2.1 三角形 同步练习（含答案解析）

2.1三角形
同步练习
一、单选题
1、下列说法正确的是（ ）
A、直角三角形只有一条高
B、三角形的外角大于任何一个内角
C、三角形的角平分线是射线
D、三角形的中线都平分它的面积
2、将下列长度的三条线段首尾顺次相接，能组成三角形的是（ ）。
A、1cm
，2
cm
，3
cm
B、2
cm
，3
cm
，5
cm
C、5cm
，6
cm
，10
cm
D、25cm
，12
cm
，11
cm
3、不一定在三角形内部的线段是（ ）
A、三角形的角平分线；
B、三角形的中线；
C、三角形的高；
D、三角形的中位线。
4、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ）
A、22
B、17
C、17或22
D、13
5、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（

）
A、15°或75°
B、15°
C、75°
D、150°和30°
6、等腰三角形的两边长分别为3、6，则该三角形的周长为（ ）
A、12或15
B、9
C、12
D、15
7、下列图形具有稳定性的是（　　）
A、正方形
B、矩形
C、平行四边形
D、直角三角形
8、根据下列条件，能作出平行四边形的是（　　）
A、两组对边的长分别是3和5
B、相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9

C、一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8
D、一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5
9、如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（ ）

A、
B、
C、
D、
10、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，则∠C为 （ ）．
A、25°
B、35°
C、40°
D、50°
11、如图所示，已知A（ ，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（　　）
A、（ ，0）
B、（1，0）
C、（ ，0）
D、（ ，0）
12、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（　　）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°
B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2
，
那么∠C=90°
D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
13、已知三角形的三边长分别为3、4、x，则x不可能是（　　）
A、2
B、4
C、5
D、8
14、如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（　　）

A、45°
B、54°
C、40°
D、50°
15、（2016 自贡）如图，⊙
O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（
）
A、15°
B、25°
C、30°
D、75°
二、填空题
16、若△ABC
≌
△EFG，且∠B＝60°,∠FGE－∠E＝56°,，则∠A＝________度．
17、在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4cm，BC=3cm，则以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的关系是________.
18、若等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2﹣12x+32=0的两根，则等腰三角形的周长为________ ．
19、如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于________．
三、综合题
20、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5，求BC长．
四、解答题
21、将长度为24的一根铝丝折成各边均为正整数的三角形，这个三角形的三边分别记为a、b、c
，
且a≤b≤c
，
请写出满足题意的a、b、c
．
22、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
23、如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

