2.7 正方形 学案（无答案）

2.7
正方形
学案
学习目标：
1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法．
2．经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
学习重难点：
重点：探索正方形的性质与判定．
难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法．
关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．
学习过程：
一、合作探究，导入新课
【活动方略】
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．
1．正方形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，那么它有几条对称
轴，都是哪些直线？
2．结合下图，谈谈正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系．
正方形是中心对称图形，它的中心是对称中心．正方形还是轴对称图形，它有四条对称轴：两条对角线和每组对边中点连线所在直线．
教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：
1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
3．正方形具有哪些性质呢？
学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片进行联想．
易知：1．正方形四条边都相等(小学已学过)；2．正方形四个角都是直角(小学学过)．
教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形：
学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：
正方形性质：
(1)边的性质：对边平行，四条边都相等．
(2)角的性质：四个角都是直角．
(3)对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．
二、实践应用，探究新知
演练题1．E为正方形ABCD中任意一点，若△ABE为等边三角形，则∠DCE=______度．
2．如图，将边长为8厘米的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC的边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，求线段CN的长．
当堂练习：
3．四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O．
(1)∠AOB=__________度，∠OAB=_______度．
(2)在图中有____个等腰直角三角形．它们之间有怎样的关系？
4．正方形的面积为10，则△AOD的面积为_______；若AC=2，则正方形ABCD的面积为_____________．
5．正方形具有而菱形不一定具有的性质是(
)
A．四条边相等
B．对角线垂直且互相平分
C．对角线平分一组对角
D．对角线相等
三、继续探究，学习新知
【问题牵引】
教师提问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们进行交流、证明．
实验活动：
只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．
学生活动：分四人小组进行合作讨论，归纳总结出判定正方形的方法如下：
判定方法：
1．是矩形，并且有一组邻边相等．
2．是菱形，并且有一个角是直角．
求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
思路点拨：这是一道文字题，首先应该根据题意画出几何图形，然后依据图形写出已知求证，最后证明，本题可利用正方形性质：对角线互相垂直平分且相等，证出问题．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，画出图形，讲清怎样写出已知、求证．
四、例题讲解
例1
如课本第73页图2-59，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.
求证：DE=DF.
例2
如课本第73页图2-60，已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
五、小结
1、正方形是中心对称图形，还是轴对称图形．
2、正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质．
3、判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可．
基础练习：
1.如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论
①GM⊥CM②CD=CM③四边形MFCG为等腰梯形．④∠CMD=∠AGM．其中正确结论的个数是(
)
A、①②③B、①②④C、①③④D、①②③④
2．(1)在正方形ABCD中，∠1=∠2．求证：
(2)在正方形ABCD中，∠1=∠2．AE⊥DF，求证：
3．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM＋CD．
(1)求证：点F是CD边的中点；
(2)求证：∠MBC＝2∠ABE．
4．已知在正方形ABCD中．
(1)如图1，如果M是BC上一点，AN平分DAM交CD于N，那么AM=BM+DN；
(2)如图2如果M在BC的延长线上，AN平分DAM交CD于N，那么线段AM、BM、DN的长度关系是_________________________．
(3)如图3如果M在BC的延长线上，AN平分DAM交CD于N，那么线段AM、BM、DN的长度关系是__________．(写出结论并证明)
5．如图，P为正方形ABCD边BC上的一点，BP的垂直平分线MN交AC于点N，M为垂足．
(1)求证：ND=NP；
(2)延长DN交AB于点E，求证：AE+CP=EP；
(3)若正方形ABCD的边长为2，P为BC的中点，请直接写出线段AN的长为
6、如图，正方形ABCD对角线BD、AC交于O，E是OC上一点，AG⊥DE交BD于F，
求证：EF∥DC．
7、如图，正方形ABCD对角线AC、BD交于O，DE平分∠ADB，CN⊥DE于N，
求证：OF=AG．
8、如右图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF．
(1)AE与BF相等吗？为什么？
(2)AE与BF是否垂直？说明你的理由．
9、如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F．
(1)说明OE=OF的道理；
(2)在(1)中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由．