2.2.1 平行四边形的性质 学案（无答案）

2.2.1
平行四边形的性质
学案
学习目标
1、平行四边形对边、对角相等，平行四边形对角线互相平分的性质．
2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3、培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．
学习重难点
重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等，平行四边形对角线互相平分性质，以及性质的应用．
难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
学习过程
1、课堂引入
我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？
平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？
你能总结出平行四边形的定义吗？
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)表示：平行四边形用符号“□”来表示．
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．连接平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫做平行四边形的对角线．两条对角线的交点叫做平行四边形的中心．
①∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(判定)；
②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥DC，AD∥BC(性质)．
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．
2、探究
平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．
让学生根据平行四边形的定义画一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？
(1)由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．
(2)猜想：平行四边形的对边相等、对角相等．
下面证明这个结论的正确性．
已知：如图□ABCD，
求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．
证明：连接AC，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
又AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA(ASA)．
∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．
又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，
∴∠BAD＝∠BCD．
由此得到：
平行四边形性质1：平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2：平行四边形的对角相等．
例题
P41
例1
如图2-14，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，AD=2cm，∠A=65°，∠E
=33°，求EF和∠BGC.
P41
例2
如图2-15，直线l1与l2平行，AB，CD是l1与l2之间的任意两条平行线段.试问：AB与CD是否相等？为什么？
练习
如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF．
求证：AF=CE．
你能用文字叙述所得的结论吗？
归纳：平行四边形的对角线互相平分．
小组活动：动手量一量OA，OC，OB，OD看看结论是否正确．
几何画板动画演示验证：平行四边形的对角线互相平分．
例题
P43
例3如图2-18，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8.试求△COD的周长.
P43
例4如图2-19，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.
求证：点O是线段MN的中点.
知识应用：
如图，在平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：在平行四边形ABCD中，已知AB＝6，AO+BO+AB＝15，
∴AO+BO＝15-6＝9．
又∵AO＝OC，BO＝OD(平行四边形)，
∴AC+BD＝2AO+2BO＝2(AO+BO)＝2×9＝18．
【引申】若题中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么题中的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图中c，d位置)，题中的结论是否成立，说明你的理由．
3、小结
平行四边形性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分．
基础练习
1．平行四边形的两组对边分别_________．
2．夹在两平行线的平行线段_______，夹在两平行线间_______相等．
3．在ABCD中，若AB=3cm，AD=4cm，则它的周长为_______cm．
4．已知ABCD的周长为26，若AB=5，则BC=________．
5．在ABCD中，若AB：BC=2：3，周长为30cm，则AB=_____cm，BC=______cm．
6．在ABCD中，若∠A=30°，AB边上的高为8，则BC=（
）
A．8
B．8
C．8
D．16
7．在ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若CD=10，AD=16，则EC为（
）
A．10
B．16
C．6
D．13
8．如图1所示，在
ABCD中，若∠A=45°，AD=，则AB与CD之间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．3
图1
图2
图3
9．如图2所示，在
ABCD中，已知AC=3cm，若△ABC的周长为8cm，则平行四边形的周长为（
）
A．5cm
B．10cm
C．16cm
D．11cm
10．如图3所示，已知在
ABCD中，AB=6，BC=4，若∠B=45°，则
ABCD的面积为（
）
A．8
B．12
C．16
D．24
11．如图所示，已知点E，F在
ABCD的对角线BD上，且BE=DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）AE∥CF．
12．如图所示，分别过△ABC的顶点A，B，C作对边BC，AC，AB的平行线，交点分别为E，F，D．（1）请找出图中所有的平行四边形；（2）求证：BC=DE．
13．如图所示，在
ABCD中，∠ABC=60°，且AB=BC，∠MAN=60°．请探索BM、DN与AB的数量关系，并证明你的结论．