2.2.1 平行四边形的性质同步练习（解析版）

2.2.1平行四边形的性质
同步练习
一、单选题
1、下列命题：①圆周角等于圆心角的一半；②x=2是方程x－1=1的解；③平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；④的算术平方根是4。其中真命题的个数有（
）
A、1　　
B、2
C、3　　
D、4
2、下列说法中，正确的是（　　）.
A、相等的角一定是对顶角
B、四个角都相等的四边形一定是正方形
C、平行四边形的对角线互相平分
D、矩形的对角线一定垂直
3、下列判断①平行四边形的对边平行且相等.②四条边都相等且四个角也都相等的四边形是正方形.③对角线互相垂直的四边形是菱形.④对角线相等的平行四边形是矩形.
其中错误的个数有(
)
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
4、根据下列条件，能作出平行四边形的是（　　）
A、两组对边的长分别是3和5
B、相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9

C、一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8
D、一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5
5、如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）

A、2：3：5
B、4：9：25
C、4：10：25
D、2：5：25
6、如图，已知 ABCD的对角线BD=4cm，将 ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（　）
A、4π
cm
B、3π
cm
C、2π
cm
D、π
cm
7、如图□ABCD,E是BC上一点,BE:EC=2:3,AE交BD于F,则BF:FD等于(



)
A、2:5
B、3:5
C、2:3
D、5:7
8、如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC为∠BAD的平分线，图中与∠AOE相等（不含∠AOE）的角有（ ）
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
9、如图，□ABCD的周长是28
cm，△ABC的周长是22
cm，则AC的长为（
）
A、6
cm
B、12
cm
C、4
cm
D、8
cm
10、已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC的平分线交AD于点E，则ED的长为(
)
A、4
B、3
C、
D、2
11、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点
O，若BD，AC的和为18
cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（
）
A、6
cm
B、9
cm
C、3
cm
D、12
cm
12、平行四边形的周长为50，设它的长为x
，
宽为y
，
则y与x的函数关系为（　　）
A、y=25-x
B、y=25+x
C、y=50-x
D、y=50+x
13、如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F，且CE=BC，则=（　　）

A、
B、
C、
D、
14、如图，在 ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　）

A、2cm
B、4cm
C、6cm
D、8cm
15、如图， ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则 ABCD的面积为（　　）

A、9
B、12
C、15
D、18
二、填空题
16、平行四边形ABCD中，AB=5cm，AC+BD=14cm，则△AOB的周长为 ________.
17、如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1：2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为　 ________
18、（2016 龙东）已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=
AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是________．
19、如图,平行四边形ABCD中,∠C=108°,BE平分∠ABC,则∠ABE等于________．
20、如图，在平行四边形ABCD中，AD=5cm，AP=8cm，AP平分∠DAB，交DC于点P，过点B作BE⊥AD于点E，BE交AP于点F，则tan∠BFP=________
.
三、计算题
21、如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD
，
CD∥AB
．
若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
四、解答题
22、如图，AD∥BC
，
AE∥CD
，
BD平分∠ABC
，
求证：AB=CE
．
．
23、如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE=OF．
24、在平行四边形ABCD中，E为边上一点，连结AE并延长交直线DC于F，且CE=CF.
（1）如图1，求证：AF是∠BAD的平分线；
（2）如图2，若∠ABC=90°，点G是线段EF上一点，连接DG、BD、CG，若∠BDG=45°，求证：CG=EF.
25、如图，矩形ABCD的边长是常量，点E在AD上以每秒3个单位的速度从D运动到A，当运动时间为1秒时，△ABE的面积为10；当运动时间为2秒时，△ABE的面积为4．
（1）设AD=a，AB=b，点E的运动时间为t秒，△ABE的面积为S，用含a，b，t的式子表示S；
（2）求a和b的值；
（3）求运动时间为0.5秒时，△ABE的面积．

