2025-2026人教版九年级数学期末专项训练专题06 旋转易错点详解（易错点归纳 易错题型解析 巩固提高）
文档属性
| 名称 | 2025-2026人教版九年级数学期末专项训练专题06 旋转易错点详解（易错点归纳 易错题型解析 巩固提高） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 19.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-07 07:19:30 | ||
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文档简介
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2025-2026人教版九年级数学期末专题训练
专题06 旋转易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）
“旋转”这一章有很多细节需要注意，题目中设置的小陷阱很容易让人出错。为了帮你更清晰地掌握，现梳理了五大易错题型，并附上了详细的错因分析和避坑指南。
下面这个表格先帮你快速了解这些易错题型的核心陷阱。
易错题型 核心陷阱 / 易错点 关键提醒与破题思路
旋转性质理解错误 混淆旋转角（误认为是任意两边的夹角）、忽略对应关系（找错对应点、对应边）。 牢记旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角；旋转前后图形全等，所有对应元素都相等 。
旋转性质应用不当 使用旋转的性质进行证明或计算时，逻辑不严谨，忽略前提条件（如用SSA条件证全等）。 严格依据旋转的三大性质：保形性（全等）、等距性、等角性。证明线段相等或角相等时，优先考虑通过证明三角形全等来实现 。
对称概念混淆 不能准确区分轴对称图形、中心对称图形以及关于原点对称的点的坐标规律。 轴对称看折叠重合（如等边三角形）；中心对称看旋转180度重合（如平行四边形）；关于原点对称，点的坐标是横、纵坐标都变号 。
坐标系中的旋转 在平面直角坐标系中，求一个点绕另一点（非原点）旋转后的坐标时，方法不当或计算错误。 核心是掌握旋转模型。通常通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质来求点的坐标 。
分类讨论遗漏 在旋转角不明确、点位置不唯一等情况下，思维定势，导致答案遗漏。 当题目出现“旋转后三点共线”、“构成直角三角形”等表述时，要立刻意识到可能存在多种情况，需画图逐一讨论
1.旋转性质理解错误
例1．（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
典型错解
【答案】A
误认为旋转过程中任意两边形成的角都等于旋转角，或者找错对应边、对应角。
避坑指南：
找准旋转角：旋转角必须是对应点与旋转中心连线所夹的角。例如，点B的对应点是D，那么∠BAD就是旋转角之一。
明确对应关系：旋转前后的图形是全等的，要严格根据“对应”关系去找边和角。可以先把旋转后的图形在草图上轻轻描出，帮助识别
正确解法：
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角．
两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．
【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意；
B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意；
C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意；
D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意；
故选C．
针对练习1
1．（（24-25九年级上·山西东临汾·期末））如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（ ）
A．点与点是对应点 B．
C． D．
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，三角形逆时针旋转到三角形，其中，点、、在同一直线上．
(1)旋转中心是点___________．
(2)求旋转角的大小．
4．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，旋转后与重合，且为等边三角形，那么：
(1)旋转中心是 点；
(2)旋转方向是 ；
(3)旋转角是 ；
(4)的对应线段是 ，的对应线段是 ，的对应角是 ；
(5)连接，判断的形状是 ．
5．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．
(1)由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角：
旋转中心：________________；
旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”）
旋转角：________________；（填角度大小）
(2)在（1）的基础上，当时，求的度数．
2. 旋转性质应用不当
例2．（2023九年级上·全国·专题练习）边长相等的两个正方形和如图所示，若将正方形绕点O按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分四边形的面积（ ）
A．先增大再减小 B．先减小再增大 C．不断增大 D．不变
典型错解：
试图直接计算面积函数，过程复杂且易错
避坑指南：
对于这类问题，常用方法是证明两个三角形全等（如△HON ≌ △POM），将重叠部分的面积转化为一个固定图形的面积，从而快速判断面积是否变化 。核心是运用“旋转前后图形全等”这一性质进行等量代换。
正确解法：
【答案】D
【分析】由旋转的性质可知，四边形是正方形，如图，过作于，于，证明四边形是正方形，则，，由，，可得，证明，则，由，进行判断作答即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，四边形是正方形，
如图，过作于，于，则四边形是矩形，
∵正方形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
针对练习2
1.（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，四边形是正方形，E、F分别是边和延长线上的点，且，连接．
(1)求证：．
(2)可以由绕旋转中心点______，按顺时针方向旋转_____度得到．
(3)若，求四边形的面积．
2．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP ．
（1）在图中是否存在两个全等的三角形，若存在请写出这两个三角形并证明；若不存在请说明理由．
（2）若（1）中存在，这两个三角形通过旋转能够互相重合吗？若重合请说出旋转的过程；若不重合请说明理由．
（3）PB与BE有怎样的位置关系，说明理由．
（4）若PA=1，PB=2，∠APB=135°，求AE的值．
3．（24-25九年级上·四川广安·期末）以的为边分别作正方形，正方形，连接．
(1)与有什么数量与位置关系？说明理由．
(2)利用旋转的观点，在此题中，可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．
4．（23-24九年级上·陕西西安·期末）在中，，，点M是直线上一动点．连接，将线段绕点M逆时针旋转得到．
(1)如图1，当点M与点A重合时，连接，四边形的形状是________________；
(2)探究猜想：当点M不与点A，点C重合时．
①试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
②直接写出，和之间的数量关系．
5．（24-25九年级上山东临沂·期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E
(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
(2)当0°＜≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)；
小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG(如图3)；
请你从中任选一种方法进行证明；
(3)小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜＜180°时(如图4)，等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
3. 对称概念混淆
例3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
典型错解：
混淆各类图形的对称特性，如误以A轴对称图形，或误以为C是中心对称图形
避坑指南：
轴对称图形：图形沿一条直线对折后两部分能完全重合。等边三角形是轴对称图形（3条对称轴），但不是中心对称图形。
中心对称图形：图形绕某点旋转180度后能与自身重合。平行四边形是中心对称图形（对角线的交点是对称中心），但不是轴对称图形（矩形、菱形、正方形除外）。
正确解法
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B选项图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
针对练习3
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列四幅图片分别是、、天工、文心一言等工具的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·山西太原·期末）AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25九年级上·北京平谷·期末）数学中有许多精美的曲线．下面这四个曲线中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．星形线 B．三叶玫瑰线
C．阿基米德螺线 D．笛卡笛卡尔叶形线
1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
典型错解：
直接加减旋转距离，导致坐标错误
避坑指南：
这类题的最佳方法是“构造全等直角三角形”。
找到旋转中心和待求点。
过旋转中心和点分别作x轴、y轴的垂线，构造直角三角形。
明确旋转方向和角度（如顺时针旋转90°）。
根据旋转性质，找到对应线段相等且垂直的关系，通过全等三角形求出目标点的横纵坐标
正确解法
【答案】D
【分析】作出旋转后的图像，再根据勾股定理即可求出旋转后点A的坐标．
【详解】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∴每旋转6次则回到原位置，
∴第2025次旋转结束后，图形旋转了
如图所示，旋转后的图形为作轴于H，
∵，，
设则
在中
∵点在第三象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解此题的关键．
针对练习4
1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可能是（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．绕原点逆时针旋转 D．绕原点顺时针旋转
2．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 ．
4．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图，的斜边在轴上，，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ．
5．（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．
(1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A． B． C．
(2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ；
(3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数.
