2025-2026学年人教版九年级数学上学期期末复习测试卷（含详解）

2025-2026学年九年级数学上学期期末复习测试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．瓮中捉鳖 B．任意画一个三角形，其内角和为
C．经过交通信号灯的路口，遇到红灯 D．小明投篮一次，命中
3．已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．在△ABC中，，以为圆心，为半径作，则下列说法正确的是（ ）
A．点在上 B．点在外
C．直线与相切 D．直线与只有一个交点
5．一个不透明的口袋中有红球和黑球共20个，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在．估计其中黑球有（ ）
A．14个 B．3个 C．6个 D．12个
6．设、是方程的两个根，则的值为（ ）
A．- B． C． D．
7．已知点，，在抛物线上．当，， 时，，，三者之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则（　　）
A． B． C． D．
9．二次函数的图象与轴交于，两点，若，且，记，则（ ）
A．有最小值，没有最大值 B．有最小值，没有最大值
C．有最小值，有最大值4 D．有最小值，有最大值4
10．如图， 是的直径，点C在上，点I为△ABC的内心，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到抛物线是 ．
12．某一工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，则平均每月产值下降的百分率为 ．
13．如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 ．
14．已知矩形，在矩形内任取一点，连接，如果矩形内每一点被取到的可能性都相同，则是锐角三角形的概率为 （结果保留）．
15．如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 (填写正确结论的序号)
16．如图，在中，，，D为边（端点除外）上的动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，，则周长的最小值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。
17．（6分）已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根．
18．（6分）如图，在中，，将△ABC绕点逆时针旋转得到△ADE，延长交 于点．
(1)则___________；
(2)若，求的长．
19．（8分）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
20．（8分）如图是由小正方形组成的网络，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点为格点，经过点，点、为与横格线的交点，仅用无刻度的直尺在绘定网格中完成画图任务．
(1)如图1，先将点绕点旋转得到点，再将线段绕点旋转得到线段；
(2)如图2，在上画点（点异于点），；并过点作的切线．
21．（10分）如图，为圆O的直径，C为圆上一点，E为弦的中点，过C作圆O的切线交延长线于点P，交圆O于点D．连接．
(1)证明：为圆O的切线；
(2)过点D作，交于H，交于F，，求圆O的半径．
22．（10分）小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段．
(1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为．
①直接写出c，n的值；
②小明的前方有一堵高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？
(2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过，直接写出c的最大值为 ．
23．（12分）在△ABC和中，，，，连，，分别为，的中点，为中点，连，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，探究线段，间的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)当，，绕点旋转过程中，若，，三点在同一条直线上，请画出旋转后的对应图形，并直接写出，两点的距离．
24．（12分）如图，二次函数与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点．
(1)直接写出点的坐标；
(2)如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标；
(3)如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A 、绕着圆心旋转不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；
B、绕着圆心旋转能与原图形完全重合，是中心对称图形；
C、绕着圆心旋转不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；
D、绕着圆心旋转不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；
故选：B．
2．A
【详解】解：A． 瓮中捉鳖是必然事件；
B． 任意画一个三角形，内角和应为，其内角和为是不可能事件；
C． 经过交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；
D． 小明投篮一次，命中是随机事件；
故选：A．
3．A
【详解】解：∵，
∴，
则
∴，
故选：A
4．C
解：由题意可得：，
故点在外，故选项A错误；
，故点在上，故选项B错误；
，故直线与相切，故选项C正确；
直线与有两个交点，故选项D错误．
故选C．
5．C
解：经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，估计摸到黑球的概率为，估计其中黑球的个数为个．
故选C．
6．A
解：由条件可知，，
，
则，
故选：A．
