第一讲 截长补短 （含解析） 2026年中考数学几何综合压轴题突破

第一讲 截长补短
解题要点剖析
截长补短，顾名思义就是把较长的线段截成两条线段或者延长较短的线段成为一条新的线段.如图1-1所示，线段AB 较短，线段CD较长.我们可以在线段CD上截取CE=AB，也可以延长线段AB到点F，使得AF=CD.我们可以看到，线段CD上的一点E，线段AB延长线上的一点 F，其实描述的都是三条线段的数量关系，即AB+DE=CD，或者AB+BF=CD.
另外，在初中几何综合题中会经常出现一类问题，就是求三条线段的数量关系.而这一类问题大多可以借助上述截长补短的方法来完成.具体地说，我们不妨设线段a，b，c中线段a最长，通常可以在线段a 上截取一条线段使之长度等于线段b，此时线段a 上还剩下一条线段，接下来只需要考虑这段剩下的线段和线段c之间的数量关系即可.我们也可以延长线段b，使延长的部分等于线段c，接下来只需要考虑延长之后的长线段与线段a的关系.
当然，在探索三条线段之间的数量关系时，既可能出现线段与线段之间的相等关系，又可能出现倍数关系，比如 倍.此时，就需要构造或者寻找图形当中的等腰直角三角形.其他的倍数关系也是同样的道理.
经典考题解析
例1 在△ABC中,∠BAC=90°.
(1)如图1-2(1)所示，直线l是BC 的垂直平分线，请在图1中画出点A 关于直线l的对称点A',连接A'C,A'B,A'C与AB 交于点E;
(2)将图1-2(1)中的直线A'B沿着EC 方向平移,与直线EC 交于点D,与直线BC交于点F，过点 F 作直线AB 的垂线，垂足为点 H.
①如图1-2(2)所示,当点D 在线段EC 上时,请猜想线段FH,DF,AC 之间的数量关系，并证明；
②当点D 在线段EC的延长线上时，直接写出线段FH，DF，AC 之间的数量关系.
思路分析 除去画图问题不讲，我们只看第(2)问①和②中的问题，都是判断三条线段之间的数量关系。遇到这种问题，我们要尝试的方法就是截长补短。其中，由于线段AC是最长的线段，我们不妨从它入手进行截长。结合∠BAC=90°和FH⊥AB这样的条件，可以考虑过点 F作AC的垂线段 FG，从而构造出矩形 AHFG，也就相当于截取出AG=FH。接下来要考虑的问题就是最长线段AC被截取线段 FH之后剩下的线段CG与第三条线段 FD的关系。
线段CG与线段FD是什么关系？如何来证明呢？问题转化为常见的两条线段之间的关系。
事实上，在构图过程中，我们可以知道EB=EC且DF始终与线段CE保持垂直关系，因此可以证明△DFC与△GCF全等，进而证明DF=GC，问题得解。
对于点 D在EC延长线上的情况，首先要做的是按照题目要求准确画出图象。此时我们会发现，FH，FD和CA三条线段中，FH是最长线段。因此，结论一定发生变化，但是方法可以借鉴。如图3所示，矩形依然存在，只需要证明△DCF与△GCF全等即可。
规范解答
解：(1)正确画出图形，如图1-3(1)所示。
(2)①DF+FH=CA.
证明：过点F作FG⊥CA于点G.如图1-3(2)所示.
∵FH⊥BA于点H，∠A=90°，FG⊥CA，
∴四边形 HFGA为矩形.
∴FH=AG，FG∥AB.
∴∠GFC=∠EBC.
由(1)和平移，可知
∠ECB=∠EBC=∠GFC，
∠FDC=∠A=90°.
∴∠FDC=∠FGC=90°.
∵CF=FC,
∴△FGC≌△CDF.
∴CG=FD.
∴ DF+FH=GC+AG.即DF+FH=AC.
②过点C作HF 的垂线,垂足为点G.如图1-3(3)所示,FH-DF=CA.
题后反思 由此可见，适合截长补短的题型相对来说比较典型.但是需要注意的是，怎么截长 在靠近哪个端点附近截长 补短也是同样的道理.因此，方法虽然简单，但是具体问题中要依据条件和图形的结构，在充分分析之后才可能获取正确方法.
另外，一般来讲，对于这样的问题，截长可行，补短也可行.但是，或许其中的某一种方法更为简单，因此，充分分析，合理选择.
例2 在△ABC中,AB=AC,点 P 是三角形右外侧一点,且∠APB=∠ABC.