5. 分类讨论遗漏
例5．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践
在中，于点．
特例研究：
（1）如图1，若的平分线交于点，则的度数为_________；
操作发现：
如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点都在射线上．
（2）若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）将绕点逆时针旋转，旋转角记为．记旋转中的为，在旋转过程中，点的对应点分别为，直线，与直线交于点，与直线交于点．若，请直接写出旋转角的度数．
典型错解
只考虑旋转角为锐角的情形，忽略了的取值范围出错
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
避坑指南
对于旋转这类问题，由于初始位置和旋转方向的不同，通常会出现两种可能。一定要在草图上画出两种可能的位置，分别进行计算，确保答案完整。
正确解法
【答案】（1）
（2）与之间的数量关系为，理由见解析；
（3）旋转角的度数为或．
【分析】本题考查折叠和旋转，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握折叠和旋转的性质，根据题意进行分类讨论．
（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义计算即可；
（2）由折叠的性质和三角形的内角和定理计算，整体代入，即可得结论；
（3）分类讨论，由折叠和旋转的性质，结合三角形的内角和定理可得，从而可得旋转角度．
【详解】（1）解：∵于点，
∴，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：，
理由：由折叠的性质可知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：与之间的数量关系为．
（3）解：当时，如图，
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
答：旋转角的度数为或．
针对练习5
1．（24-25九年级上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，直线（k是常数，且）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．
(1)求点A的坐标；
(2)将线段绕点A顺时针旋转到，作直线交x轴于点C，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当的面积是面积的一半时，求出此时点P的坐标．
2．（24-25九年级上·北京平谷·期末）中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．
(1)如图1，若，点刚好落在边上，，则______，______；
(2)判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明．
3．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图1，将一副三角尺拼在一起，使得与重合．在中，．在中，，如图2，将绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒．
(1)在图1中，________；
(2)随着的旋转，与之间的数量关系为________；
(3)当t为何值时，直线与的一条边平行？
4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）将一副三角板按如图1所示的方式放置，点A、B、E、D在同一条直线上，其中，，，．
活动一：若将图1中的三角尺沿直线向左平移至图2的位置，使点和点重合，和相交于点，则__________；
活动二：将图2中的三角尺绕点按顺时针方向旋转一周．
（1）当旋转至图3位置时，此时，求旋转的角度；
（2）若旋转过程中，边与三角形的任一条边平行时，此时斜边和斜边所在直线所夹的锐角为__________．
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．例如，图1四边形中，且，那么四边形就叫作对等垂美四边形．
(1)如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点，且，将绕点逆时针旋转（点在点的顺时针方向，，B、C的对应点分别为、．请判断如图3中四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由（仅就图3的情况证明即可）
(2)在（1）的条件下，若，当为直角三角形时，则四边形的面积是___________．
1．如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段绕点旋转至，则的坐标是 ．
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度．
(1)画出线段关于直线对称的线段；
(2)画出线段向右平移个单位长度再向下平移个单位长度后得到的线段；
(3)线段可以看成由线段通过一次旋转变换得到，请画出旋转中心．
4．综合与实践：数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．
【探索发现】如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，易证．
【深入思考】
（1）延长，交于点，如图②，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
【拓展延伸】
（2）在（1）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，直接写出你的猜想，不需证明．
5．已知：在中，，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，使点落在边上的点处，为点的对应点，连接．
(1)如图，当点在线段上时，连接．
填空：的形状为_____；与的数量关系为____．
(2)如图，在（1）的基础上，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图，连接，当时，直接写出的长．
6．（1）类比探究
将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P．
①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____；
②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（2）学以致用
如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值．
7．综合与实践．
【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围；
【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）；
【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积．
8．在中，，，在平面内，把绕点旋转得到，垂直直线，垂足为，的延长线交于点．
(1)如图①，若，求证：是等腰三角形；
(2)如图②，若点在上，求证：点是的中点；
(3)连接，写出的最大值和最小值，并在图上画出对应的图形．
2025-2026人教版九年级数学期末专题训练
专题06 旋转易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）
“旋转”这一章有很多细节需要注意，题目中设置的小陷阱很容易让人出错。为了帮你更清晰地掌握，现梳理了五大易错题型，并附上了详细的错因分析和避坑指南。
下面这个表格先帮你快速了解这些易错题型的核心陷阱。
易错题型 核心陷阱 / 易错点 关键提醒与破题思路
旋转性质理解错误 混淆旋转角（误认为是任意两边的夹角）、忽略对应关系（找错对应点、对应边）。 牢记旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角；旋转前后图形全等，所有对应元素都相等 。
旋转性质应用不当 使用旋转的性质进行证明或计算时，逻辑不严谨，忽略前提条件（如用SSA条件证全等）。 严格依据旋转的三大性质：保形性（全等）、等距性、等角性。证明线段相等或角相等时，优先考虑通过证明三角形全等来实现 。
对称概念混淆 不能准确区分轴对称图形、中心对称图形以及关于原点对称的点的坐标规律。 轴对称看折叠重合（如等边三角形）；中心对称看旋转180度重合（如平行四边形）；关于原点对称，点的坐标是横、纵坐标都变号 。
坐标系中的旋转 在平面直角坐标系中，求一个点绕另一点（非原点）旋转后的坐标时，方法不当或计算错误。 核心是掌握旋转模型。通常通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质来求点的坐标 。
分类讨论遗漏 在旋转角不明确、点位置不唯一等情况下，思维定势，导致答案遗漏。 当题目出现“旋转后三点共线”、“构成直角三角形”等表述时，要立刻意识到可能存在多种情况，需画图逐一讨论
1.旋转性质理解错误
例1．（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
典型错解
【答案】A
误认为旋转过程中任意两边形成的角都等于旋转角，或者找错对应边、对应角。
避坑指南：
找准旋转角：旋转角必须是对应点与旋转中心连线所夹的角。例如，点B的对应点是D，那么∠BAD就是旋转角之一。
明确对应关系：旋转前后的图形是全等的，要严格根据“对应”关系去找边和角。可以先把旋转后的图形在草图上轻轻描出，帮助识别
正确解法：
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角．
两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．
【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意；
B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意；
C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意；
D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意；
故选C．
针对练习1
1．（（24-25九年级上·山西东临汾·期末））如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（ ）
A．点与点是对应点 B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．同时要注意旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．旋转后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，其中与不是对应角，不能判断相等．
【详解】解：根据旋转的性质可知，
点与点是对应点，，，．
故选：C．
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，，可判断选项都不符合题意， 因为与不一定平行，所以符合题意，于是得到问题的答案，正确理解旋转角的概念及旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，
∴，，，但与不一定平行，
故不符合题意， 符合题意，
故选：．
3．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，三角形逆时针旋转到三角形，其中，点、、在同一直线上．
(1)旋转中心是点___________．
(2)求旋转角的大小．
【答案】(1)
(2)旋转角大小是
【分析】此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握其性质定义结合图形进行解答．
（1）根据经过旋转得到，可得旋转中心为点；
（2）根据点在同一直线上，可得旋转角为，结合即可求出旋转度数；
【详解】（1）解：依题意，经过旋转得到，
∴旋转中心为点，
故答案为：．
（2）解：点在同一直线上，，
，
旋转角大小是．
4．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，旋转后与重合，且为等边三角形，那么：
(1)旋转中心是 点；
(2)旋转方向是 ；
(3)旋转角是 ；
(4)的对应线段是 ，的对应线段是 ，的对应角是 ；
(5)连接，判断的形状是 ．
【答案】(1)
(2)顺时针
(3)或
(4)，，
(5)等边三角形
【分析】本题考查的是旋转的性质、旋转的定义，①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
（1）旋转后与重合，两个三角形有公共点，则旋转中心是点；
（2）判断是顺时针还是逆时针即可；
（3）旋转后的图形任意对应点与旋转中心连线形成的角均为旋转角；
（4）旋转到时，与完全重合，与完全重合；
（5）有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
【详解】（1）解：旋转后与重合，两个三角形有公共点，则旋转中心是点．
故答案为：．
（2）旋转方向是顺时针．
故答案为：顺时针．
（3）旋转后的图形任意对应点与旋转中心连线形成的角均为旋转角，
则旋转角是或．
故答案为：或．
（4）旋转到时，与完全重合，与完全重合，与完全重合，
的对应线段是，的对应线段是，的对应角是．
故答案为：，，．
（5）是等边三角形．理由如下：
连接，如图，
为等边三角形，
．
，
．
，
是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
5．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．
(1)由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角：
旋转中心：________________；
旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”）
旋转角：________________；（填角度大小）
(2)在（1）的基础上，当时，求的度数．
【答案】(1)点A；逆时针；
(2)
【分析】本题考查了旋转图形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握旋转图形的性质，等边三角形的性质是解题的关键，
（1）根据旋转图形的特征作答即可；
（2）由，得，再证，从而得，即可得解。
【详解】（1）解：将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角：
旋转中心：点；
旋转方向：逆时针；
旋转角：；
故答案为：点A；逆时针；
（2）解：
又
是等边三角形，
∴
2. 旋转性质应用不当
例2．（2023九年级上·全国·专题练习）边长相等的两个正方形和如图所示，若将正方形绕点O按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分四边形的面积（ ）
A．先增大再减小 B．先减小再增大 C．不断增大 D．不变
典型错解：
试图直接计算面积函数，过程复杂且易错
避坑指南：
对于这类问题，常用方法是证明两个三角形全等（如△HON ≌ △POM），将重叠部分的面积转化为一个固定图形的面积，从而快速判断面积是否变化 。核心是运用“旋转前后图形全等”这一性质进行等量代换。
正确解法：
【答案】D
【分析】由旋转的性质可知，四边形是正方形，如图，过作于，于，证明四边形是正方形，则，，由，，可得，证明，则，由，进行判断作答即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，四边形是正方形，
如图，过作于，于，则四边形是矩形，
∵正方形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
