湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

湖北省襄阳四中2025-2026学年高二上学期12月月考
数 学 试 题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，，若，则k=（ ）
A. 4 B. C. 17 D.
2. 双曲线的渐近线方程为（　　）
A. B.
C. D.
3. 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ）
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离
5. 、分别为与上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D. 6
6. 已知动点满足，则点的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
7. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题错误的是（ ）
A. 若事件与事件互斥，则
B. 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立．
C. 事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小．
D. 抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大．
10. 四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ）
A. 四棱锥的外接球表面积为
B. 的最小值为
C. 不存在点，使得
D. 点到直线的距离的最小值为
11. 已知椭圆 ，是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值是4
B. 的最大值是4
C. 取最小值时，点的坐标为
D. 若也在抛物线 上，则到点的最小距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 椭圆的焦距为__________．
13. 教材页第题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，求证：；若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，求证：利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________．
14. 已知，则的最大值是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）若一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程；
（2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．
16. 如图，一个正八面体八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于”，记事件“得到的点数为质数”．
（1）请写出具体的样本空间；
（2）请证明：；
（3）连续抛掷次这个正八面体，记事件为第次抛掷这个正八面体事件发生，求连续抛掷次这个正八面体事件只发生次的概率．
17. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点．
（1）求的标准方程；
（2）若（不在直线上)，证明：直线过定点．
18. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，且且为锐角．
（1）求证：；
（2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明；
（3）若在底面的正投影为菱形的对角线交点，且，求平面与平面的夹角的余弦值．
19. 公元前180年，古希腊数学家狄俄克利斯（Diocles）独立发明了蔓叶线，其方程为,如左图所示，蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如右图所示，平面内给定圆和直线,从坐标轴原点O引射线分别交圆C和直线于点A、B,在射线上取一点M满足.
（1）求蔓叶线的横坐标的取值范围；
（2）求证：点M在蔓叶线上；
（3）已知：直线与蔓叶线交于三点,记直线的斜率为,直线与圆C交于点,若,求的值.
参考公式：若是一元三次方程的三个根，则,,.
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. B 2. C. 3. A 4. B 5. B 6. B 7. A
8. B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. ACD 10. ABD 11. ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. .
13.
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. (1)设入射光线为，反射光线为，
光线从点射出，与轴相交于点，
入射光线的方程为，整理得，
入射光线的斜率，反射光线的斜率，
又反射光线要经过点，
反射光线的方程为，即.
（2）当直线的截距为时，设直线的方程为.
因为直线经过点，所以，所以直线方程为，即，
当直线的截距不为时，设直线的方程为，
则解得或．
若，则直线的方程为，即
若则直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为：或或．
16. （1）因为正八面体八个面分别标以数字到，
任意抛掷一次，与地面接触的面上的数字可能是，，，，，，，，
所以样本空间．
（2）事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，
事件所含的样本点为：，
故事件所含的样本点为：，所以，
又，所以，
（3）依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立，
记为第次抛掷这个正八面体发生事件，则，
所以事件只发生次的概率为：
．
17.（1）因为，，
所以，故的标准方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，.
由，得，
则，，，
又，则，，
因为，所以，
即，
即，
即，
整理得，解得或，
当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去；
当时，直线，则直线过定点.
综上，直线过定点．
18. （1）设，，，，则，
由题意可得，
则，
故，即；
（2）当时，平面，证明如下：
设时，平面，由平面，
则，，
又，
，，
有
，
由，则恒成立，即恒有，
有
，
则，故当且仅当时，平面；
（3）取中点，连接，由，且底面是菱形，
故点即为菱形的对角线交点，且为等边三角形，
则底面，又平面，则，
，，
则
，
即有，则，
过点作于点，则即为平面与平面所成角的平面角，
由，则，
则，则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
19. （1）点不在方程上，故该式可化为，
则且，则且，可得.
故蔓叶线的横坐标的取值范围为.
（2）设，已知直线的方程为，将其代入圆的方程，
进行整理得
解得或，因为点不是原点，所以点横坐标为.
已知，设，
根据向量坐标运算，，因为，所以，.
将代入蔓叶线方程的右边，得：，
而，
即，
点的坐标满足蔓叶线方程，因此点在蔓叶线上.
（3）将直线方程与圆方程联立，
得，解得或（舍去）.
故，因此，
因此.
齐次化联立直线与蔓叶线方程，
得到整理得，
即，
根据方程联立的意义可知，所得的关于的一元三次方程的三个根即为，
结合韦达定理可知，.
又，
=1.