(1)如图1-4(1)所示,若∠BAC=60°,点 P 恰巧在∠ABC的平分线上,PA=2,求 PB的长；
(2)如图1-4(2)所示,若∠BAC=60°,探究 PA,PB,PC的数量关系,并证明;
(3)如图1-4(3)所示,若∠BAC=120°,请直接写出 PA,PB,PC 的数量关系.
思路分析 第(1)问的条件比较充分，我们可以知道△ABP 为直角三角形，利用 的条件就可以求出 PB 的长.
对于第(2)问，注意到题目要解决的问题是三条线段之间的数量关系.此时，我们就要考虑能否利用截长补短的方法.其中，线段PB 是最长线段，怎样把它截长呢 是靠近点P还是靠近点B 经过思考还拿不准的问题，动手尝试是必须要做的事情.
如果截取PD=PA,因为∠APB=∠ABC=60°,所以可以证明△APD 为等边三角形.当图形中出现了两个有所重叠的等边三角形时，全等就会出现.接下来就只需要证明△APC与△ADB全等.第(2)问中,我们实际上构造了 PD=PA以及BD=PC.对于第(3)问，PD=PA以及BD=PC 显然不能同时成立.这说明结论必定发生变化.
反思第(2)问,可以了解到,全等的理由是CA=CB,∠PAC=∠BAD以及AD=AP.对于第(3)问，我们是否仍然可以借鉴呢 从这个角度出发，可以在BP 上截取BD=PC，进而分析 PD 与 PA 的数量关系.
规范解答 解:(1)∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC 是等边三角形.
∵∠APB=∠ABC,
∴∠APB=60°.
又∵点 P 恰巧在∠ABC 的平分线上，
∴∠ABP=30°.
∴∠PAB=90°.
∴BP=2AP.
∵AP=2,
∴BP=4.
(2)结论:PA+PC=PB.
证明:如图1-5所示,在BP 上截取PD,使PD=PA,连接AD.
∵∠APB=60°,
∴△ADP 是等边三角形.
∴∠DAP=60°.
∴∠1=∠2,PA=DA.
又∵AB=AC,
∴△ABD≌△ACP.
∴PC=DB.
∴ PA+PC=PD+BD=PB.
(3)结论:
题后反思 需要注意的问题是，第(3)问中三条线段的关系中出现了 倍的关系.一旦出现这种情况，题目难度就会上升.但也不必恐慌，因为解决问题的基本策略不会变化，依然是截长补短.要做的事情有两点：第一，勇于尝试，如果行不通，及时回到原点从头来过.第二，要把常见的情形进行了解，如果有等腰直角三角形，那么有可能存在 倍关系，如果出现含120°的等腰三角形，那么就可能出现 倍关系.
例3 在△ABC中,∠ABC=45°,AB≠BC,BE⊥AC,垂足为点E,AD⊥BC,垂足为点D.
(1)如图1-6(1)所示,作∠ADB 的角平分线DF 交 BE 于点 F,连接AF.求证:∠FAB=∠FBA;
(2)如图1-6(2)所示,连接DE,点G 与点D 关于直线AC 对称,连接DG,EG.
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段AE，BE，DG之间的数量关系，并加以证明.
思路分析 当∠ABC=45°和AD⊥BC 两个条件同时出现时，△ADB 就是等腰直角三角形.再加上DF 平分∠ADB,可以证明△ADF 与△BDF 全等,进而可以证明∠FAB=∠FBA.
对于第(2)问，当我们把图作出来之后，在判断三条线段的数量关系时，还要想到截长补短的方法.其中，BE 是最长的线段，我们应该把BE 截成两段，一段与AE 有关系，另一段与DG有关系.再结合AD=BD·的条件，当我们把AD 和AE 放在一起，即放到△ADE 中考虑的时候，就会有思路.这个思路就是可以构造一个与前者全等的三角形，且一边为BD，另一边在BE 上，它当然还要和BH 相等.沿着这个思路，我们可以作辅助线并寻求进一步的证明.
规范解答 证明:(1)∵ AD⊥BC,∠ABC=45°,
∴∠BAD=45°.
∴AD=BD.
∵DF平分∠ADB,
∴∠ADF=∠BDF.
在△ADF 和△BDF 中,
∴△ADF≌△BDF.
∴AF=BF.
∴∠FAB=∠FBA.
(2)① 补全图形如图1-7所示.
②数量关系:GD+AE=BE.
过点 D 作DH⊥DE 交BE 于点 H,
∴∠ADE+∠ADH=90°.
∵AD⊥BC,
∴∠BDH+∠ADH=90°.
∴∠ADE=∠BDH.
∵AD⊥BC,BE⊥AC,∠AKE=∠BKD,
∴∠DAE=∠DBH.
在△ADE 和△BDH 中,
∴△ADE≌△BDH.