针对练习2
1.（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，四边形是正方形，E、F分别是边和延长线上的点，且，连接．
(1)求证：．
(2)可以由绕旋转中心点______，按顺时针方向旋转_____度得到．
(3)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)A、90
(3)．
【分析】（1）根据正方形的性质得，，然后利用“”易证得；
（2）由于得，则，即，根据旋转的定义可得到可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转得到；
（3）由得，，推出四边形的面积等于正方形的面积，利用勾股定理求得正方形的边长即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
而F是的延长线上的点，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
而，
∴，即，
∴可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到．
故答案为：A、90；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理．
2．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP ．
（1）在图中是否存在两个全等的三角形，若存在请写出这两个三角形并证明；若不存在请说明理由．
（2）若（1）中存在，这两个三角形通过旋转能够互相重合吗？若重合请说出旋转的过程；若不重合请说明理由．
（3）PB与BE有怎样的位置关系，说明理由．
（4）若PA=1，PB=2，∠APB=135°，求AE的值．
【答案】（1）存在，△AEB≌△CPB，理由见解析；（2）能重合，见解析；（3）PB⊥BE，理由见解析；（4）AE的值为．
【分析】（1）由AB=CB，∠ABE=∠CBP，BE=BP，可证：△CPB≌△AEB，故在图中存在两个全等的三角形；
（2）△CPB绕B点按顺时针方向旋转90°可得到△AEB，故这两个三角形通过旋转能够互相重合；
（3）由∠ABE=∠CBP，∠CBP+∠ABP=90°，可得：∠ABP+∠ABE=90°，故PB⊥BE；
（4）在Rt△PBE中，BE=BP，可得：∠BPE=45°，PE=PB；又∠APB=135°可得：∠APE=90°，故在Rt△APB中，运用勾股定理可将AE的长求出．
【详解】（1）存在，△AEB≌△CPB．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，
在△AEB和△CPB中，
，
∵∠ABE=∠CBP，BE=BP，
∴△AEB≌△CPB(SAS)；
（2）能重合．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90，
△CPB绕B点按顺时针方向旋转90°可得到△AEB；
（3）PB⊥BE．
理由如下：
∵∠ABE=∠CBP，∠ABC=90°，
∴∠CBP+∠ABP=90°，
∴∠ABE+∠ABP=∠PBE =90°，
∴PB⊥BE；
（4）连接PE，
∵PB=EB，
∴∠BPE=∠BEP，
∵∠PBE=90°，
∴∠BPE=45°，
∵∠APB=135°，
∴∠APE=∠APB-∠BPE=90°，
在Rt△BPE中，PE=，
在Rt△APE中，AE=．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定定理及勾股定理的应用．正确证明△AEB≌△CPB是解题的关键．
3．（24-25九年级上·四川广安·期末）以的为边分别作正方形，正方形，连接．
(1)与有什么数量与位置关系？说明理由．
(2)利用旋转的观点，在此题中，可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．
【答案】(1)，理由见解析
(2)是三角形绕点A顺时针旋转90度得到的
【分析】（1）由正方形的性质得到，再证明，进而证明得到，再利用三角形内角和定理证明，即，即可得到结论；
（2）根据（1）所求可知是三角形绕点A顺时针旋转90度得到的．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴是三角形绕点A顺时针旋转90度得到的．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，旋转的概念等等，证明是解题的关键．
4．（23-24九年级上·陕西西安·期末）在中，，，点M是直线上一动点．连接，将线段绕点M逆时针旋转得到．
(1)如图1，当点M与点A重合时，连接，四边形的形状是________________；
(2)探究猜想：当点M不与点A，点C重合时．
①试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
②直接写出，和之间的数量关系．
【答案】(1)四边形是正方形
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当的辅助线后早全等三角形是解题的关键．
（1）由旋转的性质得出, ,证出，由平行四边形的判定可得出结论．
（2）①过点M作交于点E，连接，则，证明，由全等三角形的性质得出，，，证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，则可得结论．
②分两种情况，当点M在射线上时，由全等三角形的性质及等腰直角三形的性质得出，当点M在射线上时，同理．
【详解】（1）证明：将线段绕点M逆时针旋转，当点M与点A重合，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形．
（2）解：①．证明如下：
如图，过点M作交于点E，连接，则．
，，
．
，
．
．
将线段绕点M逆时针旋转得到，
，．
．
．
．
在和中，
．
，．
．
．
．
，
．
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
．
②设的中点为O，
当点M在射线上时，
由①得： ，
．，
为等腰直角三角形，，
，
；
点M在射线上时，过点M作交于点E，
连接，则．
，，
．
，
．
．
将线段绕点M逆时针旋转得到，
，．
．
．
．
在和中，
．
，，
，，
，
．
，
．
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
，
，
．
5．（24-25九年级上山东临沂·期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E
(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
(2)当0°＜≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)；
小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG(如图3)；
请你从中任选一种方法进行证明；
(3)小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜＜180°时(如图4)，等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)仍然成立，证明见解析
【分析】(1)根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
(2)成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明；
(3)成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明．当135°<α<180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．可以根据小颖和小亮的方法进行证明即可．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=90 ，∠DAE=∠DAM＋∠MAE=45 ，
∴∠BAD＋∠EAC=45 ．
又∵AD平分∠MAB，
∴∠BAD=∠DAM．
∴∠MAE=∠EAC．
∴AE平分∠MAC．
（2）证明：
∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，
∴AF=AB，BD=DF,∠AFD=∠B=45 ，∠BAD=∠FAD．
又∵AC=AB，
∴AF=AC．
由(1)知，∠FAE=∠CAE．
在△AEF和△AEC中，∵AF= AC，∠FAE=∠CAE，AE=AE，
∴△AEF≌△AEC(SAS)．
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45 ．
∴∠DFE=∠AFD ＋∠AFE=90 ．
在Rt△DEF中，DF2＋FE2=DE2，
∴BD2＋CE2=DE2．
（3）当135 ＜＜180 时，等量关系BD2＋CE2=DE2仍然成立．
证明如下：
如图，将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF．
∴BD=DF ,AF=AB，∠AFD=∠ABD=180 -∠ABC= 135 ，∠BAD=∠FAD．
又∵AC=AB，
∴AF=AC．
∠CAE=-∠BAE
=-(45 -∠BAD)
=45 ＋∠BAD
=45 ＋∠FAD
=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，∵AF=AC，∠FAE=∠CAE，AE=AE，
∴△AEF≌△AEC(SAS)．
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45 ．
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135 -45 =90 ．
在Rt△DEF中，DF2＋FE2=DE2，
∴BD2＋CE2=DE2．
【点睛】本题考查了几何变换综合性题目，用到的知识点有角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质等，题目的综合性较强，难度较大，正确做出图形的辅助线是解题的
3. 对称概念混淆
例3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
典型错解：
混淆各类图形的对称特性，如误以A轴对称图形，或误以为C是中心对称图形
避坑指南：
轴对称图形：图形沿一条直线对折后两部分能完全重合。等边三角形是轴对称图形（3条对称轴），但不是中心对称图形。
中心对称图形：图形绕某点旋转180度后能与自身重合。平行四边形是中心对称图形（对角线的交点是对称中心），但不是轴对称图形（矩形、菱形、正方形除外）。
正确解法
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B选项图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
针对练习3
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形．
根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列四幅图片分别是、、天工、文心一言等工具的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中心对称图形的识别．在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A，不是中心对称图形，不合题意；
B，不是中心对称图形，不合题意；
C，是中心对称图形，符合题意；
D，不是中心对称图形，不合题意；
故选C．
3．（24-25九年级上·山西太原·期末）AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
4．（24-25九年级上·北京平谷·期末）数学中有许多精美的曲线．下面这四个曲线中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．星形线 B．三叶玫瑰线
C．阿基米德螺线 D．笛卡笛卡尔叶形线
【答案】A
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
典型错解：
直接加减旋转距离，导致坐标错误
避坑指南：
这类题的最佳方法是“构造全等直角三角形”。
找到旋转中心和待求点。
过旋转中心和点分别作x轴、y轴的垂线，构造直角三角形。
明确旋转方向和角度（如顺时针旋转90°）。
根据旋转性质，找到对应线段相等且垂直的关系，通过全等三角形求出目标点的横纵坐标
正确解法
【答案】D
【分析】作出旋转后的图像，再根据勾股定理即可求出旋转后点A的坐标．
【详解】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∴每旋转6次则回到原位置，
∴第2025次旋转结束后，图形旋转了
如图所示，旋转后的图形为作轴于H，
∵，，
设则
在中
∵点在第三象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解此题的关键．
针对练习4
1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可能是（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．绕原点逆时针旋转 D．绕原点顺时针旋转
【答案】C
【分析】本题主要考查点坐标的运用，根据题意作图，并运用勾股定理，全等三角形的判定和性质即可求解，掌握勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点在第一象限，点在第二象限，
∴点绕原点逆时针旋转，
如图所示，
∴，则，
，则，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点绕原点逆时针旋转得到点，
故选：C．
2．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，过点作轴于点C，根据题意证明出，得到，，进而求解即可．
【详解】如图所示，过点作轴于点C
∵、
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴
∴
又∵
∴
∴，
∴
∴．
故选：A．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点A的坐标即可解决问题．
【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，
由旋转可知，，，
∴．
又∵，轴，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵点A的坐标为，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
4．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图，的斜边在轴上，，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据旋转求得角和线段相等是解题的关键．
根据题意，先利用含30度角的直角三角形的性质求得，再根据已知条件及勾股定理求得的长，根据已知，以及旋转的性质可知，，进而可知的坐标．
【详解】解：如图，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
由旋转可知，，
，
，
在轴上，
轴，
．
故答案为：．
5．（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．
(1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A． B． C．
(2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ；
(3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数.