24、已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
答案解析部分
一、单选题
1、
【答案】
D
【考点】
三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质
【解析】
【分析】A．任何三角形都有三条高，错误；
B．三角形的一个外角一定大于与它不相邻的内角，错误；
C．角平分线是射线，而三角形的角平分线是线段，错误；
D．三角形的中线都平分它的面积，正确。
故选D．
2、
【答案】
C
【考点】
三角形三边关系
【解析】
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【解答】解：A、1+2=3，不能构成三角形；
B、2+3=5，不能构成三角形；
C、5+6＞10，能构成三角形；
D、11+12＜25，不能构成三角形．
故选C．
【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数就可以．
3、
【答案】
C
【考点】
三角形的角平分线、中线和高
【解析】
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答即可。
在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高在三角形的外部。
故选C.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握三角形的高、中线和角平分线，即可完成。
4、
【答案】
A
【考点】
三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】
【分析】根据腰为4或9分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9，4+4＜9，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，三边关系成立，周长为4+9+9=22．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据已知边那个为腰，分类讨论
5、
【答案】
A
【考点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形
【解析】
【分析】此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部。
当该高线在三角形内部时，那么该三角形的顶角度数为30°，其底角也就是为75°。
当高线在三角形外部时，其顶角度数为150°，那么其底角为15°.
【点评】此题有一定的难度。考生容易忽视两种情况，只考虑到一种情况。此类型题经常出现在各种试卷上，希望考生能通过此题达到举一反三的效果。
6、
【答案】
D
【考点】
三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】
【分析】根据三角形的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；本题已知等腰三角形的两边长分别为3、6，所以该等腰三角形的腰长为6，所以该三角形的周长为15.
【点评】本题考察三角形的性质，考生对三角形的性质要熟悉是解决本题的关键。
7、
【答案】
D
【考点】
三角形的稳定性
【解析】
【解答】解：直角三角形具有稳定性．
故选：D．
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
8、
【答案】
A
【考点】
三角形三边关系，平行四边形的性质，平行四边形的判定
【解析】
【解答】A，因为平行四边形的对边相等，故本选项正确；
B，因为3+5＜9，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
C，因为3+4=7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
D，因为3+2.5＜7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
故选A．
【分析】因为平行四边形的对角线把平行四边形分成三角形，根据平行四边形的对角线互相平分求出对角线一半的长，根据三角形的三边关系定理看能不能作出三角形，即可判断能不能作出平行四边形即可．
9、
【答案】
A
【考点】
三角形的面积，勾股定理，解直角三角形，一次函数的性质
【解答】
过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，
∵N在直线y=x+3上，
∴设N的坐标是（x，x+3），
则DN=x+3，OD=-x，
y=x+3，
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
即OA=4，OB=3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，
∴3×4=5OC，
OC=，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴，
∴ON=，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2
，
即（x+3）2+（-x）2=()2
，
解得：x1=-，x2=，
∵N在第二象限，
∴x只能是-，
x+3=，
即ND=，OD=，
tan∠AON==．
故选A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．
10、
【答案】
B
【考点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【解析】
【分析】先根据AB=AD，利用三角形内角和定理求出∠B和∠ADB的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠C的大小．
【解答】∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
由∠BAD=40°得∠B==70°=∠ADB，
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC，∠ADB=∠DAC+∠C
∴∠C=∠ADB=35°．
故选B．
11、
【答案】
D
【考点】
待定系数法求一次函数解析式，三角形三边关系，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
【解答】∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=得：y1=2，y2=，
∴A（，2），B（2，），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A、B的坐标代入得：，
解得：k=﹣1，b=，
∴直线AB的解析式是y=﹣x+，
当y=0时，x=，
即P（，0），
故选D．
．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
12、
【答案】
C
【考点】
三角形内角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理的逆定理
【解析】
【解答】A．∵∠C﹣∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°∴2∠C=180°
∴∠C=90°
故此选项正确；
B．∵∠C=90°
∴c是斜边
∴满足c2﹣b2=a2故此选项正确；
C．∵（a+b）（a﹣b）=c2∴a2﹣b2=c2∴a是斜边
故此选项错误；
D．∵∠A=30°∠B=60°
∴∠C=90°，AB为斜边，BC为30°角所对的边
∴AB=2BC
故此选项正确；