7．C
解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，且离对称轴距离越远，值越大，
∵，，，
∴，
故选：C．
8．D
解：连接，
，
，
半径，互相垂直，
，
，
，
故选：D．
9．A
解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴、是方程的两个根，
∴，，又，
∴，，
∴ ，
∵，，
∴当时，t取最小值，最小值为，t没有最大值，
故选：A．
10．D
解：如图：延长交于点，连接，
，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵点I为的内心，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题
11．
解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到抛物线是，即，
故答案为：．
12．
解：设平均每月产值下降的百分率为x，则到五月份的产值为，
依题意：，
解得：，（舍去）．
故答案为：．
13．
解：连接，由题意得，
是边长为2的等边三角形，
∴
，
扇形的弧长为，
圆锥的底面圆的半径是．
故答案为：．
14．
解：矩形的面积为，
∵当是直角三角形时，则点在以为直径的半圆上，
∴当是锐角三角形时，点在以为直径的半圆外，
∵是直径，则半径为，
∴半圆的面积为
∴是锐角三角形的概率为
故答案为：．
15．①③④
解：对称轴为直线，
，
，
，故①正确；
时，，
，
，
，
，故②错误；
，，
，
，
直线与轴的交点为，
直线过，两点，
观察图象，若，则，故③正确；
由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
抛物线开口向下，
．故④正确；
故答案为：①③④．
16．
解：如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，，
∵将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴点、、、四点共圆，
∴，
∴，
∵点和点关于直线对称，
∴，，
∴的周长，
当点、、三点共线时，周长有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
17．解：将代入中，得
解得．
将代入 中，得
，
解得 ，．
故，方程的另一个根为 ．
18．（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：90．
（2）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴在中，．
19．（1）解：画树状图如下：

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种，
∴甲获胜的概率为；
（2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：
由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种，
∴乙获胜的概率为，
∵，
∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，
∴这个游戏规则对甲乙双方不公平．
20．（1）解：线段如图所示：
（2）解：点，过点作的切线，如图所示：
21．（1）证明：∵，
∴，
∵E为弦的中点，
∴，
∵垂直平分，点P在的延长线上，
∴，
∴，
∵与相切于点C，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴为的切线．
（2）解：∵E为弦的中点，
∴于点E，
∵于点H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，解得：．
∴⊙O的半径长为．
22．（1）解：①∵纸飞机进入滑行阶段时的高度为，
∴抛物线和直线都过点，
把代入得3.4=- ×82+8+c ，解得；
把代入得3.4=- ×8+n ，解得；
②∵纸飞机进入滑行阶段时的高度为，
∴在滑行阶段飞过围栏，
当时，解得，
∴小明最多距离围栏米时，纸飞机可以顺利飞过围栏；
（2）解：令，解得，
∴直线与轴交点为，
∴纸飞机落地点与起抛点的水平距离为，
∵纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过，
∴，解得，
当时，抛物线y=- x2+x+c=-×82+8+c=1.6+c 和直线，
∴1.6+c=-4+n，整理得n=5.6+c
∴，
解得，
∴c的最大值为，
故答案为：．
23．（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，；理由如下：
∵F，G，H分别是，，的中点，
∴是中位线，是中位线，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：分以下两种情况：
当A，E，D位于点C的上方，
由（1）可知，，
∴，
由（2）可知为的中位线，
∴，，
∴，
∵，为中点，
∴，，
∴，，
∴，C，H，G三点共线，
∴，
∴，
∴；
当A，E，D位点C的下方，同理可得，，
∴．
综上所述，的长为2或1．
24．（1）解：二次函数与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点，
令，得或，令，得，
；
（2）解：当时，，即顶点的坐标为，
点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点 ，
，
，
由抛物线的对称性可得，，
，
，
又，
，
，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，将、两点坐标代入得：
，
解得：，
直线，
联立：，
解得：，
当时，，
点的坐标为；
点在轴下方时，
同理可求得，
联立：，
解得：，
当时，，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：设，
设直线的解析式为，
联立：，
得，
由根与系数关系可知，，
直线，
同理可得，直线，直线，
，
即，
直线经过定点，
，
整理得，
将代入中，得，
整理得，
直线解析式为，
当时，，
直线必过定点．