【答案】(1)A
(2)图见解析，
(3)
【分析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解．
（1）线段，的垂直平分线的交点P即为所求；
（2）根据要求作出图形，根据图形可得坐标；
（3）根据旋转的性质，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，旋转中心P的坐标为，
故选：A．
（2）解：如图，即为所求作，点坐标为，
故答案为：；
（3）解：由旋转的性质可得，，，
∴
∴，又，
∴，
则．
5. 分类讨论遗漏
例5．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践
在中，于点．
特例研究：
（1）如图1，若的平分线交于点，则的度数为_________；
操作发现：
如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点都在射线上．
（2）若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）将绕点逆时针旋转，旋转角记为．记旋转中的为，在旋转过程中，点的对应点分别为，直线，与直线交于点，与直线交于点．若，请直接写出旋转角的度数．
典型错解
只考虑旋转角为锐角的情形，忽略了的取值范围出错
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
避坑指南
对于旋转这类问题，由于初始位置和旋转方向的不同，通常会出现两种可能。一定要在草图上画出两种可能的位置，分别进行计算，确保答案完整。
正确解法
【答案】（1）
（2）与之间的数量关系为，理由见解析；
（3）旋转角的度数为或．
【分析】本题考查折叠和旋转，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握折叠和旋转的性质，根据题意进行分类讨论．
（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义计算即可；
（2）由折叠的性质和三角形的内角和定理计算，整体代入，即可得结论；
（3）分类讨论，由折叠和旋转的性质，结合三角形的内角和定理可得，从而可得旋转角度．
【详解】（1）解：∵于点，
∴，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：，
理由：由折叠的性质可知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：与之间的数量关系为．
（3）解：当时，如图，
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
答：旋转角的度数为或．
针对练习5
1．（24-25九年级上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，直线（k是常数，且）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．
(1)求点A的坐标；
(2)将线段绕点A顺时针旋转到，作直线交x轴于点C，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当的面积是面积的一半时，求出此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）将点B的坐标代入解析式，解得，得到，当时，，即可得到点A的坐标；
（2）过点D作轴于点E，证明，得到，则，得到，用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）由勾股定理得到，得到，求出和点C的坐标是，设点P的坐标为，得到，根据的面积是面积的一半得到，解得，或，即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：将点B的坐标代入解析式，
得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴点A的坐标为；
（2）过点D作轴于点E，，
由旋转可知，，
∴，
又∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）在中，，
∵，
∴，
∴，
对于，
当时，，
∴，
则点C的坐标是，
设点P的坐标为，则，
则，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，或，
∴点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数与几何综合题，用到了待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、一次函数与坐标轴的交点的等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
2．（24-25九年级上·北京平谷·期末）中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．
(1)如图1，若，点刚好落在边上，，则______，______；
(2)判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明．
【答案】(1)，
(2)，证明见解析
【分析】（1）由旋转可得：，，得到是等边三角形，推出，，根据三角形的外角性质可推出，进而得到，，得到，推出垂直平分，得到，推出，可求出，最后根据勾股定理即可求解；
（2）连接，由直角三角形的斜边中线定理可得：，推出，得到，由旋转可得：，，
推出，可得，证明，得到，即可证明．
【详解】（1）解：由旋转可得：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
点是边中点，
垂直平分，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2），证明如下：
选择图2，连接，
，点是边中点，
，
，
，
由旋转可得：，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
即；
选择图3，连接，
，点是边中点，
，
，
，
由旋转可得：，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形的斜边中线定理，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识．
3．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图1，将一副三角尺拼在一起，使得与重合．在中，．在中，，如图2，将绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒．
(1)在图1中，________；
(2)随着的旋转，与之间的数量关系为________；
(3)当t为何值时，直线与的一条边平行？
【答案】(1)15
(2)
(3)当秒或5秒或9秒时，直线与的一条边平行
【分析】本题主要考查平行线的判定及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
（1）根据角的和差关系可进行求解；
（2）根据题意可分当在△内部时和当在△外部时，进而分类求解即可；
（3）由题意可知，然后可分当时，当时，当时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：如图①，，，
；
故答案为：15；
（2）解：当在内部时，如图，
，
，
当在外部时，如图，
；
综上所述：与之间的数量关系为，
故答案为：；
（3）解：由题意得：，，
当时，如图所示：
，
解得：；
当时，如图所示：
，
，
解得：；当时，如图所示：
、、三点在同一直线上，
，
解得：；综上所述：当与△的一边平行时，或5或9．
4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）将一副三角板按如图1所示的方式放置，点A、B、E、D在同一条直线上，其中，，，．
活动一：若将图1中的三角尺沿直线向左平移至图2的位置，使点和点重合，和相交于点，则__________；
活动二：将图2中的三角尺绕点按顺时针方向旋转一周．
（1）当旋转至图3位置时，此时，求旋转的角度；
（2）若旋转过程中，边与三角形的任一条边平行时，此时斜边和斜边所在直线所夹的锐角为__________．
【答案】活动一：75；活动二：①；②15，45或75
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，正确分类是解答本题的关键．
活动一：先求出，再根据三角形内角和定理求解即可；
活动二：（1）根据三角形外角的性质求出，从而可求出旋转角度；
（2）分三种情况讨论求解即可．
【详解】解：活动一：∵，，，．
∴，
∵，
∴，
故答案为：75；
活动二：（1）∵，，，
∴，
∴旋转的角度为：；
（2）①如图1，当时，由任务一可得；
②如图2，当时，延长,交于点，
则，
∴,
∴，
∴；
③如图3，当时，延长,交于点，
则；
④如图4，当时，延长,交于点，
则，
∴；
⑤如图5，当时，延长,交的延长线于点，
同理可得；
综上，斜边和斜边所在直线所夹的锐角为，或，
故答案为：15；45或75．
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．例如，图1四边形中，且，那么四边形就叫作对等垂美四边形．
(1)如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点，且，将绕点逆时针旋转（点在点的顺时针方向，，B、C的对应点分别为、．请判断如图3中四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由（仅就图3的情况证明即可）
(2)在（1）的条件下，若，当为直角三角形时，则四边形的面积是___________．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)29或32
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，理解“对等垂美四边形”的定义是解题的关键．
对于（1），连接，交于点N，设与交于点E，证明，得，再证明即可；
对于（2），分两种情况：当是直角时，当为直角时，求出解即可．
【详解】（1）解：四边形是对等垂美四边形，理由如下：
连接，交于点N，设与交于点E，
由题意知，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
在四边形中，，，
∴四边形是对等垂美四边形；
（2）解：①当是直角时，如图，
∵，
∴．
；
当为直角时，如图，过点D作的垂线，垂足为H，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
．
综上所述，四边形的面积是32或29．
故答案为：32或29．
1．如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
根据图象旋转的性质，得，，从而得，结合，，即可求解．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到．
∴，，
∴，
∴，，
∴；
故选：B
2．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段绕点旋转至，则的坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解即可．熟练掌握旋转的性质，数形结合，是解题的关键．
【详解】解：由题意，作图如下：
∴当将线段绕点顺时针旋转至时，；
当将线段绕点逆时针旋转至时，；
故答案为：或．
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度．
(1)画出线段关于直线对称的线段；
(2)画出线段向右平移个单位长度再向下平移个单位长度后得到的线段；
(3)线段可以看成由线段通过一次旋转变换得到，请画出旋转中心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、作图-平移变换、几何变换的类型，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据平移的性质作图即可．
（3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，即可求解．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求作；
（2）如图，线段即为所求作；
（3）如图，点即为所求作.
4．综合与实践：数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．
【探索发现】如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，易证．
【深入思考】
（1）延长，交于点，如图②，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
【拓展延伸】
（2）在（1）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1），
（2）.
【分析】（1）由全等三角形得到，再通过论证四边形是正方形，得到，等量代换从而得到；
（2）在上截取，连接，可得≌，进而得到是等腰直角三角形，最后得出的结论．
【详解】（1）猜想：
证明：∵，
∴
∵≌，
∴，，
∵
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
即.
（2）猜想：
证明：在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴≌，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了正方形的性质及判定、旋转的性质、全等三角形的性质与判定，关键是构造全等三角形将线段进行转换．
5．已知：在中，，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，使点落在边上的点处，为点的对应点，连接．
(1)如图，当点在线段上时，连接．
填空：的形状为_____；与的数量关系为____．
(2)如图，在（1）的基础上，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图，连接，当时，直接写出的长．
【答案】(1)等边三角形，
(2)菱形，理由见详解
(3)
【分析】（1）由旋转的性质可得，所以，，，，又因为，，所以，，又因为，所以是等边三角形．因为，，，所以，，又因为，，所以，，因为，，故的形状为等边三角形，与的数量关系为．
（2）由（1）得，，因为，，，所以，因为，所以，，，因为，，所以四边形是平行四边形，又因为，所以四边形是菱形．
（3）延长，交于点，由上可得为等边三角形，，又因为，，和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，即，，因为，，，即，因为，，所以，，因为，，所以，，因为，所以，，，因为，，所以，所以．
【详解】（1）解：由旋转的性质可得，
∴，，，，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故的形状为等边三角形，与的数量关系为．
（2）四边形是菱形．
理由：由（1）得，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（3）延长，交于点，如图所示：
由上可得为等边三角形，，
又∵，，
∴和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，
即，，
∵，
∴，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，菱形的判定，解直角三角形的相关计算，熟练掌握以上性质是解题的关键．
6．（1）类比探究
将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P．
①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____；
②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（2）学以致用
如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值．
【答案】（1）①；；②依然成立，证明见解答；
（2）或．
【分析】（1）①根据题意判定和为等腰直角三角形，然后通过证明即可得出结论；
②通过辅助线推出，然后根据证明结论；
（2）根据（1）的结论得出点P为的中点，然后判定为菱形，当其为正方形时面积最大，然后判定当旋转角或时均符合题意，然后构造即可求解．
【详解】解：（1）①根据旋转的性质可知：