∴DE=DH,AE=BH.
∵DH⊥DE,
∴∠DEH=∠DHE=45°.
∵BE⊥AC,
∵点G与点D 关于直线AC 对称，
∴AC 垂直平分GD.
∴GD∥BE,∠GEC=∠DEC=45°.
∴∠GED=∠EDH=90°.
∴GE∥DH.
∴ 四边形GEHD 是平行四边形.
∴GD=EH.
∴GD+AE=EH+BH=BE.
题后反思 相对来说，这道题的难度比较高.原因在于图形相对比较复杂，且截长补短的切入点不太好找，即使找到了辅助线，后续的证明依然不明朗.但是，我们也没有必要畏难.第一，截长补短的思路很肯定，只要不断尝试，一定可行.第二，完成辅助线后，必然还要有后续证明，有的题目相对容易，有的题目依然很难，但不要退缩.全等三角形的出镜率极高，要想到特殊三角形或者特殊四边形.如果存在，要积极利用其边角性质.做到以上两点，答案就会浮出水面.
例4 如图1-8所示,在正方形ABCD中,点 E 是边AB 上的一个动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A 关于直线DE的对称点为点F，连接EF 并延长交BC 于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE 交DG 的延长线于点 H,连接BH.
(1)求证:GF=GC;
(2)用等式表示线段 BH 与AE 的数量关系，并证明.
思路分析 我们借助对称和正方形的性质可以很容易解决第(1)问.对于第(2)问，不管我们是目测还是用刻度尺测量，都可以清楚地知道线段BH和AE 不相等.既然不相等，那么一定存在其他的数量关系，是什么呢 我们依然可以通过刻度尺进行测量和猜测.另外，可能有点难度的问题是，即使猜测到这种特殊的数量关系，又如何证明呢 如何把距离较远的两条线段联系到一起呢
相对来说，先通过测量得到猜想是重要的.两条线段不相等，又不是“倍半”关系，那么通常就是 倍或者 倍，我们可以借助刻度尺来完成这个猜想，进而判断 接下来是证明的问题.分为两个层次：第一， 意味着需要构造等腰直角三角形；第二，出现等腰直角三角形后，借助全等实现线段的迁移.有了这样的想法，我们就能想到如何添加辅助线了，即在AD 上截取AM=AE，既构造出等腰直角三角形，同时又构造出两个全等的三角形，即△DME 和△EBH，最后要解决的问题就是寻找全等的条件.
规范解答 解：(1)证明：连接DF，如图1-9所示.
∵ 四边形ABCD 为正方形,
∴ DA=DC=AB,∠A=∠C=∠ADC=90°.
∵点A 与点F 关于DE 对称,
∴△ADE≌△FDE.
∴ DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°.
∵DG=DG,
∴△DFG≌△DCG.
∴GF=GC.
证明：
如图1-9所示,在AD上截取AM=AE,连接ME.
∵∠A=90°,
∵AD=AB,
∴DM=EB.
由(1),可得∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠2+∠3=45°.
∵EH⊥ED,
∴ED=EH.
∵∠1+∠AED=∠BEH+∠AED=90°,
∴∠1=∠BEH.
∴△DME≌△EBH.
题后反思 相对于其他问题，这个例题的截长补短的特点并不突出.因为其他更典型的问题一般是三条线段之间通过截长补短确定数量关系，而这个例题则是要寻找两条线段的关系.但是，解决问题的思路有相同之处，第一步是截取相等线段，第二步是证明全等，最后一步是解决问题.
全真模拟训练
1.如图,在⊙O中,BC=2,AB=AC,点D为 上的动点，且
(1) 求AB 的长度;
(2)求AD·AE 的值;
(3)过点A 作AH⊥BD,垂足为点 H.求证:BH=CD+DH.
2.如图所示，在等边三角形ABC 中，CD为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q顺时针旋转，使得点A 的对应点点E 落在射线BC上，连接BQ，设 且
(1)当( 时，
①在图中依题意画出图形，并求 的度数(用含α的式子表示)；
②探究线段CE，AC，CQ 之间的数量关系，并加以证明；
(2)当 时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.
3.如图所示，在菱形ABCD中， ，点E 为AB 边上一动点(与点A，B不重合)，连接CE，将 的两边所在射线CE，CA 以点C 为中心，顺时针旋转 分别交射线AD于点F，G.
(1)依题意补全图形；
(2)若 求 的大小(用含α的式子表示)；
(3)用等式表示线段AE，AF 与CG之间的数量关系，并证明.
4.在△ABC中, 垂足为点 D.
(1)如图(1)所示,当 时，若CE 平分 ,交AB 于点 E,交BD 于点 F.
