为偶函数，故A正确；
因为f(x)＋g(x)＝2x，所以f(－x)＋g(－x)＝2－x，
又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以－f(x)＋g(x)＝2－x，
解得g(x)＝，
f(x)＝，故C正确；
由C的分析可知g(0)＝1，故B错误；
当x≥0 时，|f(x)|＝，
|f(x)|＋g(x)＝＋＝2x；
当x<0 时，|f(x)|＝，
|f(x)|＋g(x)＝＋＝2－x，
所以|f(x)|＋g(x)＝
故D正确．]
9．4
解析 因为f(x)为定义域上的奇函数，则f(x)＋f(－x)＝lg(－2x)＋lg(＋2x)＝lg(ax2－4x2＋1)＝0，所以ax2－4x2＋1＝1恒成立，解得a＝4.
10. [4,8)
解析 因为函数f(x)＝是定义域R上的增函数，
所以
解得4≤a<8.
11.
解析 因为f(x)的最大值为0，所以h(x)＝ax2＋x＋2的最小值为1，
所以解得a＝.
12．[1，＋∞)
解析 根据题意作f(x)的图象如图所示，
若存在x1
log2，因为－1
13．解 (1)∵f(3)＝loga3＝1，
解得a＝3，
∴f(x)＝log3x，定义域为(0，＋∞)．
(2)∵f(x)＝log3x，∴f(x)是增函数，
又f(t·4x)≥f(2x－t)对任意x∈[1,2]恒成立，∴t·4x≥2x－t>0，
∴t(4x＋1)≥2x，∴t≥＝，
令y＝2x＋，则函数在[1,2]上单调递增，
∴ymin＝2＋＝，∴t≥＝，
又∵2x－t>0，x∈[1,2]，
∴t<(2x)min＝2.
综上，实数t的取值范围是.
14．(1)解 ∵f(x)为定义域R上的奇函数，∴f(0)＝0，可得b＝1，
又∵f(－1)＝－f(1)，∴
＝－，解得a＝1.
经检验当a＝1且b＝1时，f(x)＝满足f(－x)＝－f(x)，
即f(x)是奇函数.
所以a＝1，b＝1.
(2)证明 由(1)得f(x)＝＝－1＋，
任取实数x1，x2，且x1
∵x1
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)为减函数．
(3)解 根据(1)(2)知，函数f(x)是奇函数且为减函数．
∴不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，即f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)，
即t2－2t>－2t2＋k对任意的t∈R都成立，
∴k<3t2－2t对任意的t∈R都成立，
∵3t2－2t＝32－，当t＝时取得最小值－，
∴k<－，即k的取值范围是.
15．解 (1)g(x)为定义域R上的偶函数．证明如下：
对任意的x∈R,1＋2－x>0，故函数g(x)的定义域为R，
g(x)＝＋log2＝＋
log2＝＋log2(2x＋1)－log22x＝－＋log2(2x＋1)＝g(－x)，
因此，函数g(x)为定义域R上的偶函数．
(2)∵f(x)＝2x＋2－x，g(x)＝＋log2(1＋2－x)，∴g(x)≤log2f(x)＋a对一切实数x恒成立，
即＋log2(1＋2－x)≤log2(2x＋2－x)＋a对一切实数x恒成立，
整理得，x＋2log2(1＋2－x)≤log2(2x＋2－x)＋2a，
即2a≥log22x＋log2(1＋2－x)2－
log2(2x＋2－x)＝log2，
即2a≥log2对一切实数x恒成立，
而2x＋2－x＝2x＋≥2＝2，
当且仅当2x＝1，即x＝0时取等号，
∴以log2∈(0,1]，
∴2a≥1，即a≥，即实数a的取值范围为.
同课章节目录
- 第一章 集合与常用逻辑用语
- 1.1 集合的概念
- 1.2 集合间的基本关系
- 1.3 集合的基本运算
- 1.4 充分条件与必要条件
- 1.5 全称量词与存在量词
- 第二章 一元二次函数、方程和不等式
- 2.1 等式性质与不等式性质
- 2.2 基本不等式
- 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
- 第三章 函数概念与性质
- 3.1 函数的概念及其表示
- 3.2 函数的基本性质
- 3.3 幂函数
- 3.4 函数的应用（一）
- 第四章 指数函数与对数函数
- 4.1 指数
- 4.2 指数函数
- 4.3 对数
- 4.4 对数函数
- 4.5 函数的应用（二）
- 第五章 三角函数
- 5.1 任意角和弧度制
- 5.2 三角函数的概念
- 5.3 诱导公式
- 5.4 三角函数的图象与性质
- 5.5 三角恒等变换
- 5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）
- 5.7 三角函数的应用