，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴（），
∴，
故答案为：；；
②如图，过点F作交于点Q，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理①可证：（），
∴，
故依然成立；
（2）根据（1）可知，点P为中点， ，
∴、为的中位线，
，
∵，
∴四边形是边长为的菱形，
设四边形底边上的高为h．
由于，故当时，四边形面积取最大值，
此时，四边形为正方形，分为旋转角或两种情况，如图：
①当时，作，H为垂足，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
②当时，四边形为正方形，作，为垂足，
同理可得四边形为矩形，
∴，，
∴
∴，
故的值为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
7．综合与实践．
【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围；
【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）；
【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积．
【答案】（1）图见解析，；（2）；（3）
【分析】（1）如图，将绕点旋转，得到，连接，由旋转得到，，证明四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围；
（2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，证明是等边三角形得，在中，运用勾股定理逆定理可得，求出，结合旋转可求解；
（3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转可知，，，，推出，证明，求出即可．
【详解】解：（1）如图，将绕点旋转，得到，连接，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
又∵，
∴，即，
∴，
∴的取值范围为；
（2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
在中，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴的大小为；
（3）如图，将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∵四边形是正方形，，，，
∴，，
∴点在的延长线上，
∴，
，
∴，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是旋转构造全等进行转换．
8．在中，，，在平面内，把绕点旋转得到，垂直直线，垂足为，的延长线交于点．
(1)如图①，若，求证：是等腰三角形；
(2)如图②，若点在上，求证：点是的中点；
(3)连接，写出的最大值和最小值，并在图上画出对应的图形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)有最大值：，有最小值：，图形见解析
【分析】（1）证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，得到，然后证明，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质得到，即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质和旋转的性质得到，证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（3）根据勾股定理和旋转的性质得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上，分两种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：∵绕点旋转得到，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：∵，，
∴，
又∵绕点旋转得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵绕点旋转得到，
∴，，，
∴，，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（3）解：∵，，
∴，
∵绕点旋转得到，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
如图，当、、三点共线且点在点上方时，此时点，点都与点重合，
有最大值：；
如图，当、、三点共线且点在点下方时，此时点，点都与点重合，
有最小值：．
【点睛】本题是旋转综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，本题综合性较强，有一定的难度．掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键．
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2025-2026人教版九年级数学期末专题训练
专题06 旋转易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）
“旋转”这一章有很多细节需要注意，题目中设置的小陷阱很容易让人出错。为了帮你更清晰地掌握，现梳理了五大易错题型，并附上了详细的错因分析和避坑指南。
下面这个表格先帮你快速了解这些易错题型的核心陷阱。
易错题型 核心陷阱 / 易错点 关键提醒与破题思路
旋转性质理解错误 混淆旋转角（误认为是任意两边的夹角）、忽略对应关系（找错对应点、对应边）。 牢记旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角；旋转前后图形全等，所有对应元素都相等 。
旋转性质应用不当 使用旋转的性质进行证明或计算时，逻辑不严谨，忽略前提条件（如用SSA条件证全等）。 严格依据旋转的三大性质：保形性（全等）、等距性、等角性。证明线段相等或角相等时，优先考虑通过证明三角形全等来实现 。
对称概念混淆 不能准确区分轴对称图形、中心对称图形以及关于原点对称的点的坐标规律。 轴对称看折叠重合（如等边三角形）；中心对称看旋转180度重合（如平行四边形）；关于原点对称，点的坐标是横、纵坐标都变号 。
坐标系中的旋转 在平面直角坐标系中，求一个点绕另一点（非原点）旋转后的坐标时，方法不当或计算错误。 核心是掌握旋转模型。通常通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质来求点的坐标 。
分类讨论遗漏 在旋转角不明确、点位置不唯一等情况下，思维定势，导致答案遗漏。 当题目出现“旋转后三点共线”、“构成直角三角形”等表述时，要立刻意识到可能存在多种情况，需画图逐一讨论
1.旋转性质理解错误
例1．（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
典型错解
【答案】A
误认为旋转过程中任意两边形成的角都等于旋转角，或者找错对应边、对应角。
避坑指南：
找准旋转角：旋转角必须是对应点与旋转中心连线所夹的角。例如，点B的对应点是D，那么∠BAD就是旋转角之一。
明确对应关系：旋转前后的图形是全等的，要严格根据“对应”关系去找边和角。可以先把旋转后的图形在草图上轻轻描出，帮助识别
正确解法：
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角．
两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．
【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意；
B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意；
C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意；
D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意；
故选C．
针对练习1
1．（（24-25九年级上·山西东临汾·期末））如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（ ）
A．点与点是对应点 B．
C． D．
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，三角形逆时针旋转到三角形，其中，点、、在同一直线上．
(1)旋转中心是点___________．
(2)求旋转角的大小．
4．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，旋转后与重合，且为等边三角形，那么：
(1)旋转中心是 点；
(2)旋转方向是 ；
(3)旋转角是 ；
(4)的对应线段是 ，的对应线段是 ，的对应角是 ；
(5)连接，判断的形状是 ．
5．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．
(1)由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角：
旋转中心：________________；
旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”）
旋转角：________________；（填角度大小）
(2)在（1）的基础上，当时，求的度数．
2. 旋转性质应用不当
例2．（2023九年级上·全国·专题练习）边长相等的两个正方形和如图所示，若将正方形绕点O按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分四边形的面积（ ）
A．先增大再减小 B．先减小再增大 C．不断增大 D．不变
典型错解：
试图直接计算面积函数，过程复杂且易错
避坑指南：
对于这类问题，常用方法是证明两个三角形全等（如△HON ≌ △POM），将重叠部分的面积转化为一个固定图形的面积，从而快速判断面积是否变化 。核心是运用“旋转前后图形全等”这一性质进行等量代换。
正确解法：
【答案】D
【分析】由旋转的性质可知，四边形是正方形，如图，过作于，于，证明四边形是正方形，则，，由，，可得，证明，则，由，进行判断作答即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，四边形是正方形，
如图，过作于，于，则四边形是矩形，
∵正方形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
针对练习2
1.（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，四边形是正方形，E、F分别是边和延长线上的点，且，连接．
(1)求证：．
(2)可以由绕旋转中心点______，按顺时针方向旋转_____度得到．
(3)若，求四边形的面积．
2．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP ．
（1）在图中是否存在两个全等的三角形，若存在请写出这两个三角形并证明；若不存在请说明理由．
（2）若（1）中存在，这两个三角形通过旋转能够互相重合吗？若重合请说出旋转的过程；若不重合请说明理由．
（3）PB与BE有怎样的位置关系，说明理由．
（4）若PA=1，PB=2，∠APB=135°，求AE的值．
3．（24-25九年级上·四川广安·期末）以的为边分别作正方形，正方形，连接．
(1)与有什么数量与位置关系？说明理由．
(2)利用旋转的观点，在此题中，可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．
4．（23-24九年级上·陕西西安·期末）在中，，，点M是直线上一动点．连接，将线段绕点M逆时针旋转得到．
(1)如图1，当点M与点A重合时，连接，四边形的形状是________________；
(2)探究猜想：当点M不与点A，点C重合时．
①试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
②直接写出，和之间的数量关系．
5．（24-25九年级上山东临沂·期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E
(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
(2)当0°＜≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)；
小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG(如图3)；
请你从中任选一种方法进行证明；
(3)小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜＜180°时(如图4)，等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
3. 对称概念混淆
例3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
典型错解：
混淆各类图形的对称特性，如误以A轴对称图形，或误以为C是中心对称图形
避坑指南：
轴对称图形：图形沿一条直线对折后两部分能完全重合。等边三角形是轴对称图形（3条对称轴），但不是中心对称图形。
中心对称图形：图形绕某点旋转180度后能与自身重合。平行四边形是中心对称图形（对角线的交点是对称中心），但不是轴对称图形（矩形、菱形、正方形除外）。
正确解法
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B选项图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
针对练习3
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列四幅图片分别是、、天工、文心一言等工具的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·山西太原·期末）AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25九年级上·北京平谷·期末）数学中有许多精美的曲线．下面这四个曲线中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．星形线 B．三叶玫瑰线
C．阿基米德螺线 D．笛卡笛卡尔叶形线
1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
典型错解：
直接加减旋转距离，导致坐标错误
避坑指南：
这类题的最佳方法是“构造全等直角三角形”。
找到旋转中心和待求点。
过旋转中心和点分别作x轴、y轴的垂线，构造直角三角形。
明确旋转方向和角度（如顺时针旋转90°）。
根据旋转性质，找到对应线段相等且垂直的关系，通过全等三角形求出目标点的横纵坐标
正确解法
【答案】D
【分析】作出旋转后的图像，再根据勾股定理即可求出旋转后点A的坐标．
【详解】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∴每旋转6次则回到原位置，
∴第2025次旋转结束后，图形旋转了
如图所示，旋转后的图形为作轴于H，
∵，，
设则
在中
∵点在第三象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解此题的关键．
针对练习4
1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可能是（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．绕原点逆时针旋转 D．绕原点顺时针旋转
2．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 ．
4．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图，的斜边在轴上，，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ．
5．（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．
(1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A． B． C．
(2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ；
(3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数.
