2.6.2 菱形的判定 学案（无答案）

2.6.2
菱形的判定
学案
一、学习目标
知识与技能：
理解并掌握“四边都相等的四边形是菱形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；
经历利用菱形的定义探究菱形其他判定方法的过程，培养学生的动手实验、观察、推理意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力；
在菱形的判定方法的探索、证明和综合应用中，培养学生的观察能力与逻辑思维能力和演绎能力．
过程与方法：
利用类比思想，从不同角度寻求菱形的判定方法，有效的解决问题并对菱形
判定过程进行反思，获得灵活判定菱形的经验。
情感态度与价值观：
在探究菱形的判定方法的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的判定和性
质，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
二、学习重难点
重点：
菱形的两个判定方法．
难点：
判定方法的探究、证明方法及综合运用。
三、学习过程
（一）知识回顾
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质：
边：对边平行，四边相等；
角：对角相等，邻角互补；
对角线：互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
菱形的面积：
S菱形
ABCD
=
BD·AC/2
=
2S等腰△ADC
=
4SRt△ADO
这一节课，我们一起来学习菱形的判定。
请同学们想一想，在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？利用类比思想，菱形的第一种判定方法是什么呢？有其他判定方法吗？
（二）探索新知
形成定理
探究一：

用4个全等的非特殊直角三角形纸片能拼成一个菱形吗，怎么拼？说出你这么拼的理由。

先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？说出你的理由。
猜想：有四条边相等的四边形是菱形。
判定定理1：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD是菱形.
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
判定定理1的应用
如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。
证明：连接AC、BD
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∵点E、F、G、H为各边中点
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形
探究二：
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形
由此得出，对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在中，AC⊥BD于点O；求证：是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD
∴BA=BC
∴是菱形
判定定理2的应用
已知：的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6；求证:四边形ABCD是菱形.
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形
∴
OA=OC=4
OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)
∵
AB=5
∴
∠AOB=90o
∴AC⊥BD
∵
四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形.
（三）应用迁移
巩固提高
1、判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；（
）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（
）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形；（
）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（
）
要求学生不正确的举反例说明。
2、下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（
）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分
B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD
D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行
四边形为
，其面积为
。
如图，在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD.则CE
CF，BE
DF。
5、已知：AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
求证：四边形AEDF是菱形．
证明：略
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作MN⊥BD，
分别交AD，BC于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形。
证明：略
（四）课堂小结
判定四边形是菱形共有哪几种方法？
（五）课后作业
P70
T2（练习）
已知：如图，在△ABC，∠ACB=90o，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别在AB、
AD
上，且AE=AC，EF∥BC。求证：四边形CDEF是菱形。
思考：如果一个四边形的每条对角线平分一组对角，那么这个四边形是菱形吗？如果是，
请说明理由。
四、基础练习
1．下列四边形中不一定为菱形的是（
）
A．对角线相等的平行四边形
B．每条对角线平分一组对角的四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形
D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（
）．
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
3．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）
图1
图2
4．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）
5．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．
6．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．
7．（一题多解题）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．
8．（科内交叉题）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系．
D
A
B
C
H
G
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
O
∴
A
B
C
D
E
F
A
C
B
D
E
F