2025-2026人教版九年级数学期末专项训练专题04 二次函数易错点详解（易错点归纳 易错题型解析 巩固提高）
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| 名称 | 2025-2026人教版九年级数学期末专项训练专题04 二次函数易错点详解（易错点归纳 易错题型解析 巩固提高） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 10.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-07 07:19:14 | ||
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文档简介
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2025-2026人教版九年级数学期末专题训练
专题04 二次函数易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）
二次函数是初中数学的核心，也是中考的必考点和易错点。为了帮助你精准避坑，我梳理了七大高频易错题型，并配有典型例题和避坑指南，希望能助你巩固掌握。
下表汇总了这些易错题型的核心陷阱和关键提醒，方便你快速把握重点。
易错题型 核心陷阱 / 易错点 关键提醒与解法
定义理解错误 忽略二次项系数 的隐含条件。 看到“二次函数”几个字，第一反应是检查 (a ≠ 0)。
图像与系数关系判断错误 无法从函数图象中正确判断 (a, b, c) 的符号或 (Δ) 的符号。 掌握口诀：“开口方向定(a)号；对称轴定(b)号（左同右异）；与(y)轴交点定(c)号；与(x)轴交点个数定(Δ)号”。
解析式求解时忽略隐含条件 使用待定系数法或已知特定点求解析式时，解出参数后未代回检验是否满足所有条件，特别是 (a ≠ 0) 或 (Δ ≥ 0) 等。 解出参数后，一定要代回原式校验，确保所有隐含条件成立。
代数推理与函数性质结合错误 利用对称轴、增减性等性质求参数范围或比较大小时，推理不严谨，忽略等号或前提条件 利用对称轴求最值时，务必考虑自变量的取值范围；使用韦达定理前，必须确认 (Δ ≥ 0)。
实际应用问题建模错误 在利润、面积等实际问题中，列出函数关系式后，求最值时忽略自变量的实际取值范围。 解出答案后，一定要代入原题情境检验，舍去不符合实际意义的解。
参数范围讨论不完整 已知根的情况或函数图象满足的条件，求参数取值范围时，分类讨论不全面或遗漏特殊情况。 仔细审题，明确所有可能情况，特别是二次项系数为0的临界情况。
数形结合应用错误 不能将二次函数、方程、不等式三者间的联系通过图象很好地理解，导致解题错误。 理解二次函数 (y = ax^2+bx+c)、(x) 轴交点横坐标即一元二次方程 (ax2+bx+c=0) 的根；不等式 (ax2+bx+c>0) 的解集即函数图象在 (x) 轴上方的 (x) 的取值范围。
忽视二次项系数a ≠ 0
已知关于x的二次函数，求函数的解析式．
典型错解：
解：由未知数最高次数为2，得：
∴
∴
．
或
=-4x+5
错因分析
忽略了二次项系数k+10条件，及k-1
正确解法
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，求函数的解析式．
根据二次函数的定义求出的值，进而求函数的解析式即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，，
∴，，
即，
∴
．
针对练习1
1．已知y关于x的二次函数为，求a的值．
2．已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式．
3．若是关于x的二次函数．
(1)求m的值及函数表达式．
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
4．若函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
2.图象与系数关系判断错误
例2．如图，二次函数的图象与轴交于点，，其中，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④；⑤关于的一元二次方程（）的根为，．其中正确的是 ．
典型错解
解：抛物线开口向下，故 b0 ∴ab0 ∴①正确
由图象知，抛物线过，代入函数 得
，
解得
故结论②正确
抛物线过，与x轴的另一个交点的横坐标小于3，故对称轴在直线的左侧，
∵抛物线开口向下，
∴当 时，随 的增大而减小成立，故结论③正确．
二次函数与 轴有两个不同的交点，则有两个不等实根，即，故结论④正确．
对于一元二次方程 ，已知一个根为 ，设另一根为 ，由根与系数的关系：
∴
故结论⑤正确．
综上，正确的结论是 ①②③④⑤．
错因分析：
没有系统地分析图象信息
正确解法：
【答案】②③④⑤
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图象可判断开口向下，，，与轴有两个不同的交点，过，且与x轴的另一个交点的横坐标小于3，据此结合二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：抛物线开口向下，故，
对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误；
由图象知，抛物线过，代入函数 ，得：
，
解得
故结论②正确；
抛物线过，与x轴的另一个交点的横坐标小于3，故对称轴在直线的左侧
∵抛物线开口向下，
∴当 时，随 的增大而减小成立，故结论③正确．
二次函数与 轴有两个不同的交点，则有两个不等实根，即，故结论④正确．
对于一元二次方程 ，已知一个根为 ，设另一根为 ，由根与系数的关系：
∴
故结论⑤正确．
综上，正确的结论是 ②③④⑤．
针对练习2
1．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个
①；②；③；④若方程两根为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有 ．
4．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是 ．
5．如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号）
3.二次函数的实际应用错误
例3．某商场销售一种文具，进货价为5元/件．当售价为6元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨元，每天的销售量就减少5件．设销售单价为元/件，每天销售利润为元．
(1)求与的函数解析式；
(2)若每件文具的利润不超过，则每件文具的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
典型错解：
（1）解：由题意得，
与的函数解析式为：．
（2）解：由（1）得，
对称轴为直线，
所以x=10.5时利润最大，最大利润为302.5（元）
错因分析：
忽略自变量的实际意义 每件文具利润不超过，
，得，
文具的销售单价为，
当时，取得最大值，此时
正确解法：
【答案】(1)
(2)每件文具售价为8元时，最大利润为240元
【分析】（1）根据题意写出函数解析式即可；
（2）每件文具利润不超过，得出，求出，由（1）得出，根据对称轴为，得出在对称轴的左侧，且随着的增大而增大，求出当时，取得最大值，此时．
【详解】（1）解：由题意得，
与的函数解析式为：．
（2）解：每件文具利润不超过，
，得，
文具的销售单价为，
由（1）得，
对称轴为直线，
在对称轴的左侧，且随着的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，
即每件文具售价为8元时，最大利润为240元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，准确计算．
针对练习3
1．某商场销售某种商品的进价为70元/件，当售价为150元/件时，每周可以售出200件，每件售价每上涨5元，则每周会少售出10件，若设每周销售利润为w元，每件商品的售价为x元/件：
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商场响应“学习雷锋精神”的号召，决定每售出一件该款商品捐款30元，若该款商品的售价不超过180元/价，请问商场捐款之后能否保证每周销售利润随售价增加而增加？并说明理由．
2．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长．
(1)菜园的面积可以为吗？为什么？
(2)这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
3．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．
(1)与之间的函数关系式；
(2)求自变量的取值范围；
(3)四边形的面积能否等于．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
4．湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度．
游船参数
长米，宽米，
满员后游船露出水面高度为米
(1)求抛物线的解析式；
(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？
5．某种商品进价为每件60元，售价为每件80元时，每个月可卖出100件；如果每件商品售价每上涨5元，则每个月少卖10件设每件商品的售价为x元（x为正整数，且x＞80）．
（1）若希望每月的利润达到2400元，又让利给消费者，求x的值；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
4.方程、不等式与函数图象联系错误
例4：利用图象判断方程 x2 - 2x - 2 = 0 是否有解，若有解，写出近似解
典型错解：
试图直接计算判别式或求根公式，而没有利用图象。
错因分析：
没有理解题目要求“利用图象”的意图，未能将方程的解转化为函数图象与(x)轴交点的横坐标。
正确解法：
设 y = x2 - 2x - 2，画出该二次函数图象的草图，找到图象与(x)轴交点的横坐标，其近似值即为方程的近似解x1≈-0.73和x2≈2.73
针对练习4
1．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下：
x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 …
y … 0.04 0.59 1.16 …
则一元二次方程的一个根的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的自变量与函数值对应值如下表，那么方程的一个近似根的取值范围是（）
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
A． B． C． D．
3．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 ．
5．如图，抛物线与x轴交点间的距离为 ．
6．抛物线与轴交于A，B两点（在左侧），与轴交于点．过B，C两点的直线．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
(2)抛物线的顶点坐标为__________；
(3)当时，函数值的取值范围是__________；
(4)当时，自变量的取值范围是__________．
7．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题：
(1)当时，直接写出的取值范围为_____；
(2)方程有实数根，的取值范围是_____；
(3)当时，直接写出的取值范围是_____．
5解析式求解时忽略隐含条件
例5．一条抛物线形状与形状相同，顶点为，则抛物线解析式为
典型错解
解：所求抛物线形状与形状相同，
设所求抛物线的解析式为，其中a=-2
顶点为，
当时，所求抛物线的解析式为；
错因分析
对所求抛物线形状与形状相同理解错误
形状相同指二次项系数的绝对值相同
正确解法
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的变换规律是解题的关键．
根据两抛物线形状相同，可得的值，再由顶点坐标即可求出抛物线的解析式．
【详解】解：所求抛物线形状与形状相同，
设所求抛物线的解析式为，其中．
顶点为，
当时，所求抛物线的解析式为；
当时，所求抛物线的解析式为．
故答案为：或．
针对练习5
1．若某抛物线与抛物线的开口大小、对称轴都相同，且该抛物线经过点，则该抛物线的解析式为 ．
2．已知抛物线，为实数．
(1)若抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标；
(2)当时，有最大值为，求的值．
3．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”．
(1)直线上的“好点”坐标为 ；
(2)若“好点二次函数”的图象与轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式；
(3)若“好点二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最小值为3，求的值．
4．已知抛物线，点，．
(1)求该抛物线的对称轴与顶点坐标；（用含c的式子表示）
(2)若抛物线与线段只有一个公共点，求c的取值范围．
5．已知：二次函数．
(1)当时，求这个二次函数的解析式及其对称轴；
(2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求的值．
6.代数推理与函数性质结合错误
例6．已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若，求的取值范围．
典型错解：
（2）问出现错误
由（1）得解析式为y=x2+2x-3
∴抛物线开口向上，
∵，
当时，，
当时，，
∴的取值范围为0y
错因分析：
自变量有取值范围限制时，考虑顶点横坐标是否在取值范围内，不在取值范围内时两个端点的函数值最大或最小，在取值范围内时，顶点的函数值最大或最小。
正确解法：
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，求二次函数在给这个范围内的函数值的范围．
（1）通过代入点坐标列方程组求解即可；
（2）利用二次函数开口方向及顶点公式确定极值，结合端点值求解取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和，
∴
解得：，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
∵，顶点横坐标在区间内，
∴最小值为，
当时，，
当时，，
∴的取值范围为．
针对练习6
1．对于函数，下列说法正确的是（ ）
①图象关于y轴对称；
②有最小值；
③当方程有两个不相等的实数根时，；
④直线与的图象有三个交点时，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
2．已知二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当，y随x的增大而减小 B．图象与x轴只有一个交点
C．图象经过点 D．当时，y有最大值
2．在二次函数中，若它的图象与轴只有一个交点，求的值．
3．已知抛物线经过点．
(1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．
4．已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当___________时，随的增大而增大；
(3)抛物线与轴的交点坐标为___________．
7.参数范围讨论不完整
例7．对于函数，下列说法正确的是（ ）
①图象关于y轴对称；
②有最小值；
③当方程有两个不相等的实数根时，；
④直线与的图象有三个交点时，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①x②③④
典型错解：
解：①∵，
∴的图象关于y轴对称，故①正确；
②∵当时，，最小值为，
当时，，最小值为，
∴函数有最小值，故②正确；
③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，∴成立
当，，
当，，
图象如下：
当时，与图象有三个交点，
当与有一个交点时，与有两个交点时，
，
整理得，
，
解得，
有三个交点，
故④正确，
所以正确的是①②③④ 选择D
错因分析：
没有结合图象分析，③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，
由图象知，当时，方程有也是两个不相等的根，但，
∴不成立，故③错误；
正确解法：
【答案】C
【分析】本题考查含绝对值的二次函数的性质，包括对称性、最值、方程根与函数图象交点的关系．通过分段讨论去掉绝对值，结合图象，转化为二次函数问题求解．
【详解】解：①∵，
∴的图象关于y轴对称，故①正确；
②∵当时，，最小值为，
当时，，最小值为，
∴函数有最小值，故②正确；
③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，
由图象知，当时，方程有两个不相等的根，但，
∴不成立，故③错误；
④当，，
当，，
图象如下：
当时，与图象有三个交点，
当与有一个交点时，与有两个交点时，
，
整理得，
，
解得，
有三个交点，
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：C．
针对练习7
1．已知二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当，y随x的增大而减小 B．图象与x轴只有一个交点
C．图象经过点 D．当时，y有最大值
2．在二次函数中，若它的图象与轴只有一个交点，求的值．
3．已知抛物线经过点．
(1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．
4．已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当___________时，随的增大而增大；
(3)抛物线与轴的交点坐标为___________．
1．已知函数是二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，下列命题中；①；②；③对于任意实数，都有；④，是抛物线上的两个点，若，且，则真命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
3．已知：是关于的二次函数，则 ．
4．已知a，k为常数，若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为
5．某商场销售一种商品，每件进价为5元，调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为x元（），每天销量为y件．
(1)当销售单价为11元时，平均每天可以销售_______件商品；
(2)商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为多少元？