5. 分类讨论遗漏
例5．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践
在中，于点．
特例研究：
（1）如图1，若的平分线交于点，则的度数为_________；
操作发现：
如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点都在射线上．
（2）若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）将绕点逆时针旋转，旋转角记为．记旋转中的为，在旋转过程中，点的对应点分别为，直线，与直线交于点，与直线交于点．若，请直接写出旋转角的度数．
典型错解
只考虑旋转角为锐角的情形，忽略了的取值范围出错
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
避坑指南
对于旋转这类问题，由于初始位置和旋转方向的不同，通常会出现两种可能。一定要在草图上画出两种可能的位置，分别进行计算，确保答案完整。
正确解法
【答案】（1）
（2）与之间的数量关系为，理由见解析；
（3）旋转角的度数为或．
【分析】本题考查折叠和旋转，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握折叠和旋转的性质，根据题意进行分类讨论．
（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义计算即可；
（2）由折叠的性质和三角形的内角和定理计算，整体代入，即可得结论；
（3）分类讨论，由折叠和旋转的性质，结合三角形的内角和定理可得，从而可得旋转角度．
【详解】（1）解：∵于点，
∴，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：，
理由：由折叠的性质可知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：与之间的数量关系为．
（3）解：当时，如图，
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
答：旋转角的度数为或．
针对练习5
1．（24-25九年级上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，直线（k是常数，且）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．
(1)求点A的坐标；
(2)将线段绕点A顺时针旋转到，作直线交x轴于点C，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当的面积是面积的一半时，求出此时点P的坐标．
2．（24-25九年级上·北京平谷·期末）中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．
(1)如图1，若，点刚好落在边上，，则______，______；
(2)判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明．
3．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图1，将一副三角尺拼在一起，使得与重合．在中，．在中，，如图2，将绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒．
(1)在图1中，________；
(2)随着的旋转，与之间的数量关系为________；
(3)当t为何值时，直线与的一条边平行？
4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）将一副三角板按如图1所示的方式放置，点A、B、E、D在同一条直线上，其中，，，．
活动一：若将图1中的三角尺沿直线向左平移至图2的位置，使点和点重合，和相交于点，则__________；
活动二：将图2中的三角尺绕点按顺时针方向旋转一周．
（1）当旋转至图3位置时，此时，求旋转的角度；
（2）若旋转过程中，边与三角形的任一条边平行时，此时斜边和斜边所在直线所夹的锐角为__________．
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．例如，图1四边形中，且，那么四边形就叫作对等垂美四边形．
(1)如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点，且，将绕点逆时针旋转（点在点的顺时针方向，，B、C的对应点分别为、．请判断如图3中四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由（仅就图3的情况证明即可）
(2)在（1）的条件下，若，当为直角三角形时，则四边形的面积是___________．
1．如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段绕点旋转至，则的坐标是 ．
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度．
(1)画出线段关于直线对称的线段；
(2)画出线段向右平移个单位长度再向下平移个单位长度后得到的线段；
(3)线段可以看成由线段通过一次旋转变换得到，请画出旋转中心．
4．综合与实践：数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．
【探索发现】如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，易证．
【深入思考】
（1）延长，交于点，如图②，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
【拓展延伸】
（2）在（1）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，直接写出你的猜想，不需证明．
5．已知：在中，，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，使点落在边上的点处，为点的对应点，连接．
(1)如图，当点在线段上时，连接．
填空：的形状为_____；与的数量关系为____．
(2)如图，在（1）的基础上，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图，连接，当时，直接写出的长．
6．（1）类比探究
将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P．
①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____；
②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（2）学以致用
如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值．
7．综合与实践．
【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围；
【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）；
【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积．
8．在中，，，在平面内，把绕点旋转得到，垂直直线，垂足为，的延长线交于点．
(1)如图①，若，求证：是等腰三角形；
(2)如图②，若点在上，求证：点是的中点；
(3)连接，写出的最大值和最小值，并在图上画出对应的图形．
2025-2026人教版九年级数学期末专题训练
专题06 旋转易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）
“旋转”这一章有很多细节需要注意，题目中设置的小陷阱很容易让人出错。为了帮你更清晰地掌握，现梳理了五大易错题型，并附上了详细的错因分析和避坑指南。
下面这个表格先帮你快速了解这些易错题型的核心陷阱。
易错题型 核心陷阱 / 易错点 关键提醒与破题思路
旋转性质理解错误 混淆旋转角（误认为是任意两边的夹角）、忽略对应关系（找错对应点、对应边）。 牢记旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角；旋转前后图形全等，所有对应元素都相等 。
旋转性质应用不当 使用旋转的性质进行证明或计算时，逻辑不严谨，忽略前提条件（如用SSA条件证全等）。 严格依据旋转的三大性质：保形性（全等）、等距性、等角性。证明线段相等或角相等时，优先考虑通过证明三角形全等来实现 。
对称概念混淆 不能准确区分轴对称图形、中心对称图形以及关于原点对称的点的坐标规律。 轴对称看折叠重合（如等边三角形）；中心对称看旋转180度重合（如平行四边形）；关于原点对称，点的坐标是横、纵坐标都变号 。
坐标系中的旋转 在平面直角坐标系中，求一个点绕另一点（非原点）旋转后的坐标时，方法不当或计算错误。 核心是掌握旋转模型。通常通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质来求点的坐标 。
分类讨论遗漏 在旋转角不明确、点位置不唯一等情况下，思维定势，导致答案遗漏。 当题目出现“旋转后三点共线”、“构成直角三角形”等表述时，要立刻意识到可能存在多种情况，需画图逐一讨论
1.旋转性质理解错误
例1．（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
典型错解
【答案】A
误认为旋转过程中任意两边形成的角都等于旋转角，或者找错对应边、对应角。
避坑指南：
找准旋转角：旋转角必须是对应点与旋转中心连线所夹的角。例如，点B的对应点是D，那么∠BAD就是旋转角之一。
明确对应关系：旋转前后的图形是全等的，要严格根据“对应”关系去找边和角。可以先把旋转后的图形在草图上轻轻描出，帮助识别
正确解法：
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角．
两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．
【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意；
B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意；
C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意；
D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意；
故选C．
针对练习1
1．（（24-25九年级上·山西东临汾·期末））如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（ ）
A．点与点是对应点 B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．同时要注意旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．旋转后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，其中与不是对应角，不能判断相等．
【详解】解：根据旋转的性质可知，
点与点是对应点，，，．
故选：C．
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，，可判断选项都不符合题意， 因为与不一定平行，所以符合题意，于是得到问题的答案，正确理解旋转角的概念及旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，
∴，，，但与不一定平行，
故不符合题意， 符合题意，
故选：．
3．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，三角形逆时针旋转到三角形，其中，点、、在同一直线上．
(1)旋转中心是点___________．
(2)求旋转角的大小．
【答案】(1)
(2)旋转角大小是
【分析】此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握其性质定义结合图形进行解答．
（1）根据经过旋转得到，可得旋转中心为点；
（2）根据点在同一直线上，可得旋转角为，结合即可求出旋转度数；
【详解】（1）解：依题意，经过旋转得到，
∴旋转中心为点，
故答案为：．
（2）解：点在同一直线上，，
，
旋转角大小是．
4．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，旋转后与重合，且为等边三角形，那么：
(1)旋转中心是 点；
(2)旋转方向是 ；
(3)旋转角是 ；
(4)的对应线段是 ，的对应线段是 ，的对应角是 ；
(5)连接，判断的形状是 ．
【答案】(1)
(2)顺时针
(3)或
(4)，，
(5)等边三角形
【分析】本题考查的是旋转的性质、旋转的定义，①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
（1）旋转后与重合，两个三角形有公共点，则旋转中心是点；
（2）判断是顺时针还是逆时针即可；
（3）旋转后的图形任意对应点与旋转中心连线形成的角均为旋转角；
（4）旋转到时，与完全重合，与完全重合；
（5）有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
【详解】（1）解：旋转后与重合，两个三角形有公共点，则旋转中心是点．
故答案为：．
（2）旋转方向是顺时针．
故答案为：顺时针．
（3）旋转后的图形任意对应点与旋转中心连线形成的角均为旋转角，
则旋转角是或．
故答案为：或．
（4）旋转到时，与完全重合，与完全重合，与完全重合，
的对应线段是，的对应线段是，的对应角是．
故答案为：，，．
（5）是等边三角形．理由如下：
连接，如图，
为等边三角形，
．
，
．
，
是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
5．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．
(1)由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角：
旋转中心：________________；
旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”）
旋转角：________________；（填角度大小）
(2)在（1）的基础上，当时，求的度数．
【答案】(1)点A；逆时针；
(2)
【分析】本题考查了旋转图形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握旋转图形的性质，等边三角形的性质是解题的关键，
（1）根据旋转图形的特征作答即可；
（2）由，得，再证，从而得，即可得解。
【详解】（1）解：将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角：
旋转中心：点；
旋转方向：逆时针；
旋转角：；
故答案为：点A；逆时针；
（2）解：
又
是等边三角形，
∴
2. 旋转性质应用不当
例2．（2023九年级上·全国·专题练习）边长相等的两个正方形和如图所示，若将正方形绕点O按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分四边形的面积（ ）
A．先增大再减小 B．先减小再增大 C．不断增大 D．不变
典型错解：
试图直接计算面积函数，过程复杂且易错
避坑指南：
对于这类问题，常用方法是证明两个三角形全等（如△HON ≌ △POM），将重叠部分的面积转化为一个固定图形的面积，从而快速判断面积是否变化 。核心是运用“旋转前后图形全等”这一性质进行等量代换。
正确解法：
【答案】D
【分析】由旋转的性质可知，四边形是正方形，如图，过作于，于，证明四边形是正方形，则，，由，，可得，证明，则，由，进行判断作答即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，四边形是正方形，
如图，过作于，于，则四边形是矩形，
∵正方形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
