2025-2026学年北师大版上学期八年级期末数学检测卷（含详解）

2025-2026学年上学期八年级期末数学检测卷
一、单选题(每题3分.共计30分)
1.下列说法正确的是（ ）
A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数
C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应
2．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．全体实数
3．数据5，8，4，5，3的众数和平均数分别是（　　）
A．8，5 B．5，4 C．5，5 D．4，5
4．下列说法正确的是（　　）
A．点在x轴上
B．点在第二象限
C．若，则点在第一或第三象限
D．点到x轴的距离是2
5．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，， B．5，， C．1，2， D．4，5，6
6．如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（ ）
A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定
7．如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
8．若是二元一次方程组的解，则的值是（　　）
A．18 B．20 C．22 D．25
9．在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如下：他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是（　　）
x … 0 1 2 …
y … 0 3 …
A． B． C． D．
10．如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在 ABC中，，以 ABC的边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分的面积为，则阴影部分面积为（ ）
A． B．12 C．15 D．17
二、填空题(每题3分.共计18分)
11．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．这个反例中的x可以为 ．
12．若点和点关于y轴对称，则的值为 ．
13．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
14．已知，则的立方根为 ．
15．某校选拔名学生参加济南市第一届运动会，测量心率的统计结果如下表所示：
心率/（次/分）
人数/名
则这组数据的下四分位数为 ．
16．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
三、解答题(每题9分,共计72分)
17．计算题：
(1)； (2)．
18．某超市开展促销活动：购买不超过斤水果，每斤8元；超过斤的部分，每斤打八折．设购买x斤（）水果需付款y元．
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)小李付款元，求他购买了多少斤水果？
19．某社区开展了一次爱心捐款活动，为了解捐款情况，该社区随机调查了部分群众的捐款金额，并将收集的数据整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的群众共有 人，扇形统计图中 ；
(2)补全条形统计图，并写出本次抽取的群众捐款金额的众数是________元，平均数是________元，中位数是________元；
(3)若该社区有2000名群众，根据以上信息，试估计本次活动捐款总金额．
20．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
(2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
21．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，．
(1)直接写出点B、点C的坐标．
(2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题：
①当t为多少时，直线轴？
②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值．
③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由．
22．如图，点，，都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．利用格点和直尺画图并填空：
(1)画出 ABC关于直线轴对称的；
(2)直线上是否存在一点，使的值最小，若存在，请求出的最小值．
23．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问）
24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x，y轴于点A，C，取y轴上一点，作直线．
(1)求直线的函数表达式：
(2)P为直线上一动点，连接．
①当 时，求点P的坐标；
②当时，求线段的长
参考答案
单选题
1.B
【详解】解：，9的算术平方根是3，不是9，A错误；
有理数和无理数统称为实数，B正确；
立方根等于本身的数有，0，1，C错误；
数轴上的点与实数一一对应，D错误；
故选：B．
2．B
【详解】解：由题意，得且，即，
解得；
故选B．
3．C
解：∵ 数据5, 8, 4, 5, 3中，5出现了2次，次数最多，
∴ 众数为5；
∵ 数据之和为，数据个数为5，
∴ 平均数为；
故选：C．
4．C
解：∵点的y坐标不为0，∴点P不在x轴上，A错误；