(3)销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？
6．如图，在四边形中，，截取．已知，，．
(1)求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围．
(2)当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？
(3)（求最值，用配方法）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？
7．已知抛物线，点为抛物线顶点．
(1)若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式；
(2)当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标；
(3)在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值．
8．已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点．
(1)求这个二次函数表达式；
(2)写出y的值随x值的大而减小的自变量x的取值范围
(3)若点在该函数图象上，求点A的坐标．
2025-2026人教版九年级数学期末专题训练
专题04 二次函数易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）
二次函数是初中数学的核心，也是中考的必考点和易错点。为了帮助你精准避坑，我梳理了七大高频易错题型，并配有典型例题和避坑指南，希望能助你巩固掌握。
下表汇总了这些易错题型的核心陷阱和关键提醒，方便你快速把握重点。
易错题型 核心陷阱 / 易错点 关键提醒与解法
定义理解错误 忽略二次项系数 的隐含条件。 看到“二次函数”几个字，第一反应是检查 (a ≠ 0)。
图像与系数关系判断错误 无法从函数图象中正确判断 (a, b, c) 的符号或 (Δ) 的符号。 掌握口诀：“开口方向定(a)号；对称轴定(b)号（左同右异）；与(y)轴交点定(c)号；与(x)轴交点个数定(Δ)号”。
解析式求解时忽略隐含条件 使用待定系数法或已知特定点求解析式时，解出参数后未代回检验是否满足所有条件，特别是 (a ≠ 0) 或 (Δ ≥ 0) 等。 解出参数后，一定要代回原式校验，确保所有隐含条件成立。
代数推理与函数性质结合错误 利用对称轴、增减性等性质求参数范围或比较大小时，推理不严谨，忽略等号或前提条件 利用对称轴求最值时，务必考虑自变量的取值范围；使用韦达定理前，必须确认 (Δ ≥ 0)。
实际应用问题建模错误 在利润、面积等实际问题中，列出函数关系式后，求最值时忽略自变量的实际取值范围。 解出答案后，一定要代入原题情境检验，舍去不符合实际意义的解。
参数范围讨论不完整 已知根的情况或函数图象满足的条件，求参数取值范围时，分类讨论不全面或遗漏特殊情况。 仔细审题，明确所有可能情况，特别是二次项系数为0的临界情况。
数形结合应用错误 不能将二次函数、方程、不等式三者间的联系通过图象很好地理解，导致解题错误。 理解二次函数 (y = ax^2+bx+c)、(x) 轴交点横坐标即一元二次方程 (ax2+bx+c=0) 的根；不等式 (ax2+bx+c>0) 的解集即函数图象在 (x) 轴上方的 (x) 的取值范围。
忽视二次项系数a ≠ 0
已知关于x的二次函数，求函数的解析式．
典型错解：
解：由未知数最高次数为2，得：
∴
∴
．
或
=-4x+5
错因分析
忽略了二次项系数k+10条件，及k-1
正确解法
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，求函数的解析式．
根据二次函数的定义求出的值，进而求函数的解析式即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，，
∴，，
即，
∴
．
针对练习1
1．已知y关于x的二次函数为，求a的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义列出对应的方程，使得自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0，联立两个方程解得a的值．
【详解】解：由题意知，要使为二次函数，
∴，解得，
∴
∴a的值为．
2．已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式．
【答案】，
【分析】本题考查根据二次函数的定义求出参数的值，根据二次函数的定义得到，且，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，，
解方程，可得，
解不等式，可得，
综上所述，可知，
∴．
3．若是关于x的二次函数．
(1)求m的值及函数表达式．
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】(1)，函数的表达式是
(2)二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0
【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键．
（1）根据二次函数的定义列式求解即可；
（2）根据二次函数一般式判定即可．
【详解】（1）解：根据二次函数的定义得，
由①得，，由②得，
∴，函数的表达式是．
（2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0．
4．若函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）根据二次函数的定义列式求解即可；
（2）把代入函数解析式即可．
【详解】（1）解：依题意有，
解得：，
∴k的值为；
（2）解：把代入函数解析式中得：，
当时，．
∴y的值为．
2.图象与系数关系判断错误
例2．如图，二次函数的图象与轴交于点，，其中，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④；⑤关于的一元二次方程（）的根为，．其中正确的是 ．
典型错解
解：抛物线开口向下，故 b0 ∴ab0 ∴①正确
由图象知，抛物线过，代入函数 得
，
解得
故结论②正确
抛物线过，与x轴的另一个交点的横坐标小于3，故对称轴在直线的左侧，
∵抛物线开口向下，
∴当 时，随 的增大而减小成立，故结论③正确．
二次函数与 轴有两个不同的交点，则有两个不等实根，即，故结论④正确．
对于一元二次方程 ，已知一个根为 ，设另一根为 ，由根与系数的关系：
∴
故结论⑤正确．
综上，正确的结论是 ①②③④⑤．
错因分析：
没有系统地分析图象信息
正确解法：
【答案】②③④⑤
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图象可判断开口向下，，，与轴有两个不同的交点，过，且与x轴的另一个交点的横坐标小于3，据此结合二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：抛物线开口向下，故，
对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误；
由图象知，抛物线过，代入函数 ，得：
，
解得
故结论②正确；
抛物线过，与x轴的另一个交点的横坐标小于3，故对称轴在直线的左侧
∵抛物线开口向下，
∴当 时，随 的增大而减小成立，故结论③正确．
二次函数与 轴有两个不同的交点，则有两个不等实根，即，故结论④正确．
对于一元二次方程 ，已知一个根为 ，设另一根为 ，由根与系数的关系：
∴
故结论⑤正确．
综上，正确的结论是 ②③④⑤．
针对练习2
1．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质.
根据开口方向，对称轴和抛物线与轴的交点判断①②，特殊点判断③，最值判断④，进而作答．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
∴，
∴，，故①②错误；
∵抛物线过点，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，为，
∴当时，，
∴；故④正确.
即正确的结论有③、④共2个.
故选：C.
2．如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个
①；②；③；④若方程两根为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴的交点，即可判断④正确．
【详解】解：由图可知，
∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，，
则，
∵抛物线与轴的交点在，之间，
∴，
则，故①错误；
设抛物线与轴另一个交点，
∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，解得，
则，故②错误；
∵，，，
∴，解得，故③正确；
根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为满足，故④正确；
故选：B．
3．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有 ．
【答案】②④
【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由图象可知：，
，
，
，故此选项错误；
②由对称知，当时，函数值大于0，即，故此选项正确；
③当时，；当时，，
，即，
，故此选项错误；
④当时，y的值最大．此时，，
而当时，，
∴，
故，即，故此选项正确．故②④正确．
故答案为：②④．
4．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点为，
∴当时，，
∴，故①错误；
②∵函数开口方向向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在和之间，对称轴为直线，
∴顶点纵坐标要小于，
∴，且，
∴，故②正确；
③∵图象与y轴的交点在和之间，
∴，
∵图象与x轴交于点和，
∴的两根为和3，
由根与系数关系可知：，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵对称轴为直线，
∴，
∵，，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有②③④．
故选：②③④．
5．如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号）
【答案】②③/③②
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴以及与轴的交点位置，判断①，对称性和特殊点判断②，最值判断③即可．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴在轴右侧，与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线的对称轴为，抛物线经过点，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴；
∵抛物线的开口向下，对称轴为，
∴当时，函数取得最大值为，
当时，，
∴，
∴；故③正确；
故答案为：②③．
3.二次函数的实际应用错误
例3．某商场销售一种文具，进货价为5元/件．当售价为6元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨元，每天的销售量就减少5件．设销售单价为元/件，每天销售利润为元．
(1)求与的函数解析式；
(2)若每件文具的利润不超过，则每件文具的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
典型错解：
（1）解：由题意得，
与的函数解析式为：．
（2）解：由（1）得，
对称轴为直线，
所以x=10.5时利润最大，最大利润为302.5（元）
错因分析：
忽略自变量的实际意义 每件文具利润不超过，
，得，
文具的销售单价为，
当时，取得最大值，此时
正确解法：
【答案】(1)
(2)每件文具售价为8元时，最大利润为240元
【分析】（1）根据题意写出函数解析式即可；
（2）每件文具利润不超过，得出，求出，由（1）得出，根据对称轴为，得出在对称轴的左侧，且随着的增大而增大，求出当时，取得最大值，此时．
【详解】（1）解：由题意得，
与的函数解析式为：．
（2）解：每件文具利润不超过，
，得，
文具的销售单价为，
由（1）得，
对称轴为直线，
在对称轴的左侧，且随着的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，
即每件文具售价为8元时，最大利润为240元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，准确计算．
针对练习3
1．某商场销售某种商品的进价为70元/件，当售价为150元/件时，每周可以售出200件，每件售价每上涨5元，则每周会少售出10件，若设每周销售利润为w元，每件商品的售价为x元/件：
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商场响应“学习雷锋精神”的号召，决定每售出一件该款商品捐款30元，若该款商品的售价不超过180元/价，请问商场捐款之后能否保证每周销售利润随售价增加而增加？并说明理由．
【答案】(1)
(2)不能保证，理由见解析
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出w与x之间的函数关系式；
（2）根据题意列出利润和售价的函数关系式，然后利用二次函数的性质和售价的取值范围即可判断．
【详解】（1）解：由题意可得：，
（2）解：不能保证每周销售利润随售价增加而增加，理由如下：
，
，
，即抛物线开口问下，对称轴，
，
∴当时，w随x增大而减小，
∴不能保证每周销售利润随售价增加而增加，
答：不能保证每周销售利润随售价增加而增加．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确题意，列出函数关系式是解题的关键．
2．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长．
(1)菜园的面积可以为吗？为什么？
(2)这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)菜园的面积不可以为，理由见解析
(2)矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积为
【分析】（）设平行于墙的矩形边长为，则矩形的宽为，列出方程即可求解；
（）设菜园面积为，得出关于的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解．
此题考查了一元二次方程与二次函数的应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程与二次函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设平行于墙的矩形边长为，
则，
整理得，
解得，，不合题意，舍去，
∴菜园的面积不可以为；
（2）设菜园的面积为，平行于墙的矩形边长为，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当时，有最大值，为．
此时，
答：矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积为．
3．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．
(1)与之间的函数关系式；
(2)求自变量的取值范围；
(3)四边形的面积能否等于．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，见解析
【分析】此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键．
（1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可；
（2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可；
（3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可．
【详解】（1）解：∵运动的时间为x，点P的速度为，点Q的速度为，
，．
．
（2）解：，，
．
（3）解：不能，理由如下：
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
．
不在自变量x的取值范围内．
∴四边形的面积不能等于．
4．湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度．
游船参数
长米，宽米，
满员后游船露出水面高度为米
(1)求抛物线的解析式；
(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题考二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键．
（1）求得抛物线顶点为，用待定系数法可得答案；
（2）在中，令解出的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：为4米，在距点水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，
抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：在中，令得：
，
解得（舍去）或，
处距桥墩的距离至少为米．
5．某种商品进价为每件60元，售价为每件80元时，每个月可卖出100件；如果每件商品售价每上涨5元，则每个月少卖10件设每件商品的售价为x元（x为正整数，且x＞80）．
（1）若希望每月的利润达到2400元，又让利给消费者，求x的值；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
【答案】（1）x的值为90；（2）每件商品的售价定为95元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．
【分析】（1）直接利用每件利润×销量＝2400，进而得出一元二次方程解出答案即可；
（2）利用每件利润×销量＝利润，先用x表示出每件的利润和销量，进而得出利润关于x的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）由题意可得：（x﹣60）[100﹣2（x﹣80）]＝2400，
整理得：x2﹣190x+9000＝0，
解得：x1＝90，x2＝100（不合题意舍去），
答：x的值为90；
（2）设利润为w元，根据题意可得：
w＝（x﹣60）[100﹣2（x﹣80）]
＝﹣2x2+380x﹣15600
＝﹣2（x﹣95）2+2450，
故每件商品的售价定为95元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，这是二次函数应用问题中的常见题型，解决问题的关键是根据题意中的数量关系求出函数解析式.