针对练习2
1.（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，四边形是正方形，E、F分别是边和延长线上的点，且，连接．
(1)求证：．
(2)可以由绕旋转中心点______，按顺时针方向旋转_____度得到．
(3)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)A、90
(3)．
【分析】（1）根据正方形的性质得，，然后利用“”易证得；
（2）由于得，则，即，根据旋转的定义可得到可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转得到；
（3）由得，，推出四边形的面积等于正方形的面积，利用勾股定理求得正方形的边长即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
而F是的延长线上的点，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
而，
∴，即，
∴可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到．
故答案为：A、90；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理．
2．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP ．
（1）在图中是否存在两个全等的三角形，若存在请写出这两个三角形并证明；若不存在请说明理由．
（2）若（1）中存在，这两个三角形通过旋转能够互相重合吗？若重合请说出旋转的过程；若不重合请说明理由．
（3）PB与BE有怎样的位置关系，说明理由．
（4）若PA=1，PB=2，∠APB=135°，求AE的值．
【答案】（1）存在，△AEB≌△CPB，理由见解析；（2）能重合，见解析；（3）PB⊥BE，理由见解析；（4）AE的值为．
【分析】（1）由AB=CB，∠ABE=∠CBP，BE=BP，可证：△CPB≌△AEB，故在图中存在两个全等的三角形；
（2）△CPB绕B点按顺时针方向旋转90°可得到△AEB，故这两个三角形通过旋转能够互相重合；
（3）由∠ABE=∠CBP，∠CBP+∠ABP=90°，可得：∠ABP+∠ABE=90°，故PB⊥BE；
（4）在Rt△PBE中，BE=BP，可得：∠BPE=45°，PE=PB；又∠APB=135°可得：∠APE=90°，故在Rt△APB中，运用勾股定理可将AE的长求出．
【详解】（1）存在，△AEB≌△CPB．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，
在△AEB和△CPB中，
，
∵∠ABE=∠CBP，BE=BP，
∴△AEB≌△CPB(SAS)；
（2）能重合．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90，
△CPB绕B点按顺时针方向旋转90°可得到△AEB；
（3）PB⊥BE．
理由如下：
∵∠ABE=∠CBP，∠ABC=90°，
∴∠CBP+∠ABP=90°，
∴∠ABE+∠ABP=∠PBE =90°，
∴PB⊥BE；
（4）连接PE，
∵PB=EB，
∴∠BPE=∠BEP，
∵∠PBE=90°，
∴∠BPE=45°，
∵∠APB=135°，
∴∠APE=∠APB-∠BPE=90°，
在Rt△BPE中，PE=，
在Rt△APE中，AE=．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定定理及勾股定理的应用．正确证明△AEB≌△CPB是解题的关键．
3．（24-25九年级上·四川广安·期末）以的为边分别作正方形，正方形，连接．
(1)与有什么数量与位置关系？说明理由．
(2)利用旋转的观点，在此题中，可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．
【答案】(1)，理由见解析
(2)是三角形绕点A顺时针旋转90度得到的
【分析】（1）由正方形的性质得到，再证明，进而证明得到，再利用三角形内角和定理证明，即，即可得到结论；
（2）根据（1）所求可知是三角形绕点A顺时针旋转90度得到的．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴是三角形绕点A顺时针旋转90度得到的．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，旋转的概念等等，证明是解题的关键．
4．（23-24九年级上·陕西西安·期末）在中，，，点M是直线上一动点．连接，将线段绕点M逆时针旋转得到．
(1)如图1，当点M与点A重合时，连接，四边形的形状是________________；
(2)探究猜想：当点M不与点A，点C重合时．
①试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
②直接写出，和之间的数量关系．
【答案】(1)四边形是正方形
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当的辅助线后早全等三角形是解题的关键．
（1）由旋转的性质得出, ,证出，由平行四边形的判定可得出结论．
（2）①过点M作交于点E，连接，则，证明，由全等三角形的性质得出，，，证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，则可得结论．
②分两种情况，当点M在射线上时，由全等三角形的性质及等腰直角三形的性质得出，当点M在射线上时，同理．
【详解】（1）证明：将线段绕点M逆时针旋转，当点M与点A重合，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形．
（2）解：①．证明如下：
如图，过点M作交于点E，连接，则．
，，
．
，
．
．
将线段绕点M逆时针旋转得到，
，．
．
．
．
在和中，
．
，．
．
．
．
，
．
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
．
②设的中点为O，
当点M在射线上时，
由①得： ，
．，
为等腰直角三角形，，
，
；
点M在射线上时，过点M作交于点E，
连接，则．
，，
．
，
．
．
将线段绕点M逆时针旋转得到，
，．
．
．
．
在和中，
．
，，
，，
，
．
，
．
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
，
，
．
5．（24-25九年级上山东临沂·期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E
(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
(2)当0°＜≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)；
小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG(如图3)；
请你从中任选一种方法进行证明；
(3)小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜＜180°时(如图4)，等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)仍然成立，证明见解析
【分析】(1)根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
(2)成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明；
(3)成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明．当135°<α<180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．可以根据小颖和小亮的方法进行证明即可．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=90 ，∠DAE=∠DAM＋∠MAE=45 ，
∴∠BAD＋∠EAC=45 ．
又∵AD平分∠MAB，
∴∠BAD=∠DAM．
∴∠MAE=∠EAC．
∴AE平分∠MAC．
（2）证明：
∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，
∴AF=AB，BD=DF,∠AFD=∠B=45 ，∠BAD=∠FAD．
又∵AC=AB，
∴AF=AC．
由(1)知，∠FAE=∠CAE．
在△AEF和△AEC中，∵AF= AC，∠FAE=∠CAE，AE=AE，
∴△AEF≌△AEC(SAS)．
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45 ．
∴∠DFE=∠AFD ＋∠AFE=90 ．
在Rt△DEF中，DF2＋FE2=DE2，
∴BD2＋CE2=DE2．
（3）当135 ＜＜180 时，等量关系BD2＋CE2=DE2仍然成立．
证明如下：
如图，将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF．
∴BD=DF ,AF=AB，∠AFD=∠ABD=180 -∠ABC= 135 ，∠BAD=∠FAD．
又∵AC=AB，
∴AF=AC．
∠CAE=-∠BAE
=-(45 -∠BAD)
=45 ＋∠BAD
=45 ＋∠FAD
=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，∵AF=AC，∠FAE=∠CAE，AE=AE，
∴△AEF≌△AEC(SAS)．
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45 ．
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135 -45 =90 ．
在Rt△DEF中，DF2＋FE2=DE2，
∴BD2＋CE2=DE2．
【点睛】本题考查了几何变换综合性题目，用到的知识点有角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质等，题目的综合性较强，难度较大，正确做出图形的辅助线是解题的
3. 对称概念混淆
例3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
典型错解：
混淆各类图形的对称特性，如误以A轴对称图形，或误以为C是中心对称图形
避坑指南：
轴对称图形：图形沿一条直线对折后两部分能完全重合。等边三角形是轴对称图形（3条对称轴），但不是中心对称图形。
中心对称图形：图形绕某点旋转180度后能与自身重合。平行四边形是中心对称图形（对角线的交点是对称中心），但不是轴对称图形（矩形、菱形、正方形除外）。
正确解法
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B选项图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
针对练习3
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形．
根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列四幅图片分别是、、天工、文心一言等工具的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中心对称图形的识别．在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A，不是中心对称图形，不合题意；
B，不是中心对称图形，不合题意；
C，是中心对称图形，符合题意；
D，不是中心对称图形，不合题意；
故选C．
3．（24-25九年级上·山西太原·期末）AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
4．（24-25九年级上·北京平谷·期末）数学中有许多精美的曲线．下面这四个曲线中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．星形线 B．三叶玫瑰线
C．阿基米德螺线 D．笛卡笛卡尔叶形线
【答案】A
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
典型错解：
直接加减旋转距离，导致坐标错误
避坑指南：
这类题的最佳方法是“构造全等直角三角形”。
找到旋转中心和待求点。
过旋转中心和点分别作x轴、y轴的垂线，构造直角三角形。
明确旋转方向和角度（如顺时针旋转90°）。
根据旋转性质，找到对应线段相等且垂直的关系，通过全等三角形求出目标点的横纵坐标
正确解法
【答案】D
【分析】作出旋转后的图像，再根据勾股定理即可求出旋转后点A的坐标．
【详解】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∴每旋转6次则回到原位置，
∴第2025次旋转结束后，图形旋转了
如图所示，旋转后的图形为作轴于H，
∵，，
设则
在中
∵点在第三象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解此题的关键．
针对练习4
1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可能是（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．绕原点逆时针旋转 D．绕原点顺时针旋转
【答案】C
【分析】本题主要考查点坐标的运用，根据题意作图，并运用勾股定理，全等三角形的判定和性质即可求解，掌握勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点在第一象限，点在第二象限，
∴点绕原点逆时针旋转，
如图所示，
∴，则，
，则，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点绕原点逆时针旋转得到点，
故选：C．
2．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，过点作轴于点C，根据题意证明出，得到，，进而求解即可．
【详解】如图所示，过点作轴于点C
∵、
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴
∴
又∵
∴
∴，
∴
∴．
故选：A．
3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点A的坐标即可解决问题．
【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，
由旋转可知，，，
∴．
又∵，轴，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵点A的坐标为，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
4．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图，的斜边在轴上，，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据旋转求得角和线段相等是解题的关键．
根据题意，先利用含30度角的直角三角形的性质求得，再根据已知条件及勾股定理求得的长，根据已知，以及旋转的性质可知，，进而可知的坐标．
【详解】解：如图，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
由旋转可知，，
，
，
在轴上，
轴，
．
故答案为：．
5．（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．
(1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A． B． C．
(2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ；
(3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数.
