河北省邯郸市第一中学2025-2026学年上学期高二期末冲刺数学试卷（含答案）

邯郸市第一中学2025-2026学年上学期高二期末冲刺练习试卷
数 学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知正六棱台的上下底面边长分别为和，高为，则其体积为( )
A. B. C. D.
2.等比数列的公比为，前项和为，设甲：，乙：是递增数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如果直线与直线关于直线对称，那么( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱锥的六条棱长均为，是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知，函数若成等比数列，则平面上点的轨迹是( )
A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
10.已知抛物线，倾斜角为且过焦点的直线与抛物线交于两点在第一象限，与轴及准线分别交于，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.己知数列各项均为正数，其前项和满足，下列结论正确的是( )
A. 的第项小于 B. 为等比数列
C. 为递减数列 D. 中存在小于的项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的前项和为，，则
13.若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
14.已知矩形，，现将沿着对角线翻折，二面角的平面角为，若，则三棱锥体积的取值范围为 异面直线与所成角的余弦值的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，
记，写出，，并求数列的通项公式；
求的前项和．
16.本小题分
已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．
求的轨迹方程；
当时，求的方程及的面积．
17.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线的左右焦点分别为，点在上，且．
求的方程；
过双曲线上一定点做两条垂直的直线与分别与双曲线交于两点，求弦中点的轨迹方程．
19.本小题分
已知函数和有相同的最大值．
求；
证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，，，
所以，，
，
或者
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以．

16.解：由圆，即，
圆的圆心坐标为，半径．
设，则，．
由题意可得，即．
整理得．
的轨迹方程是．
由知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，由于，
故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而．
，直线的斜率为．
直线的方程为，即．
则到直线的距离为．
又到的距离为，．
．

17.解：在直三棱柱中，设点到平面的距离为，
则，解得，
所以点到平面的距离为；
取的中点，连接，如图，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由得，所以，，所以，
则，所以的中点，
则，，
设平面的一个法向量，则，可取，
设平面的一个法向量，则，可取，
则，所以二面角的正弦值为．

18.解：设，，
又，可得，故双曲线方程为
证明：由题直线斜率存在，设直线，
代入得，
，，弦中点为
代入化简得即
或，而当时直线过定点，不符合题意，
故直线斜率为定值，
，消参得
19.解：，
当，无最大值，故
在单调递增，在单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
因为和有相同的最大值，所以
设
当时，，，
当时，单调递减，
又，所以在内有唯一零点，
取，，则由知，
故是在内唯一零点，
又，故是函数在内唯一零点
同理可得是在内唯一零点，是在内唯一零点，
因此与和从左到右共有三个不同的交点
因为，所以这三个不同的交点的横坐标成等比数列．