4.方程、不等式与函数图象联系错误
例4：利用图象判断方程 x2 - 2x - 2 = 0 是否有解，若有解，写出近似解
典型错解：
试图直接计算判别式或求根公式，而没有利用图象。
错因分析：
没有理解题目要求“利用图象”的意图，未能将方程的解转化为函数图象与(x)轴交点的横坐标。
正确解法：
设 y = x2 - 2x - 2，画出该二次函数图象的草图，找到图象与(x)轴交点的横坐标，其近似值即为方程的近似解x1≈-0.73和x2≈2.73
针对练习4
1．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下：
x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 …
y … 0.04 0.59 1.16 …
则一元二次方程的一个根的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间；当函数值由负变正时，对应区间内必有一根．
【详解】解：∵ 当 时，；
当 时，；
∴ 在 到 之间，函数值由负变正，
故方程 的一个根在 范围内．
故选 ：C．
2．二次函数的自变量与函数值对应值如下表，那么方程的一个近似根的取值范围是（）
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与求一元二次方程的近似值．熟练掌握表格确定函数值正负的自变量的值，二次函数的图像和性质，是解题的关键．
通过观察表格中函数值的正负变化，确定方程根所在的区间．当函数值由负变正时，对应的自变量区间内存在一个根．
【详解】解：∵当时，，
当时，，
∴方程的一个近似根在之间．
故选：B．
3．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵图象上有两点分别为，，
∴当时，；时，，
∴当时，，只有选项符合，
故选：．
4．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的开口方向，抛物线的对称轴，给定自变量求函数值，弄清图象的特征与系数的关系是解题的关键．根据抛物线开口方向判断的符号；根据对称轴公式结合的符号确定的符号；根据抛物线与轴的交点确定的符号；由抛物线的轴对称性，确定抛物线与轴交点坐标；代入特殊值，结合图象确定函数值的性质．依据上述方法逐一判定即可求解．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
对称轴即，，
，
，①正确；
，
，②正确；
，
当时，
令抛物线与轴两交点的横坐标为，
由图象可知，，根据对称性可知，
当时，，③错误，
当时，，④正确；
综上，结论正确的是①②④．
故答案为：①②④．
5．如图，抛物线与x轴交点间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．
直接根据图像作答即可．
【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为．
故答案为：．
6．抛物线与轴交于A，B两点（在左侧），与轴交于点．过B，C两点的直线．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
(2)抛物线的顶点坐标为__________；
(3)当时，函数值的取值范围是__________；
(4)当时，自变量的取值范围是__________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，图象法求不等式的解集，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）令，求出两点的坐标即可；
（2）一般式化为顶点式，求出顶点坐标即可；
（3）利用增减性求出函数值的取值范围即可；
（4）根据图象法进行求解即可．
【详解】（1）解：令，解得，
∴；
（2），
∴顶点坐标为；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，函数值最小为；
当时，函数值最大为；
∴；
（4）由图象可知，当时，．
7．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题：
(1)当时，直接写出的取值范围为_____；
(2)方程有实数根，的取值范围是_____；
(3)当时，直接写出的取值范围是_____．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，注重数形结合的思想是解题的关键．
（1）利用因式分解法求出抛物线与x轴的交点，根据二次函数图象在x轴上方部分所对自变量的取值范围解答即可；
（2）根据二次函数图象即可求解；
（3）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最大值为，再把、代入计算即可．
【详解】（1）解：解得：，，
∴二次函数的图象与x轴交于点，，
由图象可得，时，的取值范围为，
故答案为：；
（2）∵方程有实数根，
∴方程有实数根，
∴，
即：；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴时，y的最大值为，
把代入得，，
把代入得，，
∴当时，y的取值范围是．
故答案为：．
5解析式求解时忽略隐含条件
例5．一条抛物线形状与形状相同，顶点为，则抛物线解析式为
典型错解
解：所求抛物线形状与形状相同，
设所求抛物线的解析式为，其中a=-2
顶点为，
当时，所求抛物线的解析式为；
错因分析
对所求抛物线形状与形状相同理解错误
形状相同指二次项系数的绝对值相同
正确解法
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的变换规律是解题的关键．
根据两抛物线形状相同，可得的值，再由顶点坐标即可求出抛物线的解析式．
【详解】解：所求抛物线形状与形状相同，
设所求抛物线的解析式为，其中．
顶点为，
当时，所求抛物线的解析式为；
当时，所求抛物线的解析式为．
故答案为：或．
针对练习5
1．若某抛物线与抛物线的开口大小、对称轴都相同，且该抛物线经过点，则该抛物线的解析式为 ．
【答案】或y=-x2+3
【分析】本题主要考查抛物线的图像及性质，根据题意设抛物线解析式为是解题的关键．
设抛物线解析式为或y=-x2+c把点代入即可求解．
【详解】某抛物线与抛物线的开口大小、对称轴都相同，
可设抛物线解析式为，或y=-x2+c
当时
抛物线经过点，
，解得，
则该抛物线的解析式为．
当y=-x2+c时
抛物线经过点
-1+c=2 解得：c=3
则该抛物线的解析式为y=-x2+3
故答案为：或y=-x2+3
2．已知抛物线，为实数．
(1)若抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标；
(2)当时，有最大值为，求的值．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（）先求出抛物线为，然后配成顶点式即可求解；
（）由抛物线得抛物线对称轴为直线，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线为，
由，
∴顶点坐标为；
（2）解：由抛物线，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，由时，随的增大而减小，
∴当时，有最大值为，
∴，解得：，符合题意；
当时，当时，有最大值为，
∴，
整理得，
解得：或（舍去）；
当时，由时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值为，
∴，解得：，不符合题意；
综上可得：的值为或．
3．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”．
(1)直线上的“好点”坐标为 ；
(2)若“好点二次函数”的图象与轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式；
(3)若“好点二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最小值为3，求的值．
【答案】(1)
(2)或；
(3)或．
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值等知识，分类讨论是解题关键．
（1）根据好点的定义得到，解方程即可求出答案；
（2）根据“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”解得或，即可得到这个“好点二次函数”的表达式；
（3）先求出“好点二次函数”，再根据的取值范围，分别进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
解得，
∴直线上的“好点”坐标为，
故答案为：；
（2）解：当时，，
∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是，
∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，
∴，
∴“好点二次函数”为，
∵是“好点二次函数”，顶点为，
∴，
解得或，
∴这个“好点二次函数”的表达式为或；
（3）解：∵“好点二次函数”的图象过点，
∴，
解得，，
∴或
∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去，
∴，
∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
即，
解得或，
∴，
当，即时，函数的最小值为2，不符合题意；
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，即，
解得或，
∴，
综上可知，的值为或．
4．已知抛物线，点，．
(1)求该抛物线的对称轴与顶点坐标；（用含c的式子表示）
(2)若抛物线与线段只有一个公共点，求c的取值范围．
【答案】(1)该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
(2)当或时，抛物线与线段只有一个公共点
【分析】本题考查二次函数一般式化为顶点式，抛物线与直线的交点；
（1）通过配方将抛物线一般式化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标；
（2）数形结合从图上观察抛物线与线段的交点个数，当抛物线顶点在的线段上时符合题意，当抛物线在经过B点和经过A点之间的时候，但不包正好经过B点的时候也符合题意，据此即可求解.