【答案】(1)A
(2)图见解析，
(3)
【分析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解．
（1）线段，的垂直平分线的交点P即为所求；
（2）根据要求作出图形，根据图形可得坐标；
（3）根据旋转的性质，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，旋转中心P的坐标为，
故选：A．
（2）解：如图，即为所求作，点坐标为，
故答案为：；
（3）解：由旋转的性质可得，，，
∴
∴，又，
∴，
则．
5. 分类讨论遗漏
例5．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践
在中，于点．
特例研究：
（1）如图1，若的平分线交于点，则的度数为_________；
操作发现：
如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点都在射线上．
（2）若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）将绕点逆时针旋转，旋转角记为．记旋转中的为，在旋转过程中，点的对应点分别为，直线，与直线交于点，与直线交于点．若，请直接写出旋转角的度数．
典型错解
只考虑旋转角为锐角的情形，忽略了的取值范围出错
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
避坑指南
对于旋转这类问题，由于初始位置和旋转方向的不同，通常会出现两种可能。一定要在草图上画出两种可能的位置，分别进行计算，确保答案完整。
正确解法
【答案】（1）
（2）与之间的数量关系为，理由见解析；
（3）旋转角的度数为或．
【分析】本题考查折叠和旋转，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握折叠和旋转的性质，根据题意进行分类讨论．
（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义计算即可；
（2）由折叠的性质和三角形的内角和定理计算，整体代入，即可得结论；
（3）分类讨论，由折叠和旋转的性质，结合三角形的内角和定理可得，从而可得旋转角度．
【详解】（1）解：∵于点，
∴，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：，
理由：由折叠的性质可知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：与之间的数量关系为．
（3）解：当时，如图，
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
答：旋转角的度数为或．
针对练习5
1．（24-25九年级上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，直线（k是常数，且）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．
(1)求点A的坐标；
(2)将线段绕点A顺时针旋转到，作直线交x轴于点C，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当的面积是面积的一半时，求出此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）将点B的坐标代入解析式，解得，得到，当时，，即可得到点A的坐标；
（2）过点D作轴于点E，证明，得到，则，得到，用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）由勾股定理得到，得到，求出和点C的坐标是，设点P的坐标为，得到，根据的面积是面积的一半得到，解得，或，即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：将点B的坐标代入解析式，
得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴点A的坐标为；
（2）过点D作轴于点E，，
由旋转可知，，
∴，
又∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）在中，，
∵，
∴，
∴，
对于，
当时，，
∴，
则点C的坐标是，
设点P的坐标为，则，
则，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，或，
∴点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数与几何综合题，用到了待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、一次函数与坐标轴的交点的等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
2．（24-25九年级上·北京平谷·期末）中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．
(1)如图1，若，点刚好落在边上，，则______，______；
(2)判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明．
【答案】(1)，
(2)，证明见解析
【分析】（1）由旋转可得：，，得到是等边三角形，推出，，根据三角形的外角性质可推出，进而得到，，得到，推出垂直平分，得到，推出，可求出，最后根据勾股定理即可求解；
（2）连接，由直角三角形的斜边中线定理可得：，推出，得到，由旋转可得：，，
推出，可得，证明，得到，即可证明．
【详解】（1）解：由旋转可得：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
点是边中点，
垂直平分，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2），证明如下：
选择图2，连接，
，点是边中点，
，
，
，
由旋转可得：，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
即；
选择图3，连接，
，点是边中点，
，
，
，
由旋转可得：，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形的斜边中线定理，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识．
3．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图1，将一副三角尺拼在一起，使得与重合．在中，．在中，，如图2，将绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒．
(1)在图1中，________；
(2)随着的旋转，与之间的数量关系为________；
(3)当t为何值时，直线与的一条边平行？
【答案】(1)15
(2)
(3)当秒或5秒或9秒时，直线与的一条边平行
【分析】本题主要考查平行线的判定及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
（1）根据角的和差关系可进行求解；
（2）根据题意可分当在△内部时和当在△外部时，进而分类求解即可；
（3）由题意可知，然后可分当时，当时，当时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：如图①，，，
；
故答案为：15；
（2）解：当在内部时，如图，
，
，
当在外部时，如图，
；
综上所述：与之间的数量关系为，
故答案为：；
（3）解：由题意得：，，
当时，如图所示：
，
解得：；
当时，如图所示：
，
，
解得：；当时，如图所示：
、、三点在同一直线上，
，
解得：；综上所述：当与△的一边平行时，或5或9．
4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）将一副三角板按如图1所示的方式放置，点A、B、E、D在同一条直线上，其中，，，．
活动一：若将图1中的三角尺沿直线向左平移至图2的位置，使点和点重合，和相交于点，则__________；
活动二：将图2中的三角尺绕点按顺时针方向旋转一周．
（1）当旋转至图3位置时，此时，求旋转的角度；
（2）若旋转过程中，边与三角形的任一条边平行时，此时斜边和斜边所在直线所夹的锐角为__________．
【答案】活动一：75；活动二：①；②15，45或75
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，正确分类是解答本题的关键．
活动一：先求出，再根据三角形内角和定理求解即可；
活动二：（1）根据三角形外角的性质求出，从而可求出旋转角度；
（2）分三种情况讨论求解即可．
【详解】解：活动一：∵，，，．
∴，
∵，
∴，
故答案为：75；
活动二：（1）∵，，，
∴，
∴旋转的角度为：；
（2）①如图1，当时，由任务一可得；
②如图2，当时，延长,交于点，
则，
∴,
∴，
∴；
③如图3，当时，延长,交于点，
则；
④如图4，当时，延长,交于点，
则，
∴；
⑤如图5，当时，延长,交的延长线于点，
同理可得；
综上，斜边和斜边所在直线所夹的锐角为，或，
故答案为：15；45或75．
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．例如，图1四边形中，且，那么四边形就叫作对等垂美四边形．
(1)如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点，且，将绕点逆时针旋转（点在点的顺时针方向，，B、C的对应点分别为、．请判断如图3中四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由（仅就图3的情况证明即可）
(2)在（1）的条件下，若，当为直角三角形时，则四边形的面积是___________．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)29或32
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，理解“对等垂美四边形”的定义是解题的关键．
对于（1），连接，交于点N，设与交于点E，证明，得，再证明即可；
对于（2），分两种情况：当是直角时，当为直角时，求出解即可．
【详解】（1）解：四边形是对等垂美四边形，理由如下：
连接，交于点N，设与交于点E，
由题意知，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
在四边形中，，，
∴四边形是对等垂美四边形；
（2）解：①当是直角时，如图，
∵，
∴．
；
当为直角时，如图，过点D作的垂线，垂足为H，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
．
综上所述，四边形的面积是32或29．
故答案为：32或29．
1．如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
根据图象旋转的性质，得，，从而得，结合，，即可求解．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到．
∴，，
∴，
∴，，
∴；
故选：B
2．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段绕点旋转至，则的坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解即可．熟练掌握旋转的性质，数形结合，是解题的关键．
【详解】解：由题意，作图如下：
∴当将线段绕点顺时针旋转至时，；
当将线段绕点逆时针旋转至时，；
故答案为：或．
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度．
(1)画出线段关于直线对称的线段；
(2)画出线段向右平移个单位长度再向下平移个单位长度后得到的线段；
(3)线段可以看成由线段通过一次旋转变换得到，请画出旋转中心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、作图-平移变换、几何变换的类型，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据平移的性质作图即可．
（3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，即可求解．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求作；
（2）如图，线段即为所求作；
（3）如图，点即为所求作.
4．综合与实践：数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．
【探索发现】如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，易证．
【深入思考】
（1）延长，交于点，如图②，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
【拓展延伸】
（2）在（1）的条件下，如图③，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想与的数量关系，直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1），
（2）.
【分析】（1）由全等三角形得到，再通过论证四边形是正方形，得到，等量代换从而得到；
（2）在上截取，连接，可得≌，进而得到是等腰直角三角形，最后得出的结论．
【详解】（1）猜想：
证明：∵，
∴
∵≌，
∴，，
∵
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
即.
（2）猜想：
证明：在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴≌，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了正方形的性质及判定、旋转的性质、全等三角形的性质与判定，关键是构造全等三角形将线段进行转换．
5．已知：在中，，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，使点落在边上的点处，为点的对应点，连接．
(1)如图，当点在线段上时，连接．
填空：的形状为_____；与的数量关系为____．
(2)如图，在（1）的基础上，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图，连接，当时，直接写出的长．
【答案】(1)等边三角形，
(2)菱形，理由见详解
(3)
【分析】（1）由旋转的性质可得，所以，，，，又因为，，所以，，又因为，所以是等边三角形．因为，，，所以，，又因为，，所以，，因为，，故的形状为等边三角形，与的数量关系为．
（2）由（1）得，，因为，，，所以，因为，所以，，，因为，，所以四边形是平行四边形，又因为，所以四边形是菱形．
（3）延长，交于点，由上可得为等边三角形，，又因为，，和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，即，，因为，，，即，因为，，所以，，因为，，所以，，因为，所以，，，因为，，所以，所以．
【详解】（1）解：由旋转的性质可得，
∴，，，，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故的形状为等边三角形，与的数量关系为．
（2）四边形是菱形．
理由：由（1）得，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（3）延长，交于点，如图所示：
由上可得为等边三角形，，
又∵，，
∴和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，
即，，
∵，
∴，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，菱形的判定，解直角三角形的相关计算，熟练掌握以上性质是解题的关键．
6．（1）类比探究
将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P．
①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____；
②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（2）学以致用
如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值．
【答案】（1）①；；②依然成立，证明见解答；
（2）或．
【分析】（1）①根据题意判定和为等腰直角三角形，然后通过证明即可得出结论；
②通过辅助线推出，然后根据证明结论；
（2）根据（1）的结论得出点P为的中点，然后判定为菱形，当其为正方形时面积最大，然后判定当旋转角或时均符合题意，然后构造即可求解．
【详解】解：（1）①根据旋转的性质可知：
，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴（），
∴，
故答案为：；；
②如图，过点F作交于点Q，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理①可证：（），
∴，
故依然成立；
（2）根据（1）可知，点P为中点， ，
∴、为的中位线，
，
∵，
∴四边形是边长为的菱形，
设四边形底边上的高为h．
由于，故当时，四边形面积取最大值，
此时，四边形为正方形，分为旋转角或两种情况，如图：
①当时，作，H为垂足，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
②当时，四边形为正方形，作，为垂足，
同理可得四边形为矩形，
∴，，
∴
∴，
故的值为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
7．综合与实践．
【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围；
【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）；
【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积．
【答案】（1）图见解析，；（2）；（3）
【分析】（1）如图，将绕点旋转，得到，连接，由旋转得到，，证明四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围；
（2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，证明是等边三角形得，在中，运用勾股定理逆定理可得，求出，结合旋转可求解；
（3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转可知，，，，推出，证明，求出即可．
【详解】解：（1）如图，将绕点旋转，得到，连接，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
又∵，
∴，即，
∴，
∴的取值范围为；
（2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
在中，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴的大小为；
（3）如图，将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∵四边形是正方形，，，，
∴，，
∴点在的延长线上，
∴，
，
∴，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是旋转构造全等进行转换．
8．在中，，，在平面内，把绕点旋转得到，垂直直线，垂足为，的延长线交于点．
(1)如图①，若，求证：是等腰三角形；
(2)如图②，若点在上，求证：点是的中点；
(3)连接，写出的最大值和最小值，并在图上画出对应的图形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)有最大值：，有最小值：，图形见解析
【分析】（1）证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，得到，然后证明，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质得到，即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质和旋转的性质得到，证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（3）根据勾股定理和旋转的性质得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上，分两种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：∵绕点旋转得到，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：∵，，
∴，
又∵绕点旋转得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵绕点旋转得到，
∴，，，
∴，，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（3）解：∵，，
∴，
∵绕点旋转得到，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
如图，当、、三点共线且点在点上方时，此时点，点都与点重合，
有最大值：；
如图，当、、三点共线且点在点下方时，此时点，点都与点重合，
有最小值：．
【点睛】本题是旋转综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，本题综合性较强，有一定的难度．掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键．
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