①求证：△BEF 是等腰三角形；
②求证：
(2)点E 在AB边上,连接CE.若 在图(2)中补全图形，判断 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解. 与 关系的思路.
5.已知△ABC,AB=AC,∠BAC=α,在BA 的延长线上任取一点D,过点D作BC 的平行线交CA 的延长线于点E.
(1)当 时，如图(1)所示，依题意补全图形，直接写出EC，BC，ED 之间的数量关系；
(2)当 时，如图(2)所示，判断EC，BC，ED 之间的数量关系，并加以证明；
(3)当∠BAC=α时 请写出EC，BC，ED 之间的数量关系并写出解题思路.
1. (1) 如图所示,过点 A 作AM⊥BC.
在 中，BM=1,
(2)连接DC.
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC.
∵四边形ABCD 内接于⊙O,
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠ACE+∠ACB=180°,
∴∠ADC=∠ACE.
∵∠CAE=∠CAE,
∴△EAC∽△CAD.
(3)在BD上取一点N,使得BN=CD,连接AN.
在△ABN和△ACD中
∴△ABN≌△ACD.
∴AN=AD.
又∵AH⊥BD,
∴NH=HD.
又∵BN=CD,
∴CD+HD=BN+NH=BH.
2.(1)当 时，
①画出的图形如图(1)所示.
∵△ABC 为等边三角形,
∴∠ABC=60°.
∵CD为等边三角形的中线，
Q为线段CD上的点，
∴ 由等边三角形的对称性得QA=QB.
∵∠DAQ=α,
∴∠ABQ=∠DAQ=α,∠QBE=60°-α.
∵线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，
∴QE=QA.
∴QB=QE.
可得∠BQE=180°-2∠QBE=180°-2(60°-α)=60°+2α.
如图(2)所示,延长CA 到点F,使得AF=CE,连接QF,作 垂足为点 H.
∵∠BQE=60°+2α,点E 在BC 上,
∴∠QEC=∠BQE+∠QBE=(60°+2α)+(60°-α)=120°+α.
∵点F在CA 的延长线上,∠DAQ=α,
∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α.
∴∠QAF=∠QEC.
又∵AF=CE,QA=QE,
∴△QAF≌△QEC.
∴QF=QC.
∵QH⊥AC,垂足为点 H,
∴FH=CH,CF=2CH.
∵在等边三角形ABC中，CD 为中线，点Q在CD上,
即△QCF 是底角为30°的等腰三角形.
(2) 如图(3)所示,当30°<α<60°时,AC-CE=
3.(1)补全的图形如图(1)所示.
(2)由题意,得∠ECF=∠ACG=120°.
∴∠FCG=∠ACE=α.
∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB=60°,
∴∠DAC=∠BAC=30°.
∴∠AGC=30°.
证明:如图(2)所示,过点 C 作CH⊥AG 垂足为点H.
由(2)可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.
∴CA=CG.
∵∠ACE=∠GCF,∠CAE=∠CGF,
∴△ACE≌△GCF.
∴AE=FG.
在Rt△HCG中,
即
4. 证明:(1)①在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC,∠ABC=90°,
∴∠ABD=∠CBD,AD=BD.
∵∠ABC=90°,
∴∠ACB=45°.
∵CE 平分∠ACB,
∴∠ECB=∠ACE=22.5°.
∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°.
∴BE=BF.
∴△BEF 是等腰三角形.
②延长AB 至点M,使得BM=AB,连接CM,如图(1)所示.
∠BFE=∠MCE.
∴BC=BM.
由①,得∠BEF=∠BFE,BE=BF.
∴∠BFE=∠MCE=∠BEF.
∴ EM=MC.
补全图形如图(2)所示.
a. 与(1)②同理,可证
b.由 可知,△MEC 和 分别是等腰三角形；
c.由
可知
5.(1)补全图形如图(1)所示.数量关系：EC=BC+ED.
(2)数量关系：
过点D 作DF∥AC,交BC 延长线于点F,如图(2)所示.
∵DF∥AC,ED∥BC,
∴ 四边形ECFD 为平行四边形.
∴ED=CF,EC=DF.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵ED∥BC,
∴∠DEC=∠ECB,∠EDB=∠DBC.
∴∠CED=∠BDE.
∴AE=AD.
∴EC=BD.
∴BD=DF.
∴∠BDF=∠BAC=90°.
∴△BDF 为等腰直角三角形.
在Rt△BDF 中,
(3)数量关系：
①由(2)可知四边形 ECFD 为平行四边形， 为等腰三角形.
如图(3)所示,过点 D 作DN⊥BC,垂足为点 N,
可得
②在 Rt△BDN 中,
可得