【详解】（1）解：将抛物线的一般式化为顶点式得：
，
∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
（2）解：∵，，
∴线段与x轴平行，
∵抛物线与线段只有一个公共点，
如图所示，抛物线对称轴为直线，抛物线的位置会随着参数c的变化而上下移动
①当抛物线顶点在线段上，此时抛物线与线段只有一个交点
即
解得
②当抛物线顶点向上移动，使得抛物线经过B点时
将B点代入解析式得
解得，此时抛物线与线段有两个交点，抛物线从此位置再向上移动与线段就只有一个交点了
③当抛物线向上移动经过A点时
将A点代入解析式得
解得，此时抛物线与线段只有一个交点，从此位置再向上移动，抛物线将与线段没有交点
综上所述：当抛物线在①位置时和在②位置、③位置之间但不包括②位置本身时抛物线与线段只有一个交点
即或时抛物线与只有一个交点
5．已知：二次函数．
(1)当时，求这个二次函数的解析式及其对称轴；
(2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求的值．
【答案】(1)，直线
(2)
【分析】（）把的值代入可求出二次函数的解析式，进而由对称轴公式可求出对称轴；
（）根据平移可得平移后的二次函数解析式为，进而得到平移后二次函数的对称轴为直线，由得，再分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解；
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
∴对称轴为直线，
即直线；
（2）解：∵，
∴将这个二次函数图象向右平移个单位长度，平移后的二次函数解析式为，
∴平移后二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴，
当，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，故时函数取得最大值，
即，
解得（舍去），；
当时，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小，故时函数取得最大值，
即，
解得（舍去），（舍去）；
综上，的值为．
6.代数推理与函数性质结合错误
例6．已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若，求的取值范围．
典型错解：
（2）问出现错误
由（1）得解析式为y=x2+2x-3
∴抛物线开口向上，
∵，
当时，，
当时，，
∴的取值范围为0y
错因分析：
自变量有取值范围限制时，考虑顶点横坐标是否在取值范围内，不在取值范围内时两个端点的函数值最大或最小，在取值范围内时，顶点的函数值最大或最小。
正确解法：
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，求二次函数在给这个范围内的函数值的范围．
（1）通过代入点坐标列方程组求解即可；
（2）利用二次函数开口方向及顶点公式确定极值，结合端点值求解取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和，
∴
解得：，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
∵，顶点横坐标在区间内，
∴最小值为，
当时，，
当时，，
∴的取值范围为．
针对练习5
1．对于函数，下列说法正确的是（ ）
①图象关于y轴对称；
②有最小值；
③当方程有两个不相等的实数根时，；
④直线与的图象有三个交点时，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查含绝对值的二次函数的性质，包括对称性、最值、方程根与函数图象交点的关系．通过分段讨论去掉绝对值，结合图象，转化为二次函数问题求解．
【详解】解：①∵，
∴的图象关于y轴对称，故①正确；
②∵当时，，最小值为，
当时，，最小值为，
∴函数有最小值，故②正确；
③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，
由图象知，当时，方程有两个不相等的根，但，
∴不成立，故③错误；
④当，，
当，，
图象如下：
当时，与图象有三个交点，
当与有一个交点时，与有两个交点时，
，
整理得，
，
解得，
有三个交点，
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：C．
2．已知二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当，y随x的增大而减小 B．图象与x轴只有一个交点
C．图象经过点 D．当时，y有最大值
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算二次函数的对称轴、判别式和特定点的函数值，判断各选项的正误．
【详解】解：A、当 时随增大而减小，
但 时并非始终随增大而减小（例如 时随增大而增大），故A错误；
B、判别式 ，与轴无交点，故B错误；
C、当 时，，故C错误．
D、∵ 二次函数 ，其中 ，，，
∴ 对称轴 ，
∵ ，∴ 函数在 处取得最大值，
当 时，，
∴ 选项D正确；
故选：D．
3．在二次函数中，若它的图象与轴只有一个交点，求的值．
【答案】或
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与轴的交点的情况是做题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系，可得，即可求出结果．
【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点，
，
，
即，
，
，
或．
4．已知抛物线经过点．
(1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、确定二次函数函数的值确定取值范围、解一元二次方程的等知识点，掌握相关知识是解题的关键．
（1）将代入得到得到关于m的方程求解即可得到m的值；再将抛物线解析式化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）先分别求得抛物线在的最大值和最小值即可解答；
（3）先求得，再根据得到关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入得到可得：，
解得：，
∴，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为．
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，，
∴当，y有最小值；当时，则；
当时，则；
∴y有最大值0，
∴．
（3）解：∵，是抛物线上不同的两点，
∴，
∵，
∴，
解得：或．
6．已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当___________时，随的增大而增大；
(3)抛物线与轴的交点坐标为___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）用顶点式求二次函数解析式即可；
（2）分析抛物线的开口方向和对称轴，即可得出答案；
（3）当时，代入抛物线解析式即可求出答案．
【详解】（1）解：抛物线，当时，有最大值，
抛物线的解析式为：，
抛物线过点（1，-3），
，
解得，
此抛物线的解析式；
（2）解：抛物线的解析式，
，
∴抛物线开口向下，
且对称轴为，
∴当时，随的增大而增大．
故答案为：；
（3）解：当时，
，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
故答案为：．
7.参数范围讨论不完整
例7．对于函数，下列说法正确的是（ ）
①图象关于y轴对称；
②有最小值；
③当方程有两个不相等的实数根时，；
④直线与的图象有三个交点时，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①x②③④
典型错解：
解：①∵，
∴的图象关于y轴对称，故①正确；
②∵当时，，最小值为，
当时，，最小值为，
∴函数有最小值，故②正确；
③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，∴成立
当，，
当，，
图象如下：
当时，与图象有三个交点，
当与有一个交点时，与有两个交点时，
，
整理得，
，
解得，
有三个交点，
故④正确，
所以正确的是①②③④ 选择D
错因分析：
没有结合图象分析，③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，
由图象知，当时，方程有也是两个不相等的根，但，
∴不成立，故③错误；
正确解法：
【答案】C
【分析】本题考查含绝对值的二次函数的性质，包括对称性、最值、方程根与函数图象交点的关系．通过分段讨论去掉绝对值，结合图象，转化为二次函数问题求解．
【详解】解：①∵，
∴的图象关于y轴对称，故①正确；
②∵当时，，最小值为，
当时，，最小值为，
∴函数有最小值，故②正确；
③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，
由图象知，当时，方程有两个不相等的根，但，
∴不成立，故③错误；
④当，，
当，，
图象如下：
当时，与图象有三个交点，
当与有一个交点时，与有两个交点时，
，
整理得，
，
解得，
有三个交点，
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：C．
针对练习7
1．已知二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当，y随x的增大而减小 B．图象与x轴只有一个交点
C．图象经过点 D．当时，y有最大值
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算二次函数的对称轴、判别式和特定点的函数值，判断各选项的正误．
【详解】解：A、当 时随增大而减小，
但 时并非始终随增大而减小（例如 时随增大而增大），故A错误；
B、判别式 ，与轴无交点，故B错误；
C、当 时，，故C错误．
D、∵ 二次函数 ，其中 ，，，
∴ 对称轴 ，
∵ ，∴ 函数在 处取得最大值，
当 时，，
∴ 选项D正确；
故选：D．
2．在二次函数中，若它的图象与轴只有一个交点，求的值．
【答案】或
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与轴的交点的情况是做题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系，可得，即可求出结果．
【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点，
，
，
即，
，
，
或．
3．已知抛物线经过点．
(1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、确定二次函数函数的值确定取值范围、解一元二次方程的等知识点，掌握相关知识是解题的关键．
（1）将代入得到得到关于m的方程求解即可得到m的值；再将抛物线解析式化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）先分别求得抛物线在的最大值和最小值即可解答；
（3）先求得，再根据得到关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入得到可得：，
解得：，
∴，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为．
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，，
∴当，y有最小值；当时，则；
当时，则；
∴y有最大值0，
∴．
（3）解：∵，是抛物线上不同的两点，
∴，
∵，
∴，
解得：或．
4．已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当___________时，随的增大而增大；
(3)抛物线与轴的交点坐标为___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）用顶点式求二次函数解析式即可；
（2）分析抛物线的开口方向和对称轴，即可得出答案；
（3）当时，代入抛物线解析式即可求出答案．
【详解】（1）解：抛物线，当时，有最大值，
抛物线的解析式为：，
抛物线过点（1，-3），
，
解得，
此抛物线的解析式；
（2）解：抛物线的解析式，
，
∴抛物线开口向下，
且对称轴为，
∴当时，随的增大而增大．
故答案为：；
（3）解：当时，
，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
故答案为：．
1．已知函数是二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义，函数为二次函数，则二次项系数必须不为零，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴二次项系数，
∴，
故选：A．
2．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，下列命题中；①；②；③对于任意实数，都有；④，是抛物线上的两个点，若，且，则真命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可得，可判断结论①和结论②；由时，函数值最大可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④．
【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故①正确，②错误；
∵二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，二次函数有最大值，最大值为，
∴不论取何值，都有，
∴，故③正确；
∵对称轴是直线，且，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离
∵二次函数开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∴，故④错误；
综上所述，正确的选项是①③．
故选：D．
3．已知：是关于的二次函数，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，函数最高次项指数必须为2且二次项系数不为零，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴且，
∴或，且，
即，
故答案为：0
4．已知a，k为常数，若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数与不等式，由已知不等式解集可确定对应二次函数的根，从而求出常数关系且，代入第二个不等式并求解．
【详解】解：不等式的解集为，
则二次函数的根为和，
∴当时，，即，
∴，解得；
∵的解集为，
∴抛物线的开口向上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴或
解得：无解或；
故答案为：．
5．某商场销售一种商品，每件进价为5元，调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为x元（），每天销量为y件．
(1)当销售单价为11元时，平均每天可以销售_______件商品；
(2)商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为多少元？
(3)销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
18
(2)
销售单价应定为10元
(3)
销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大，最大利润是112元
【分析】本题考查了二次函数的应用——销售、营销问题，根据题意准确把握题目的数量关系是解题的关键．
（1）销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，据此求解即可；
（2）先求出每天的销量与销售单价的函数关系式，再根据每天获利100元列方程求解可；
（3）利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：18；
（2）每天的销售量为：，
由题意，得,
解得，
销售单价不能超过12元，
答：商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为10元；
（3），
，，
当时，．
销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大，最大利润是112元．
6．如图，在四边形中，，截取．已知，，．
(1)求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围．
(2)当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？
(3)（求最值，用配方法）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？
【答案】(1)；
(2)；
(3)不存在最小值．
【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出各部分面积是解题关键．
（1）首先可寻找四边形与题中图形之间的关系，读图可得，，据此即可求出四边形的面积关于的函数表达式，再由、、的值求取的取值范围；
（2）把代入（1）中的式子即可得到结论；
（3）把（1）中所得的二次函数化为顶点式的形式，再根据实际情况求解．
【详解】（1）解：
，
，且，，，
，
函数表达式是；
（2）解：为的中点，
，
；
（3）解：，
由于不在的取值范围内，而也取不到，
则面积的最小值不存在；
7．已知抛物线，点为抛物线顶点．
(1)若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式；
(2)当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标；
(3)在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值．
【答案】(1)
(2)，点的坐标为
(3)或
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，以及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入抛物线解析式求出m的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，再由可得当时，的最大值为，进而可得点的坐标；
（3）先求出再（2）的条件下抛物线的表达式为，可知当时，函数有最小值，根据当，函数有最小值，可知的取值范围一定在对称轴的左边或者右边．然后分和两种情况讨论，即可求出n的值．
【详解】（1）解：将代入抛物线解析式，
得：，
解得，
∴．
（2）解：，
∴，顶点的坐标为，
∵，
∴当时，的最大值为3，
此时点P的坐标为．
（3）解：当时，，
当时，函数有最小值3，
∵时，函数的最小值是7，
∴的取值范围一定在对称轴的左边或者右边．
当时，时有最小值，
∴，
解得，，
∵，
∴．
当时，时有最小值，
∴，
解得，，
∵，
∴．
综上所述，或．