答案解析部分
一、单选题
1、
【答案】
A
【考点】
算术平方根，一元一次方程的解，平行四边形的性质，圆周角定理，命题与定理
【解析】
【分析】利用圆周角定理，方程的解、算术平方根及平行四边形的性质进行判断即可得到真命题的个数．
【解答】【解答】同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故①是假命题；
将x=2代入方程左右两边相等，故②正确，是真命题；
平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故③错误，是假命题；
的算术平方根是2，故④错误，是假命题，
故真命题有1个．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，方程的解、算术平方根及平行四边形的性质，考查的知识点比较多，但比较简单．
2、
【答案】
C
【考点】
对顶角、邻补角，平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的判定
【解析】
【解答】相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故A选项错误；四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故B选项错误；平行四边形的对角线互相平分正确，故C选项正确；矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故D选项错误．
【分析】根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
3、
【答案】
A
【考点】
平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定
【解析】
【分析】分别根据平行四边形、菱形、矩形及正方形的特点及判定方法判断各个说法即可．
【解答】①平行四边形的对边平行且相等，故说法正确；
②四条边都相等且四个角也都相等的四边形是正方形，故说法正确
③根据菱形的判定，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故说法错误；
④对角线相等的平行四边形是矩形，故说法正确．
所以其中错误的是③，共一个．
故选A．
【点评】本题考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定，解题关键是熟练掌握这几个图形的特点及判定方法，难度一般．
4、
【答案】
A
【考点】
三角形三边关系，平行四边形的性质，平行四边形的判定
【解析】
【解答】A，因为平行四边形的对边相等，故本选项正确；
B，因为3+5＜9，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
C，因为3+4=7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
D，因为3+2.5＜7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
故选A．
【分析】因为平行四边形的对角线把平行四边形分成三角形，根据平行四边形的对角线互相平分求出对角线一半的长，根据三角形的三边关系定理看能不能作出三角形，即可判断能不能作出平行四边形即可．
5、
【答案】
B
【考点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】
【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD=AB．
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=2：3，
∴DE：DC=DE：AB=2：5，
∴S△DEF：S△ABF=4：25
同理可证：S△DEF：S△ADF=4：9
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF=4：9：25.
故选B.
6、
【答案】
C
【考点】
平行四边形的性质，弧长的计算
【解析】
【分析】将平行四边形旋转180°后，点D所转过的路径是以线段BD为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可．
【解答】将 ABCD绕其对称中心O旋转180°，点D所转过的路径为以BD为直径的半圆，
∴其长度为==2πcm．
故选：C．
【点评】本题考查了利用弧长公式求弧长，本题中所涉及的圆弧恰好是半圆，所以其长度可以是圆周长的一半。
7、
【答案】
C
【考点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BE，由平行得相似，即△BEF∽△DAF，再利用相似比解答本题．
【解答】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，
∴△BEF∽△DAF，
∴
即BF：FD等于2：3．
故选C．
【点评】本题通过平行四边形的性质求出△BEF∽△DAF的条件是解决本题的关键
8、
【答案】
D
【考点】
角平分线的定义，对顶角、邻补角，平行线的性质，平行四边形的性质，平行四边形的判定
【解析】
【分析】由AB∥CD∥EF，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，可得：∠AOE=∠OAB=∠ACD，又由AC平分∠BAD与BC∥AD，可得：∠DAC=∠ACB，又由对顶角相等，可得与∠AOE（∠AOE除外）相等的角有5个。
∵AB∥CD∥EF，
∴∠AOE=∠OAB=∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∵BC∥AD，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠AOE=∠FOC，
∴∠AOE=∠OAB=∠ACD=∠DAC=∠ACB=∠FOC．
∴与∠AOE（∠AOE除外）相等的角有5个．