∵点的纵坐标为0，∴点Q在x轴上，不在任何象限，B错误；
∵，∴a和b同号，点在第一或第三象限，C正确；
∵点到x轴的距离为，∴D错误．
故选：C．
5．B
解：∵勾股数需为正整数且满足，
对于A：，，不是正整数，
∴不是勾股数．
对于B：5，，均为正整数，
且，，
∴，∴是勾股数．
对于C：1，2，，但不是正整数，
∴不是勾股数．
对于D：4，5，6均为正整数，
但，
∴不是勾股数．
故选：B．
6．C
解：设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是，
则甲、乙两只蚂蚁爬行的路程分别为：，，
观察图形可知，
∴，
∵两只蚂蚁爬行的速度相同，
∴同时到达．
故选：C．
7．D
解：∵长方形，
∴，，
∴，
由题意得，，
∴点E表示的实数是．
故选：D．
8．D
∵是方程组的解，
∴
解得，
∴．
故选：D．
9．C
解：当或或0时，函数的值分别为或或，
即自变量增加1，则函数值增加2，
所以当，函数的值应该等于，
所以点明显不对，
故选：C．
10．D
解：四边形是正方形，
，，
∵，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
在 ABC中，，
，
，
，
，
，
∵空白部分的面积为，
∴，
，
，
，
，
阴影部分面积为
，
故选：D．
二、填空题
11．2（答案不唯一，即可）
解：当，则 ，条件成立；
故 为反例．
故答案为2（答案不唯一，即可）．
12．
解：∵点和点关于y轴对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．且
解：要使 在实数范围内有意义，需满足 ，即 ；
要使 在实数范围内有意义，需满足底数，即，
综上，实数的取值范围为且，
故答案为：且．
14．2
解：∵，
∴，即，
∴得，，
∴，
∵，
∴的立方根为2．
故答案为：．
15．
解：心率数据按从小到大排列为：，共个数据，下四分位数的位置为，即第个和第个数据的平均值，
∵第个数据为，第个数据为，
∴下四分位数为，
故答案为：．
16．
解：如图，将长方体展开，连接，
∵长方体的底面边长分别为和，高为，，
∴，，
根据两点之间线段最短，，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（1）解：
；
（2）解：当时，代入函数关系式：
答：小李购买了斤水果．
19．（1）解：本次被调查的群众人数为：（人），
捐款10元所占的百分比为：，
∴，
故答案为：50，32；
（2）解：捐款15元的人数为：（人），
补全条形统计图如答图所示：
捐款10元的人数最多，故众数为：10，
平均数：（元），
由于总人数为50人，，
故中位数为：15元，
故答案为：10；16；15；
（3）解：（元），
答：估计本次活动捐款总金额为32000元．
20．（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件，
根据题意得：，
解得
答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件．
（2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得：
，
随m的增大而增大，
，
当时，W有最大值，
此时件
答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元．
21．（1）解：∵四边形是长方形，
∴，
∵点A的坐标是，，
∴，
∴，
故点；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴，
①∵直线轴，
∴
∴，
∴，
∴当t值为秒时，直线轴；
②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度，
∴，
由①知，则，解得，
③∵，，
∴，
由运动知，，，
∴，，
∴，
∵四边形的面积是长方形的面积的，
∴，解得，
∴，
∴，．
22．（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，连接，与得交点，即为点．
直线是的垂直平分线，
，
，
根据“两点之间，线段最短”，当为与的交点时，，
此时取得最小值，即的长度，
通过网格可知，到的水平距离为5个单位长度，垂直距离为4个单位长度，由勾股定理得：，
故的最小值为．
23．（1）解：海港受台风影响，理由如下：
如图，过点作于点，
，，，，
ABC是直角三角形，，
由三角形面积相等可得：，
即，
，
以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域，
海港受台风影响．
（2）解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则，
根据勾股定理，，
，，
，
，
台风中心移动的速度为，
，
台风影响海港持续的时间为．
答：．
24．（1）解：令，得，解得，
∴，
设直线：，
代入点，得，
解得
∴；
（2）解：①令，得，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴在线段上，存在点P，使得，
分两种情况讨论：
如图，过点P作轴，交y轴于点M，设，则，，
第一种：当点P在线段上，对应点记为，，
由图可知，，即，
∴，
∴，
，
∴；
第二种：当点P在的延长线上，对应点记为，，
由图可知，，即，
∴，
∴，
，
∴；
综上，点P的坐标为或；
②如图，连接，交x轴于点N，
由（2）可知，，
又，
又，即，
∴，
∴，
分两种情况：
第一种：当点P在线段上，对应点记为，，
∵，
由图，得，
设直线的表达式为，
代入，得，
解得，
∴，
令，
解得，
，
∴，
∴，
第二种：当点P在延长线上，对应点记为，，
∵，
由图，得，
设直线的表达式为，
代入，得，
解得，
∴，
令，
解得，
，
∴，
∴，
综上，的长为或．