8．已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点．
(1)求这个二次函数表达式；
(2)写出y的值随x值的大而减小的自变量x的取值范围
(3)若点在该函数图象上，求点A的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数图像的性质等知识点，运用待定系数法求得函数解析式是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求得函数解析式是解题的关键；
（2）根据二次函数的对称轴和开口方向即可得到答案；
（3）令代入函数解析式求得m即可解答．
【详解】（1）解：设该函数解析式为，
由题意可得：，
解得：．
所以该函数解析式为：．
（2）∵抛物线的对称轴为直线，，
∴抛物线开口向下，当时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为：
（3）解：令可得：，解得：或．
所以点A的坐标为或．
X
Y
X
Y
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2025-2026人教版九年级数学期末专题训练
专题04 二次函数易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）
二次函数是初中数学的核心，也是中考的必考点和易错点。为了帮助你精准避坑，我梳理了七大高频易错题型，并配有典型例题和避坑指南，希望能助你巩固掌握。
下表汇总了这些易错题型的核心陷阱和关键提醒，方便你快速把握重点。
易错题型 核心陷阱 / 易错点 关键提醒与解法
定义理解错误 忽略二次项系数 的隐含条件。 看到“二次函数”几个字，第一反应是检查 (a ≠ 0)。
图像与系数关系判断错误 无法从函数图象中正确判断 (a, b, c) 的符号或 (Δ) 的符号。 掌握口诀：“开口方向定(a)号；对称轴定(b)号（左同右异）；与(y)轴交点定(c)号；与(x)轴交点个数定(Δ)号”。
解析式求解时忽略隐含条件 使用待定系数法或已知特定点求解析式时，解出参数后未代回检验是否满足所有条件，特别是 (a ≠ 0) 或 (Δ ≥ 0) 等。 解出参数后，一定要代回原式校验，确保所有隐含条件成立。
代数推理与函数性质结合错误 利用对称轴、增减性等性质求参数范围或比较大小时，推理不严谨，忽略等号或前提条件 利用对称轴求最值时，务必考虑自变量的取值范围；使用韦达定理前，必须确认 (Δ ≥ 0)。
实际应用问题建模错误 在利润、面积等实际问题中，列出函数关系式后，求最值时忽略自变量的实际取值范围。 解出答案后，一定要代入原题情境检验，舍去不符合实际意义的解。
参数范围讨论不完整 已知根的情况或函数图象满足的条件，求参数取值范围时，分类讨论不全面或遗漏特殊情况。 仔细审题，明确所有可能情况，特别是二次项系数为0的临界情况。
数形结合应用错误 不能将二次函数、方程、不等式三者间的联系通过图象很好地理解，导致解题错误。 理解二次函数 (y = ax^2+bx+c)、(x) 轴交点横坐标即一元二次方程 (ax2+bx+c=0) 的根；不等式 (ax2+bx+c>0) 的解集即函数图象在 (x) 轴上方的 (x) 的取值范围。
忽视二次项系数a ≠ 0
已知关于x的二次函数，求函数的解析式．
典型错解：
解：由未知数最高次数为2，得：
∴
∴
．
或
=-4x+5
错因分析
忽略了二次项系数k+10条件，及k-1
正确解法
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，求函数的解析式．
根据二次函数的定义求出的值，进而求函数的解析式即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，，
∴，，
即，
∴
．
针对练习1
1．已知y关于x的二次函数为，求a的值．
2．已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式．
3．若是关于x的二次函数．
(1)求m的值及函数表达式．
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
4．若函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
2.图象与系数关系判断错误
例2．如图，二次函数的图象与轴交于点，，其中，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④；⑤关于的一元二次方程（）的根为，．其中正确的是 ．
典型错解
解：抛物线开口向下，故 b0 ∴ab0 ∴①正确
由图象知，抛物线过，代入函数 得
，
解得
故结论②正确
抛物线过，与x轴的另一个交点的横坐标小于3，故对称轴在直线的左侧，
∵抛物线开口向下，
∴当 时，随 的增大而减小成立，故结论③正确．
二次函数与 轴有两个不同的交点，则有两个不等实根，即，故结论④正确．
对于一元二次方程 ，已知一个根为 ，设另一根为 ，由根与系数的关系：
∴
故结论⑤正确．
综上，正确的结论是 ①②③④⑤．
错因分析：
没有系统地分析图象信息
正确解法：
【答案】②③④⑤
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图象可判断开口向下，，，与轴有两个不同的交点，过，且与x轴的另一个交点的横坐标小于3，据此结合二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：抛物线开口向下，故，
对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误；
由图象知，抛物线过，代入函数 ，得：
，
解得
故结论②正确；
抛物线过，与x轴的另一个交点的横坐标小于3，故对称轴在直线的左侧
∵抛物线开口向下，
∴当 时，随 的增大而减小成立，故结论③正确．
二次函数与 轴有两个不同的交点，则有两个不等实根，即，故结论④正确．
对于一元二次方程 ，已知一个根为 ，设另一根为 ，由根与系数的关系：
∴
故结论⑤正确．
综上，正确的结论是 ②③④⑤．
针对练习2
1．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个
①；②；③；④若方程两根为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有 ．
4．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是 ．
5．如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号）
3.二次函数的实际应用错误
例3．某商场销售一种文具，进货价为5元/件．当售价为6元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨元，每天的销售量就减少5件．设销售单价为元/件，每天销售利润为元．
(1)求与的函数解析式；
(2)若每件文具的利润不超过，则每件文具的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
典型错解：
（1）解：由题意得，
与的函数解析式为：．
（2）解：由（1）得，
对称轴为直线，
所以x=10.5时利润最大，最大利润为302.5（元）
错因分析：
忽略自变量的实际意义 每件文具利润不超过，
，得，
文具的销售单价为，
当时，取得最大值，此时
正确解法：
【答案】(1)
(2)每件文具售价为8元时，最大利润为240元
【分析】（1）根据题意写出函数解析式即可；
（2）每件文具利润不超过，得出，求出，由（1）得出，根据对称轴为，得出在对称轴的左侧，且随着的增大而增大，求出当时，取得最大值，此时．
【详解】（1）解：由题意得，
与的函数解析式为：．
（2）解：每件文具利润不超过，
，得，
文具的销售单价为，
由（1）得，
对称轴为直线，
在对称轴的左侧，且随着的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，
即每件文具售价为8元时，最大利润为240元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，准确计算．
针对练习3
1．某商场销售某种商品的进价为70元/件，当售价为150元/件时，每周可以售出200件，每件售价每上涨5元，则每周会少售出10件，若设每周销售利润为w元，每件商品的售价为x元/件：
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商场响应“学习雷锋精神”的号召，决定每售出一件该款商品捐款30元，若该款商品的售价不超过180元/价，请问商场捐款之后能否保证每周销售利润随售价增加而增加？并说明理由．
2．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长．
(1)菜园的面积可以为吗？为什么？
(2)这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
3．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．
(1)与之间的函数关系式；
(2)求自变量的取值范围；
(3)四边形的面积能否等于．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
4．湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度．
游船参数
长米，宽米，
满员后游船露出水面高度为米
(1)求抛物线的解析式；
(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？
5．某种商品进价为每件60元，售价为每件80元时，每个月可卖出100件；如果每件商品售价每上涨5元，则每个月少卖10件设每件商品的售价为x元（x为正整数，且x＞80）．
（1）若希望每月的利润达到2400元，又让利给消费者，求x的值；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
4.方程、不等式与函数图象联系错误
例4：利用图象判断方程 x2 - 2x - 2 = 0 是否有解，若有解，写出近似解
典型错解：
试图直接计算判别式或求根公式，而没有利用图象。
错因分析：
没有理解题目要求“利用图象”的意图，未能将方程的解转化为函数图象与(x)轴交点的横坐标。
正确解法：
设 y = x2 - 2x - 2，画出该二次函数图象的草图，找到图象与(x)轴交点的横坐标，其近似值即为方程的近似解x1≈-0.73和x2≈2.73
针对练习4
1．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下：
x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 …
y … 0.04 0.59 1.16 …
则一元二次方程的一个根的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的自变量与函数值对应值如下表，那么方程的一个近似根的取值范围是（）
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
A． B． C． D．
3．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 ．
5．如图，抛物线与x轴交点间的距离为 ．
6．抛物线与轴交于A，B两点（在左侧），与轴交于点．过B，C两点的直线．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
(2)抛物线的顶点坐标为__________；
(3)当时，函数值的取值范围是__________；
(4)当时，自变量的取值范围是__________．
7．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题：
(1)当时，直接写出的取值范围为_____；
(2)方程有实数根，的取值范围是_____；
(3)当时，直接写出的取值范围是_____．
5解析式求解时忽略隐含条件
例5．一条抛物线形状与形状相同，顶点为，则抛物线解析式为
典型错解
解：所求抛物线形状与形状相同，
设所求抛物线的解析式为，其中a=-2
顶点为，
当时，所求抛物线的解析式为；
错因分析
对所求抛物线形状与形状相同理解错误
形状相同指二次项系数的绝对值相同
正确解法
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的变换规律是解题的关键．
根据两抛物线形状相同，可得的值，再由顶点坐标即可求出抛物线的解析式．
【详解】解：所求抛物线形状与形状相同，
设所求抛物线的解析式为，其中．
顶点为，
当时，所求抛物线的解析式为；
当时，所求抛物线的解析式为．
故答案为：或．
针对练习5
1．若某抛物线与抛物线的开口大小、对称轴都相同，且该抛物线经过点，则该抛物线的解析式为 ．
2．已知抛物线，为实数．
(1)若抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标；
(2)当时，有最大值为，求的值．
3．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”．
(1)直线上的“好点”坐标为 ；
(2)若“好点二次函数”的图象与轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式；
(3)若“好点二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最小值为3，求的值．
4．已知抛物线，点，．
(1)求该抛物线的对称轴与顶点坐标；（用含c的式子表示）
(2)若抛物线与线段只有一个公共点，求c的取值范围．
5．已知：二次函数．
(1)当时，求这个二次函数的解析式及其对称轴；
(2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求的值．
6.代数推理与函数性质结合错误
例6．已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若，求的取值范围．
典型错解：
（2）问出现错误
由（1）得解析式为y=x2+2x-3
∴抛物线开口向上，
∵，
当时，，
当时，，
∴的取值范围为0y
错因分析：
自变量有取值范围限制时，考虑顶点横坐标是否在取值范围内，不在取值范围内时两个端点的函数值最大或最小，在取值范围内时，顶点的函数值最大或最小。
正确解法：
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，求二次函数在给这个范围内的函数值的范围．
（1）通过代入点坐标列方程组求解即可；
（2）利用二次函数开口方向及顶点公式确定极值，结合端点值求解取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和，
∴
解得：，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
∵，顶点横坐标在区间内，
∴最小值为，
当时，，
当时，，
∴的取值范围为．
针对练习6
1．对于函数，下列说法正确的是（ ）
①图象关于y轴对称；
②有最小值；
③当方程有两个不相等的实数根时，；
④直线与的图象有三个交点时，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
2．已知二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当，y随x的增大而减小 B．图象与x轴只有一个交点
C．图象经过点 D．当时，y有最大值
2．在二次函数中，若它的图象与轴只有一个交点，求的值．
3．已知抛物线经过点．
(1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．
4．已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当___________时，随的增大而增大；
(3)抛物线与轴的交点坐标为___________．
7.参数范围讨论不完整
例7．对于函数，下列说法正确的是（ ）
①图象关于y轴对称；
②有最小值；
③当方程有两个不相等的实数根时，；
④直线与的图象有三个交点时，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①x②③④
典型错解：
解：①∵，
∴的图象关于y轴对称，故①正确；
②∵当时，，最小值为，
当时，，最小值为，
∴函数有最小值，故②正确；
③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，∴成立
当，，
当，，
图象如下：
当时，与图象有三个交点，
当与有一个交点时，与有两个交点时，
，
整理得，
，
解得，
有三个交点，
故④正确，
所以正确的是①②③④ 选择D
错因分析：
没有结合图象分析，③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，
由图象知，当时，方程有也是两个不相等的根，但，
∴不成立，故③错误；
正确解法：
【答案】C
【分析】本题考查含绝对值的二次函数的性质，包括对称性、最值、方程根与函数图象交点的关系．通过分段讨论去掉绝对值，结合图象，转化为二次函数问题求解．
【详解】解：①∵，
∴的图象关于y轴对称，故①正确；
②∵当时，，最小值为，
当时，，最小值为，
∴函数有最小值，故②正确；
③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，
由图象知，当时，方程有两个不相等的根，但，
∴不成立，故③错误；
④当，，
当，，
图象如下：
当时，与图象有三个交点，
当与有一个交点时，与有两个交点时，
，
整理得，
，
解得，
有三个交点，
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：C．
针对练习7
1．已知二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当，y随x的增大而减小 B．图象与x轴只有一个交点
C．图象经过点 D．当时，y有最大值
2．在二次函数中，若它的图象与轴只有一个交点，求的值．
3．已知抛物线经过点．
(1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．
4．已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当___________时，随的增大而增大；
(3)抛物线与轴的交点坐标为___________．
1．已知函数是二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，下列命题中；①；②；③对于任意实数，都有；④，是抛物线上的两个点，若，且，则真命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
3．已知：是关于的二次函数，则 ．
4．已知a，k为常数，若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为
5．某商场销售一种商品，每件进价为5元，调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为x元（），每天销量为y件．
(1)当销售单价为11元时，平均每天可以销售_______件商品；