故选D．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质，对顶角相等以及角平分线的性质，注意数形结合思想的应用，小心别漏解。
9、
【答案】
D
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
【分析】□ABCD的周长是28
cm，即AB+BC+CD+DA=28；AB=CD，BC=DA，AB+BC=14；△ABC的周长是22
cm，即AB+BC+AC=22，所以AC=8（cm）。
【点评】本题考查平行四边形的周长和三角形的周长，掌握平行四边形的性质是本题关键。
10、
【答案】
B
【考点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【解析】
【分析】由 ABCD，根据平行四边形的对边平行且相等，可得AD∥BC，AD=BC，AB=CD，又由BE是∠ABC的平分线，可得∠ABE=∠CBE，易得AE=AB，进而求出DE的长．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4，
∴DE=AD-AE=7-4=3，
故选B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
11、
【答案】
A
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，先求出AB的长，再根据所给比值，求出AD的长，进一步求解BC即可．
【解答】∵平行四边形ABCD
∴OA+OB=（BD+AC）=9cm
又∵△AOB的周长为13cm，
∴AB=CD=4cm，
又∵CD：DA=2：3，
∴BC=AD=6cm
故选A．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
12、
【答案】
A
【考点】
平行四边形的性质，根据实际问题列一次函数表达式
【解析】
【解答】∵平行四边形的周长为50，∴2x+2y=50，整理，得y=25-x选：A．
【分析】根据平行四边形的对边相等，周长表示为2x+2y
，
根据已知条件，建立等量关系，再变形
13、
【答案】
D
【考点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，CD∥AB，
∴△ADF∽△ECF△ECF∽△EAB，
∴△ADF∽△EBA，
∵CE=BC，
BE=CE+BC=CE+AD=3CE，
∴AD：BE=2：3，
∴=，
故选D．
【分析】利用平行四边形的性质可以得到相似三角形，然后利用相似三角形的面积的比等于相似比可以得到答案．
14、
【答案】
A
【考点】
等腰三角形的性质，平行四边形的性质
【解析】
【解答】解：根据平行四边形的性质得AD∥BC，
∴∠EDA=∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠ADE，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE=AB=6，
即BE=BC﹣EC=8﹣6=2．
故选：A．
【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解．
15、
【答案】
B
【考点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】
【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF=（）2
，
又∵E是AD中点，
∴DE=AD=BC，
∴DE：BC=DF：BF=1：2，
∴S△DEF：S△BCF=1：4，
∴S△BCF=4，
又∵DF：BF=1：2，
∴S△DCF=2，
∴S ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12．
故选B．
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求△BCF的面积，再利用△BCF与△DEF是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求△DCF的面积，进而可求 ABCD的面积．
二、填空题
16、
【答案】
12
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴它们的对角线互相平分，
即OA=OC，OB=OD，
∴△AOB的周长为
AB+OA+OB=AB+ （AC+BD）=12cm．
故答案为：12．
【分析】在平行四边形ABCD中，AB是△AOB的一边，△AOB的另两边的长的和是（AC+BD），所以△AOB的周长=AB+（AC+BD），由此就可以求出△AOB的周长．
17、
【答案】
8或10
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
【解答】解：如图所示：①当AE=1，DE=2时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=1，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=8；
②当AE=2，DE=1时，
同理得：AB=AE=2，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=10；
故答案为：8或10．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB=AE；分两种情况：①当AE=1，DE=2时；②当AE=2，DE=1时；即可求出平行四边形ABCD的周长．
18、
【答案】
或
【考点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】
【解答】解：∵AE=
AD，
∴分两种情况：
①当点E在线段AD上时，如图1所示
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴EF：FC=DE：BC，
∵AE=
AD，
∴DE=2AE=
AD=
BC，
∴DE：BC=2：3，