故选C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理及含30度角的直角三角形对各个选项进行分析，从而不难求解，此题主要考查：（1）含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a
，
b
，
c满足a2+b2=c2
，
那么这个三角形就是直角三角形．
13、
【答案】
D
【考点】
三角形三边关系
【解析】
【解答】解：∵3+4=7，4﹣3=1，
∴1＜x＜7．
故选D．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出x的取值范围，再根据取值范围选择．
14、
【答案】
C
【考点】
平行线的性质，三角形内角和定理
【解析】
【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD=40°．
故选：C．
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．
15、
【答案】
C
【考点】
三角形的外角性质，圆周角定理
【解析】
【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，
∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，
∴∠B=∠C=30°，
故选C．
【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
二、填空题
16、
【答案】
32
【考点】
三角形内角和定理，全等三角形的性质
【解析】
【解答】因为△ABC≌△EFG，且∠B＝60°,∠FGE－∠E＝56°,，所以∠F=∠B＝60°，∠FGE=∠C，∠E=∠A,所以根据三角形的内角和可得∠A＝
32
度；
【分析】首先根据全等三角形性质可得对应角对应相等，再根据三角形的内角和列方程解出∠A的度数．
17、
【答案】
相切
【考点】
三角形的面积，勾股定理，直线与圆的位置关系
【解析】
解答:相切，理由是：
过C作CD⊥AB于D，
∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4cm，BC=3cm，
∴由勾股定理得：AB=5cm，
∵由三角形的面积公式得：
AC×BC=
AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4cm，
∴以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的关系是相切，
故答案为：相切．
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，最后根据直线和圆的位置关系得出即可．
18、
【答案】
20
【考点】
解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣12x+32=0，
∴解方程得：x1=4，x2=8，
∵等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2﹣12x+32=0的两根，
∴若三角形的腰长为4则4+4=8，构不成三角形，故排除，
∴三角形的腰长为8，底边长为4，
∴三角形的周长=8+8+4=20，
故答案为：20．
【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系定理得到等腰三角形的三边只能是4，8，8，进一步求出周长即可．
19、
【答案】
126°
【考点】
三角形内角和定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】
【解答】展开如图：
∵∠COD＝360°÷10＝36°，∠ODC＝36°÷2＝18°，
∴∠OCD＝180°﹣36°﹣18°＝126°．
故选C．
【分析】按照如图所示的方法折叠，剪开，把相关字母标上，易得∠ODC和∠DOC的度数，利用三角形的内角和定理可得∠OCD的度数．解决本题的关键是能够理解所求的角是五角星的哪个角，解题时可以结合正五边形的性质解决．
三、综合题
20、
【答案】
（1） 解：（1）∵DE垂直平分AC，∠A＝36°∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2） 解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．
【考点】
三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【解析】
【分析】（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE＝EC；∠A＝∠C；已知∠A＝36，即可求得；（2）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，可得∠B＝72°又∠BEC＝∠A＋∠ECA＝72°，所以，得BC＝EC＝5．
四、解答题
21、
【答案】
解答：∵
a+b+c=24，且a+b＞c
，
a≤b≤c
，
∴
8≤c≤11，即c=8，9，10，11，
故可得（a
，
b
，
c）共12组：
当c=11时，有：2，11，11；
3，10，11；4，9，11；5，8，1；6，7，11．
当c=10时，有：4，10，10；5，9，10；6，8，10；7，7，10．
当c=9时，有：6，9，9；7，8，9．
当c=8时，有：8，8，8．
【考点】
三角形三边关系
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数；此题答案较多，容易写漏.
22、
【答案】
30°
解：∵
DE垂直平分AB，∴
∠DAE＝∠B，∵
在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，∴∠DAE＝（90°－∠B）＝∠B，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°．
【考点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质
【解析】
【分析】根据DE垂直平分AB，求证∠DAE＝∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．
23、
【答案】
①证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，
则∠BDC=75°．
【考点】
三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质
【解析】
【分析】①利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．
25、
【答案】
（1）证明：∵△=b2﹣4ac=（3k+1）2﹣4（2k2+2k）=9k2+6k+1﹣8k2﹣8k=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．
∴（k﹣1）2=0，解得：k=1．
此时原方程化为x2﹣4x+4=0，
∴x1=x2=2，即b=c=2．
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6，
代入方程：62﹣6（3k+1）+2k2+2k=0，
解得k=3或5，
则原方程化为x2﹣10x+24=0或x2﹣16x+60=0，
解得x1=4，x2=6或x1=6，x2=10，
即b=6，c=4，或b=6，c=10，
此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形，
周长为6+6+4=16或6+6+10=22．
【考点】
根的判别式，根与系数的关系，三角形三边关系
【解析】
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若△=b2﹣4ac≥0，则证明方程总有实数根；
（2）已知a=6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．