(2)商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为多少元？
(3)销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？
6．如图，在四边形中，，截取．已知，，．
(1)求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围．
(2)当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？
(3)（求最值，用配方法）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？
7．已知抛物线，点为抛物线顶点．
(1)若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式；
(2)当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标；
(3)在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值．
8．已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点．
(1)求这个二次函数表达式；
(2)写出y的值随x值的大而减小的自变量x的取值范围
(3)若点在该函数图象上，求点A的坐标．
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专题04 二次函数易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）
二次函数是初中数学的核心，也是中考的必考点和易错点。为了帮助你精准避坑，我梳理了七大高频易错题型，并配有典型例题和避坑指南，希望能助你巩固掌握。
下表汇总了这些易错题型的核心陷阱和关键提醒，方便你快速把握重点。
易错题型 核心陷阱 / 易错点 关键提醒与解法
定义理解错误 忽略二次项系数 的隐含条件。 看到“二次函数”几个字，第一反应是检查 (a ≠ 0)。
图像与系数关系判断错误 无法从函数图象中正确判断 (a, b, c) 的符号或 (Δ) 的符号。 掌握口诀：“开口方向定(a)号；对称轴定(b)号（左同右异）；与(y)轴交点定(c)号；与(x)轴交点个数定(Δ)号”。
解析式求解时忽略隐含条件 使用待定系数法或已知特定点求解析式时，解出参数后未代回检验是否满足所有条件，特别是 (a ≠ 0) 或 (Δ ≥ 0) 等。 解出参数后，一定要代回原式校验，确保所有隐含条件成立。
代数推理与函数性质结合错误 利用对称轴、增减性等性质求参数范围或比较大小时，推理不严谨，忽略等号或前提条件 利用对称轴求最值时，务必考虑自变量的取值范围；使用韦达定理前，必须确认 (Δ ≥ 0)。
实际应用问题建模错误 在利润、面积等实际问题中，列出函数关系式后，求最值时忽略自变量的实际取值范围。 解出答案后，一定要代入原题情境检验，舍去不符合实际意义的解。
参数范围讨论不完整 已知根的情况或函数图象满足的条件，求参数取值范围时，分类讨论不全面或遗漏特殊情况。 仔细审题，明确所有可能情况，特别是二次项系数为0的临界情况。
数形结合应用错误 不能将二次函数、方程、不等式三者间的联系通过图象很好地理解，导致解题错误。 理解二次函数 (y = ax^2+bx+c)、(x) 轴交点横坐标即一元二次方程 (ax2+bx+c=0) 的根；不等式 (ax2+bx+c>0) 的解集即函数图象在 (x) 轴上方的 (x) 的取值范围。
忽视二次项系数a ≠ 0
已知关于x的二次函数，求函数的解析式．
典型错解：
解：由未知数最高次数为2，得：
∴
∴
．
或
=-4x+5
错因分析
忽略了二次项系数k+10条件，及k-1
正确解法
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，求函数的解析式．
根据二次函数的定义求出的值，进而求函数的解析式即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，，
∴，，
即，
∴
．
针对练习1
1．已知y关于x的二次函数为，求a的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义列出对应的方程，使得自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0，联立两个方程解得a的值．
【详解】解：由题意知，要使为二次函数，
∴，解得，
∴
∴a的值为．
2．已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式．
【答案】，
【分析】本题考查根据二次函数的定义求出参数的值，根据二次函数的定义得到，且，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，，
解方程，可得，
解不等式，可得，
综上所述，可知，
∴．
3．若是关于x的二次函数．
(1)求m的值及函数表达式．
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】(1)，函数的表达式是
(2)二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0
【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键．
（1）根据二次函数的定义列式求解即可；
（2）根据二次函数一般式判定即可．
【详解】（1）解：根据二次函数的定义得，
由①得，，由②得，
∴，函数的表达式是．
（2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0．
4．若函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）根据二次函数的定义列式求解即可；
（2）把代入函数解析式即可．
【详解】（1）解：依题意有，
解得：，
∴k的值为；
（2）解：把代入函数解析式中得：，
当时，．
∴y的值为．
2.图象与系数关系判断错误
例2．如图，二次函数的图象与轴交于点，，其中，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④；⑤关于的一元二次方程（）的根为，．其中正确的是 ．
典型错解
解：抛物线开口向下，故 b0 ∴ab0 ∴①正确
由图象知，抛物线过，代入函数 得
，
解得
故结论②正确
抛物线过，与x轴的另一个交点的横坐标小于3，故对称轴在直线的左侧，
∵抛物线开口向下，
∴当 时，随 的增大而减小成立，故结论③正确．
二次函数与 轴有两个不同的交点，则有两个不等实根，即，故结论④正确．
对于一元二次方程 ，已知一个根为 ，设另一根为 ，由根与系数的关系：
∴
故结论⑤正确．
综上，正确的结论是 ①②③④⑤．
错因分析：
没有系统地分析图象信息
正确解法：
【答案】②③④⑤
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图象可判断开口向下，，，与轴有两个不同的交点，过，且与x轴的另一个交点的横坐标小于3，据此结合二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：抛物线开口向下，故，
对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误；
由图象知，抛物线过，代入函数 ，得：
，
解得
故结论②正确；
抛物线过，与x轴的另一个交点的横坐标小于3，故对称轴在直线的左侧
∵抛物线开口向下，
∴当 时，随 的增大而减小成立，故结论③正确．
二次函数与 轴有两个不同的交点，则有两个不等实根，即，故结论④正确．
对于一元二次方程 ，已知一个根为 ，设另一根为 ，由根与系数的关系：
∴
故结论⑤正确．
综上，正确的结论是 ②③④⑤．
针对练习2
1．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质.
根据开口方向，对称轴和抛物线与轴的交点判断①②，特殊点判断③，最值判断④，进而作答．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
∴，
∴，，故①②错误；
∵抛物线过点，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，为，
∴当时，，
∴；故④正确.
即正确的结论有③、④共2个.
故选：C.
2．如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个
①；②；③；④若方程两根为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴的交点，即可判断④正确．
【详解】解：由图可知，
∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，，
则，
∵抛物线与轴的交点在，之间，
∴，
则，故①错误；
设抛物线与轴另一个交点，
∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，解得，
则，故②错误；
∵，，，
∴，解得，故③正确；
根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为满足，故④正确；
故选：B．
3．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有 ．
【答案】②④
【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由图象可知：，
，
，
，故此选项错误；
②由对称知，当时，函数值大于0，即，故此选项正确；
③当时，；当时，，
，即，
，故此选项错误；
④当时，y的值最大．此时，，
而当时，，
∴，
故，即，故此选项正确．故②④正确．
故答案为：②④．
4．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点为，
∴当时，，
∴，故①错误；
②∵函数开口方向向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在和之间，对称轴为直线，
∴顶点纵坐标要小于，
∴，且，
∴，故②正确；
③∵图象与y轴的交点在和之间，
∴，
∵图象与x轴交于点和，
∴的两根为和3，
由根与系数关系可知：，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵对称轴为直线，
∴，
∵，，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有②③④．
故选：②③④．
5．如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号）
【答案】②③/③②
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴以及与轴的交点位置，判断①，对称性和特殊点判断②，最值判断③即可．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴在轴右侧，与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线的对称轴为，抛物线经过点，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴；
∵抛物线的开口向下，对称轴为，
∴当时，函数取得最大值为，
当时，，
∴，
∴；故③正确；
故答案为：②③．
3.二次函数的实际应用错误
例3．某商场销售一种文具，进货价为5元/件．当售价为6元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨元，每天的销售量就减少5件．设销售单价为元/件，每天销售利润为元．
(1)求与的函数解析式；
(2)若每件文具的利润不超过，则每件文具的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
典型错解：
（1）解：由题意得，
与的函数解析式为：．
（2）解：由（1）得，
对称轴为直线，
所以x=10.5时利润最大，最大利润为302.5（元）
错因分析：
忽略自变量的实际意义 每件文具利润不超过，
，得，
文具的销售单价为，
当时，取得最大值，此时
正确解法：
【答案】(1)
(2)每件文具售价为8元时，最大利润为240元
【分析】（1）根据题意写出函数解析式即可；
（2）每件文具利润不超过，得出，求出，由（1）得出，根据对称轴为，得出在对称轴的左侧，且随着的增大而增大，求出当时，取得最大值，此时．
【详解】（1）解：由题意得，
与的函数解析式为：．
（2）解：每件文具利润不超过，
，得，
文具的销售单价为，
由（1）得，
对称轴为直线，
在对称轴的左侧，且随着的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，
即每件文具售价为8元时，最大利润为240元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，准确计算．
针对练习3
1．某商场销售某种商品的进价为70元/件，当售价为150元/件时，每周可以售出200件，每件售价每上涨5元，则每周会少售出10件，若设每周销售利润为w元，每件商品的售价为x元/件：
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商场响应“学习雷锋精神”的号召，决定每售出一件该款商品捐款30元，若该款商品的售价不超过180元/价，请问商场捐款之后能否保证每周销售利润随售价增加而增加？并说明理由．
【答案】(1)
(2)不能保证，理由见解析
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出w与x之间的函数关系式；
（2）根据题意列出利润和售价的函数关系式，然后利用二次函数的性质和售价的取值范围即可判断．
【详解】（1）解：由题意可得：，
（2）解：不能保证每周销售利润随售价增加而增加，理由如下：
，
，
，即抛物线开口问下，对称轴，
，
∴当时，w随x增大而减小，
∴不能保证每周销售利润随售价增加而增加，
答：不能保证每周销售利润随售价增加而增加．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确题意，列出函数关系式是解题的关键．
2．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长．
(1)菜园的面积可以为吗？为什么？
(2)这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)菜园的面积不可以为，理由见解析
(2)矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积为
【分析】（）设平行于墙的矩形边长为，则矩形的宽为，列出方程即可求解；
（）设菜园面积为，得出关于的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解．
此题考查了一元二次方程与二次函数的应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程与二次函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设平行于墙的矩形边长为，
则，
整理得，
解得，，不合题意，舍去，
∴菜园的面积不可以为；
（2）设菜园的面积为，平行于墙的矩形边长为，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当时，有最大值，为．
此时，
答：矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积为．
3．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．
(1)与之间的函数关系式；
(2)求自变量的取值范围；
(3)四边形的面积能否等于．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，见解析
【分析】此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键．
（1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可；
（2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可；
（3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可．
【详解】（1）解：∵运动的时间为x，点P的速度为，点Q的速度为，
，．
．
（2）解：，，
．
（3）解：不能，理由如下：
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
．
不在自变量x的取值范围内．
∴四边形的面积不能等于．
4．湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度．
游船参数
长米，宽米，
满员后游船露出水面高度为米
(1)求抛物线的解析式；
(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题考二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键．
（1）求得抛物线顶点为，用待定系数法可得答案；
（2）在中，令解出的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：为4米，在距点水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，
抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：在中，令得：
，
解得（舍去）或，
处距桥墩的距离至少为米．
5．某种商品进价为每件60元，售价为每件80元时，每个月可卖出100件；如果每件商品售价每上涨5元，则每个月少卖10件设每件商品的售价为x元（x为正整数，且x＞80）．
（1）若希望每月的利润达到2400元，又让利给消费者，求x的值；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
【答案】（1）x的值为90；（2）每件商品的售价定为95元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．
【分析】（1）直接利用每件利润×销量＝2400，进而得出一元二次方程解出答案即可；
（2）利用每件利润×销量＝利润，先用x表示出每件的利润和销量，进而得出利润关于x的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）由题意可得：（x﹣60）[100﹣2（x﹣80）]＝2400，
整理得：x2﹣190x+9000＝0，
解得：x1＝90，x2＝100（不合题意舍去），
答：x的值为90；
（2）设利润为w元，根据题意可得：
w＝（x﹣60）[100﹣2（x﹣80）]
＝﹣2x2+380x﹣15600
＝﹣2（x﹣95）2+2450，
故每件商品的售价定为95元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，这是二次函数应用问题中的常见题型，解决问题的关键是根据题意中的数量关系求出函数解析式.