∴EF：FC=2：3；
②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：
同①得：△EFD∽△CFB，
∴EF：FC=DE：BC，
∵AE=
AD，
∴DE=4AE=
AD=
BC，
∴DE：BC=4：3，
∴EF：FC=4：3；
综上所述：EF：FC的值是
或
；
故答案为：
或
．
【分析】分两种情况：①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△EFD∽△CFB，求出DE：BC=2：3，即可求得EF：FC的值；
②当当点E在射线DA上时，同①得：△EFD∽△CFB，求出DE：BC=4：3，即可求得EF：FC的值．此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题难度不大，证明三角形相似是解决问题的关键；注意分情况讨论．
19、
【答案】
36°
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
【解答】∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABC=180°﹣∠C=180°﹣108°=72°，又BE平分∠ABC，
∴∠ABE=36°．
故答案是36°．
【分析】平行四边形的性质．
20、
【答案】
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
【解答】解：
过P作PG∥AD，交AB于G，连接DG交AP于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DPA=∠PAB，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∴∠DPA=∠DAP，
∴AD=DP，
∴四边形AGPD是菱形，
∴AH=HP=AP=4，AH⊥DG，
在Rt△AHD中，AD=5，由勾股定理得：DH=3，
∴tan∠BFP=tan∠AFE=
故答案为：．
【分析】过P作PG∥AD，交AB于G，连接DG交AP于H，求出AD=DP，得出菱形AGPD，推出DH=HG，AH=HP=4，由勾股定理求出DH，解直角三角形求出即可．
三、计算题
21、
【答案】
解：∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，
∴S梯形OBCD==；
∴图中阴影部分的面积=S梯形OBCD-S扇形OBD=-×π×12=-。
【考点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算
【解析】
【分析】此题主要考查扇形的面积计算方法及平行四边形的判定与性质，不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算，难度一般。
阴影部分的面积可由梯形OBCD和扇形OBD的面积差求得；扇形的半径和圆心角已求得，那么关键是求出梯形上底CD的长，可通过证四边形ABCD是平行四边形，得出CD=AB，由此可求出CD的长，即可得解。
四、解答题
22、
【答案】
证明：∵AD∥BC
，
∴∠DBC=∠ADB
．
又∵BD平分∠ABC
，
∴∠ABD=∠DBC
，
∴∠ABD=∠ADB
，
∴AB=AD
．
∵AD∥BC
，
AE∥CD
，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴AD=CE
，
∴AB=CE
．
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
【分析】先利用等角对等边证得AB=AD
，
再利用平行四边形的定义证得AD=CE
．
23、
【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可．
24、
【答案】
证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠AEB=∠EAD
∵CE=CF,∴∠CEF=∠CFE
∴∠AEB=∠CFE
∴∠BAF=∠DAF
∴AF是∠BAD的平分线
（2）连接BG，
∵在平行四边形ABCD中，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°，
∴△CEF为直角三角形，
∴∠CEF=45°
∴∠BAE=45°，
∴∠EAB=45°，
∵∠BDG=45°，
∴ABGD四点共圆
（同弦BG）
又四边形ABCD是矩形
∴ABCD四点共圆
即ABGCD五点共圆
∴∠ECG=45°，
∵△CEF为直角三角形，∠ECG=45°，
∴CG是RT△CEF斜边EF上的中线，
∴CG=EF.
【考点】
直角三角形斜边上的中线，平行四边形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质和等腰三角形的性质求证。
（2）利用圆的性质求出G是EF的中点可直接求得。
25、
【答案】
解：（1）∵点E在AD上以每秒3个单位的速度从D运动到A，AD=a，
∴DE=3t，AE=AD﹣DE=a﹣3t，
∴S△ABE=AE AB=（a﹣3t） b=ab﹣bt，
即S=ab﹣bt；
（2）∵当运动时间为1秒时，△ABE的面积为10，
∴ab﹣b=10，
∵当运动时间为2秒时，△ABE的面积为4，
∴ab﹣3b=4．
解方程组
，得，
即a的值为8，b的值为4；
（3）∵a=8，b=4，
∴S=×8×4﹣×4t，即S=16﹣6t，
运动时间为0.5秒时，将t=0.5代入S=16﹣6t，
得S=16﹣6×0.5=13．
即△ABE的面积为13．
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
【分析】（1）根据路程=速度×时间得出DE=3t，则AE=AD﹣DE=a﹣3t，再根据S△ABE=AE AB，代入数据即可求出S=ab﹣bt；
（2）将t=1，S=10；t=2，S=4分别代入（1）中所求解析式，得出关于a、b的方程组，求解即可求出a和b的值；
（3）由（2）可得S=16﹣6t，将t=0.5代入计算即可求解．