4.方程、不等式与函数图象联系错误
例4：利用图象判断方程 x2 - 2x - 2 = 0 是否有解，若有解，写出近似解
典型错解：
试图直接计算判别式或求根公式，而没有利用图象。
错因分析：
没有理解题目要求“利用图象”的意图，未能将方程的解转化为函数图象与(x)轴交点的横坐标。
正确解法：
设 y = x2 - 2x - 2，画出该二次函数图象的草图，找到图象与(x)轴交点的横坐标，其近似值即为方程的近似解x1≈-0.73和x2≈2.73
针对练习4
1．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下：
x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 …
y … 0.04 0.59 1.16 …
则一元二次方程的一个根的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间；当函数值由负变正时，对应区间内必有一根．
【详解】解：∵ 当 时，；
当 时，；
∴ 在 到 之间，函数值由负变正，
故方程 的一个根在 范围内．
故选 ：C．
2．二次函数的自变量与函数值对应值如下表，那么方程的一个近似根的取值范围是（）
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与求一元二次方程的近似值．熟练掌握表格确定函数值正负的自变量的值，二次函数的图像和性质，是解题的关键．
通过观察表格中函数值的正负变化，确定方程根所在的区间．当函数值由负变正时，对应的自变量区间内存在一个根．
【详解】解：∵当时，，
当时，，
∴方程的一个近似根在之间．
故选：B．
3．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵图象上有两点分别为，，
∴当时，；时，，
∴当时，，只有选项符合，
故选：．
4．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的开口方向，抛物线的对称轴，给定自变量求函数值，弄清图象的特征与系数的关系是解题的关键．根据抛物线开口方向判断的符号；根据对称轴公式结合的符号确定的符号；根据抛物线与轴的交点确定的符号；由抛物线的轴对称性，确定抛物线与轴交点坐标；代入特殊值，结合图象确定函数值的性质．依据上述方法逐一判定即可求解．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
对称轴即，，
，
，①正确；
，
，②正确；
，
当时，
令抛物线与轴两交点的横坐标为，
由图象可知，，根据对称性可知，
当时，，③错误，
当时，，④正确；
综上，结论正确的是①②④．
故答案为：①②④．
5．如图，抛物线与x轴交点间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．
直接根据图像作答即可．
【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为．
故答案为：．
6．抛物线与轴交于A，B两点（在左侧），与轴交于点．过B，C两点的直线．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
(2)抛物线的顶点坐标为__________；
(3)当时，函数值的取值范围是__________；
(4)当时，自变量的取值范围是__________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，图象法求不等式的解集，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）令，求出两点的坐标即可；
（2）一般式化为顶点式，求出顶点坐标即可；
（3）利用增减性求出函数值的取值范围即可；
（4）根据图象法进行求解即可．
【详解】（1）解：令，解得，
∴；
（2），
∴顶点坐标为；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，函数值最小为；
当时，函数值最大为；
∴；
（4）由图象可知，当时，．
7．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题：
(1)当时，直接写出的取值范围为_____；
(2)方程有实数根，的取值范围是_____；
(3)当时，直接写出的取值范围是_____．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，注重数形结合的思想是解题的关键．
（1）利用因式分解法求出抛物线与x轴的交点，根据二次函数图象在x轴上方部分所对自变量的取值范围解答即可；
（2）根据二次函数图象即可求解；
（3）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最大值为，再把、代入计算即可．
【详解】（1）解：解得：，，
∴二次函数的图象与x轴交于点，，
由图象可得，时，的取值范围为，
故答案为：；
（2）∵方程有实数根，
∴方程有实数根，
∴，
即：；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴时，y的最大值为，
把代入得，，
把代入得，，
∴当时，y的取值范围是．
故答案为：．
5解析式求解时忽略隐含条件
例5．一条抛物线形状与形状相同，顶点为，则抛物线解析式为
典型错解
解：所求抛物线形状与形状相同，
设所求抛物线的解析式为，其中a=-2
顶点为，
当时，所求抛物线的解析式为；
错因分析
对所求抛物线形状与形状相同理解错误
形状相同指二次项系数的绝对值相同
正确解法
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的变换规律是解题的关键．
根据两抛物线形状相同，可得的值，再由顶点坐标即可求出抛物线的解析式．
【详解】解：所求抛物线形状与形状相同，
设所求抛物线的解析式为，其中．
顶点为，
当时，所求抛物线的解析式为；
当时，所求抛物线的解析式为．
故答案为：或．
针对练习5
1．若某抛物线与抛物线的开口大小、对称轴都相同，且该抛物线经过点，则该抛物线的解析式为 ．
【答案】或y=-x2+3
【分析】本题主要考查抛物线的图像及性质，根据题意设抛物线解析式为是解题的关键．
设抛物线解析式为或y=-x2+c把点代入即可求解．
【详解】某抛物线与抛物线的开口大小、对称轴都相同，
可设抛物线解析式为，或y=-x2+c
当时
抛物线经过点，
，解得，
则该抛物线的解析式为．
当y=-x2+c时
抛物线经过点
-1+c=2 解得：c=3
则该抛物线的解析式为y=-x2+3
故答案为：或y=-x2+3
2．已知抛物线，为实数．
(1)若抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标；
(2)当时，有最大值为，求的值．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（）先求出抛物线为，然后配成顶点式即可求解；
（）由抛物线得抛物线对称轴为直线，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线为，
由，
∴顶点坐标为；
（2）解：由抛物线，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，由时，随的增大而减小，
∴当时，有最大值为，
∴，解得：，符合题意；
当时，当时，有最大值为，
∴，
整理得，
解得：或（舍去）；
当时，由时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值为，
∴，解得：，不符合题意；
综上可得：的值为或．
3．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”．
(1)直线上的“好点”坐标为 ；
(2)若“好点二次函数”的图象与轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式；
(3)若“好点二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最小值为3，求的值．
【答案】(1)
(2)或；
(3)或．
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值等知识，分类讨论是解题关键．
（1）根据好点的定义得到，解方程即可求出答案；
（2）根据“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”解得或，即可得到这个“好点二次函数”的表达式；
（3）先求出“好点二次函数”，再根据的取值范围，分别进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
解得，
∴直线上的“好点”坐标为，
故答案为：；
（2）解：当时，，
∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是，
∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，
∴，
∴“好点二次函数”为，
∵是“好点二次函数”，顶点为，
∴，
解得或，
∴这个“好点二次函数”的表达式为或；
（3）解：∵“好点二次函数”的图象过点，
∴，
解得，，
∴或
∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去，
∴，
∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
即，
解得或，
∴，
当，即时，函数的最小值为2，不符合题意；
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，即，
解得或，
∴，
综上可知，的值为或．
4．已知抛物线，点，．
(1)求该抛物线的对称轴与顶点坐标；（用含c的式子表示）
(2)若抛物线与线段只有一个公共点，求c的取值范围．
【答案】(1)该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
(2)当或时，抛物线与线段只有一个公共点
【分析】本题考查二次函数一般式化为顶点式，抛物线与直线的交点；
（1）通过配方将抛物线一般式化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标；
（2）数形结合从图上观察抛物线与线段的交点个数，当抛物线顶点在的线段上时符合题意，当抛物线在经过B点和经过A点之间的时候，但不包正好经过B点的时候也符合题意，据此即可求解.
【详解】（1）解：将抛物线的一般式化为顶点式得：
，
∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
（2）解：∵，，
∴线段与x轴平行，
∵抛物线与线段只有一个公共点，
如图所示，抛物线对称轴为直线，抛物线的位置会随着参数c的变化而上下移动
①当抛物线顶点在线段上，此时抛物线与线段只有一个交点
即
解得
②当抛物线顶点向上移动，使得抛物线经过B点时
将B点代入解析式得
解得，此时抛物线与线段有两个交点，抛物线从此位置再向上移动与线段就只有一个交点了
③当抛物线向上移动经过A点时
将A点代入解析式得
解得，此时抛物线与线段只有一个交点，从此位置再向上移动，抛物线将与线段没有交点
综上所述：当抛物线在①位置时和在②位置、③位置之间但不包括②位置本身时抛物线与线段只有一个交点
即或时抛物线与只有一个交点
5．已知：二次函数．
(1)当时，求这个二次函数的解析式及其对称轴；
(2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求的值．
【答案】(1)，直线
(2)
【分析】（）把的值代入可求出二次函数的解析式，进而由对称轴公式可求出对称轴；
（）根据平移可得平移后的二次函数解析式为，进而得到平移后二次函数的对称轴为直线，由得，再分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解；
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
∴对称轴为直线，
即直线；
（2）解：∵，
∴将这个二次函数图象向右平移个单位长度，平移后的二次函数解析式为，
∴平移后二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴，
当，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，故时函数取得最大值，
即，
解得（舍去），；
当时，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小，故时函数取得最大值，
即，
解得（舍去），（舍去）；
综上，的值为．
6.代数推理与函数性质结合错误
例6．已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若，求的取值范围．
典型错解：
（2）问出现错误
由（1）得解析式为y=x2+2x-3
∴抛物线开口向上，
∵，
当时，，
当时，，
∴的取值范围为0y
错因分析：
自变量有取值范围限制时，考虑顶点横坐标是否在取值范围内，不在取值范围内时两个端点的函数值最大或最小，在取值范围内时，顶点的函数值最大或最小。
正确解法：
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，求二次函数在给这个范围内的函数值的范围．
（1）通过代入点坐标列方程组求解即可；
（2）利用二次函数开口方向及顶点公式确定极值，结合端点值求解取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和，
∴
解得：，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
∵，顶点横坐标在区间内，
∴最小值为，
当时，，
当时，，
∴的取值范围为．
针对练习5
1．对于函数，下列说法正确的是（ ）
①图象关于y轴对称；
②有最小值；
③当方程有两个不相等的实数根时，；
④直线与的图象有三个交点时，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查含绝对值的二次函数的性质，包括对称性、最值、方程根与函数图象交点的关系．通过分段讨论去掉绝对值，结合图象，转化为二次函数问题求解．
【详解】解：①∵，
∴的图象关于y轴对称，故①正确；
②∵当时，，最小值为，
当时，，最小值为，
∴函数有最小值，故②正确；
③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，
由图象知，当时，方程有两个不相等的根，但，
∴不成立，故③错误；
④当，，
当，，
图象如下：
当时，与图象有三个交点，
当与有一个交点时，与有两个交点时，
，
整理得，
，
解得，
有三个交点，
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：C．
2．已知二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当，y随x的增大而减小 B．图象与x轴只有一个交点
C．图象经过点 D．当时，y有最大值
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算二次函数的对称轴、判别式和特定点的函数值，判断各选项的正误．
【详解】解：A、当 时随增大而减小，
但 时并非始终随增大而减小（例如 时随增大而增大），故A错误；
B、判别式 ，与轴无交点，故B错误；
C、当 时，，故C错误．
D、∵ 二次函数 ，其中 ，，，
∴ 对称轴 ，
∵ ，∴ 函数在 处取得最大值，
当 时，，
∴ 选项D正确；
故选：D．
3．在二次函数中，若它的图象与轴只有一个交点，求的值．
【答案】或
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与轴的交点的情况是做题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系，可得，即可求出结果．
【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点，
，
，
即，
，
，
或．
4．已知抛物线经过点．
(1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、确定二次函数函数的值确定取值范围、解一元二次方程的等知识点，掌握相关知识是解题的关键．
（1）将代入得到得到关于m的方程求解即可得到m的值；再将抛物线解析式化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）先分别求得抛物线在的最大值和最小值即可解答；
（3）先求得，再根据得到关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入得到可得：，
解得：，
∴，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为．
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，，
∴当，y有最小值；当时，则；
当时，则；
∴y有最大值0，
∴．
（3）解：∵，是抛物线上不同的两点，
∴，
∵，
∴，
解得：或．
6．已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当___________时，随的增大而增大；
(3)抛物线与轴的交点坐标为___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）用顶点式求二次函数解析式即可；
（2）分析抛物线的开口方向和对称轴，即可得出答案；
（3）当时，代入抛物线解析式即可求出答案．
【详解】（1）解：抛物线，当时，有最大值，
抛物线的解析式为：，
抛物线过点（1，-3），
，
解得，
此抛物线的解析式；
（2）解：抛物线的解析式，
，
∴抛物线开口向下，
且对称轴为，
∴当时，随的增大而增大．
故答案为：；
（3）解：当时，
，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
故答案为：．
7.参数范围讨论不完整
例7．对于函数，下列说法正确的是（ ）
①图象关于y轴对称；
②有最小值；
③当方程有两个不相等的实数根时，；
④直线与的图象有三个交点时，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①x②③④
典型错解：
解：①∵，
∴的图象关于y轴对称，故①正确；
②∵当时，，最小值为，
当时，，最小值为，
∴函数有最小值，故②正确；
③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，∴成立
当，，
当，，
图象如下：
当时，与图象有三个交点，
当与有一个交点时，与有两个交点时，
，
整理得，
，
解得，
有三个交点，
故④正确，
所以正确的是①②③④ 选择D
错因分析：
没有结合图象分析，③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，
由图象知，当时，方程有也是两个不相等的根，但，
∴不成立，故③错误；
正确解法：
【答案】C
【分析】本题考查含绝对值的二次函数的性质，包括对称性、最值、方程根与函数图象交点的关系．通过分段讨论去掉绝对值，结合图象，转化为二次函数问题求解．
【详解】解：①∵，
∴的图象关于y轴对称，故①正确；
②∵当时，，最小值为，
当时，，最小值为，
∴函数有最小值，故②正确；
③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点，
由图象知，当时，方程有两个不相等的根，但，
∴不成立，故③错误；
④当，，
当，，
图象如下：
当时，与图象有三个交点，
当与有一个交点时，与有两个交点时，
，
整理得，
，
解得，
有三个交点，
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：C．
针对练习7
1．已知二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当，y随x的增大而减小 B．图象与x轴只有一个交点
C．图象经过点 D．当时，y有最大值
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算二次函数的对称轴、判别式和特定点的函数值，判断各选项的正误．
【详解】解：A、当 时随增大而减小，
但 时并非始终随增大而减小（例如 时随增大而增大），故A错误；
B、判别式 ，与轴无交点，故B错误；
C、当 时，，故C错误．
D、∵ 二次函数 ，其中 ，，，
∴ 对称轴 ，
∵ ，∴ 函数在 处取得最大值，
当 时，，
∴ 选项D正确；
故选：D．
2．在二次函数中，若它的图象与轴只有一个交点，求的值．
【答案】或
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与轴的交点的情况是做题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系，可得，即可求出结果．
【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点，
，
，
即，
，
，
或．
3．已知抛物线经过点．
(1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、确定二次函数函数的值确定取值范围、解一元二次方程的等知识点，掌握相关知识是解题的关键．
（1）将代入得到得到关于m的方程求解即可得到m的值；再将抛物线解析式化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）先分别求得抛物线在的最大值和最小值即可解答；
（3）先求得，再根据得到关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入得到可得：，
解得：，
∴，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为．
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，，
∴当，y有最小值；当时，则；
当时，则；
∴y有最大值0，
∴．
（3）解：∵，是抛物线上不同的两点，
∴，
∵，
∴，
解得：或．
4．已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当___________时，随的增大而增大；
(3)抛物线与轴的交点坐标为___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）用顶点式求二次函数解析式即可；
（2）分析抛物线的开口方向和对称轴，即可得出答案；
（3）当时，代入抛物线解析式即可求出答案．
【详解】（1）解：抛物线，当时，有最大值，
抛物线的解析式为：，
抛物线过点（1，-3），
，
解得，
此抛物线的解析式；
（2）解：抛物线的解析式，
，
∴抛物线开口向下，
且对称轴为，
∴当时，随的增大而增大．
故答案为：；
（3）解：当时，
，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
故答案为：．
1．已知函数是二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义，函数为二次函数，则二次项系数必须不为零，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴二次项系数，
∴，
故选：A．
2．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，下列命题中；①；②；③对于任意实数，都有；④，是抛物线上的两个点，若，且，则真命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可得，可判断结论①和结论②；由时，函数值最大可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④．
【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故①正确，②错误；
∵二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，二次函数有最大值，最大值为，
∴不论取何值，都有，
∴，故③正确；
∵对称轴是直线，且，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离
∵二次函数开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∴，故④错误；
综上所述，正确的选项是①③．
故选：D．
3．已知：是关于的二次函数，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，函数最高次项指数必须为2且二次项系数不为零，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴且，
∴或，且，
即，
故答案为：0
4．已知a，k为常数，若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数与不等式，由已知不等式解集可确定对应二次函数的根，从而求出常数关系且，代入第二个不等式并求解．
【详解】解：不等式的解集为，
则二次函数的根为和，
∴当时，，即，
∴，解得；
∵的解集为，
∴抛物线的开口向上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴或
解得：无解或；
故答案为：．
5．某商场销售一种商品，每件进价为5元，调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为x元（），每天销量为y件．
(1)当销售单价为11元时，平均每天可以销售_______件商品；
(2)商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为多少元？
(3)销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
18
(2)
销售单价应定为10元
(3)
销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大，最大利润是112元
【分析】本题考查了二次函数的应用——销售、营销问题，根据题意准确把握题目的数量关系是解题的关键．
（1）销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，据此求解即可；
（2）先求出每天的销量与销售单价的函数关系式，再根据每天获利100元列方程求解可；
（3）利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：18；
（2）每天的销售量为：，
由题意，得,
解得，
销售单价不能超过12元，
答：商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为10元；
（3），
，，
当时，．
销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大，最大利润是112元．
6．如图，在四边形中，，截取．已知，，．
(1)求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围．
(2)当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？
(3)（求最值，用配方法）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？
【答案】(1)；
(2)；
(3)不存在最小值．
【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出各部分面积是解题关键．
（1）首先可寻找四边形与题中图形之间的关系，读图可得，，据此即可求出四边形的面积关于的函数表达式，再由、、的值求取的取值范围；
（2）把代入（1）中的式子即可得到结论；
（3）把（1）中所得的二次函数化为顶点式的形式，再根据实际情况求解．
【详解】（1）解：
，
，且，，，
，
函数表达式是；
（2）解：为的中点，
，
；
（3）解：，
由于不在的取值范围内，而也取不到，
则面积的最小值不存在；
7．已知抛物线，点为抛物线顶点．
(1)若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式；
(2)当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标；
(3)在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值．
【答案】(1)
(2)，点的坐标为
(3)或
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，以及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入抛物线解析式求出m的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，再由可得当时，的最大值为，进而可得点的坐标；
（3）先求出再（2）的条件下抛物线的表达式为，可知当时，函数有最小值，根据当，函数有最小值，可知的取值范围一定在对称轴的左边或者右边．然后分和两种情况讨论，即可求出n的值．
【详解】（1）解：将代入抛物线解析式，
得：，
解得，
∴．
（2）解：，
∴，顶点的坐标为，
∵，
∴当时，的最大值为3，
此时点P的坐标为．
（3）解：当时，，
当时，函数有最小值3，
∵时，函数的最小值是7，
∴的取值范围一定在对称轴的左边或者右边．
当时，时有最小值，
∴，
解得，，
∵，
∴．
当时，时有最小值，
∴，
解得，，
∵，
∴．
综上所述，或．
8．已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点．
(1)求这个二次函数表达式；
(2)写出y的值随x值的大而减小的自变量x的取值范围
(3)若点在该函数图象上，求点A的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数图像的性质等知识点，运用待定系数法求得函数解析式是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求得函数解析式是解题的关键；
（2）根据二次函数的对称轴和开口方向即可得到答案；
（3）令代入函数解析式求得m即可解答．
【详解】（1）解：设该函数解析式为，
由题意可得：，
解得：．
所以该函数解析式为：．
（2）∵抛物线的对称轴为直线，，
∴抛物线开口向下，当时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为：
（3）解：令可得：，解得：或．
所以点A的坐标为或．
X
Y
X
Y
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