2025-2026学年沪科版八年级数学上册 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 期末综合复习训练题（含解析）

2025-2026学年沪科版八年级数学上册《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》
期末综合复习训练题（附答案）
一、单选题
1．下列语句中，不是命题的是（ ）
A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直
C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交
2．可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
4．已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（ ）
A．3 B．6 C．3或6 D．9
5．将一副三角板按如图所示位置摆放，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，D是中边AB的中点，连接，E是的中点，连接，．若，则阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
8．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
9．“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是 ．
10．在中，为边上的高，若，则的度数为 ．
11．如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为 ．
12．如图，已知小岛在基地的南偏东方向上，与基地相距10海里，货轮在基地的南偏西方向，在小岛的北偏西方向上，则 ．
13．如图，和是的外角，，，若，则 ．
14．如图，是静止在斜坡上小正方体木块的受力情况，其中摩擦力F的方向，支持力N的方向，重力G的方向．若，则的度数是 ．
三、解答题
15．已知的三边分别为，，，且，．
(1)求的取值范围；
(2)若的长为奇数，请判断的形状．
16．如图，已知，求作：
(1)的平分线；
(2)边上的中线；
(3)边上的高．
17．如图，在中，为边上的高，，．
(1)求的度数．
(2)若斜边在直线上，请直接写出的度数．
18．如图，在中，是中线，．
(1)求与的周长差；
(2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长．
19．如图1，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，延长交于点．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系．
20．如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接，
(1)若，，求的度数；
(2)若，，请用含x的代数式表示的度数；
(3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
参考答案
1．C
【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键．
根据命题的定义，命题是表示判断的语句，可以判断真假的陈述句，据此逐项判断即可．
【详解】解：命题必须是陈述句且可判断真假，
选项A、B、D均为陈述句，可判断真假，是命题；
选项C为操作指令，不是陈述句，不是命题，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查假命题的反例概念，解题的关键是明确反例需满足命题的题设但不满足结论．
要说明“若，则”是假命题，需找到一组数满足但，据此逐一分析选项．
【详解】解：命题“若，则”的反例需同时满足：，且．
A、因为，所以，满足；同时，即，不满足结论，符合反例条件；
B、因为，所以，满足；同时，即，满足结论，不是反例；
C、因为，所以，不满足，不符合反例的题设条件；
D、因为，所以，不满足，不符合反例的题设条件．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查直角三角形的判定．
设中，，则，由三角形的内角和定理，即可判断三角形的形状．
【详解】解：不妨设中，，则，
又∵，
∴，
∴，
∴ 三角形为直角三角形．
故选：B．
4．B
【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：①当腰长是3时，则底边长为9，不符合构成三角形的条件，②当底边为3时，则腰长为6，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的腰长．
【详解】解：等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，
有以下两种情况：
①当腰长是3时，则底边长为：，
此时该等腰三角形的三边为：3，3，9，
，不符合构成三角形的条件；
②当底边为3时，则腰长为：，
此时该等腰三角形的三边为：6，6，3，
，符合构成三角形的条件，
综上所述：该等腰三角形的腰长为6，
故选：．
5．C
【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．先根据三角形的内角和得出，再利用可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
则，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
先利用角平分线得到相关角的度数，再结合三角形外角性质求出．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵平分的外角，，
∴,
∵是的外角,
∴,
∴．
故选：．
7．C
【分析】本题考查了中线平分三角形面积，解题关键是理解三角形的中线平分三角形的面积．本题利用阴影面积等于整个大三角形面积的一半即可求解．
【详解】解：∵E是的中点，
∴，
则，
故选： C．
8．如果两个角相等，那么它们的余角相等
【分析】本题考查了改写命题．
将命题改写成“如果…那么…”的形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论．
【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设是“两个角相等”，结论是“它们的余角相等”，
因此改写成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”．
故答案为：如果两个角相等，那么它们的余角相等．
9．有两个角相等的三角形是等腰三角形
【分析】本题考查逆命题，将原命题的题设和结论互换，写出逆命题即可．
【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形；
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
10．或
【分析】本题考查了三角形的高，三角形内角和，正确画出图形是解题的关键．
分高在内部和外部两种情况讨论；利用三角形内角和定理及高的性质计算．
【详解】解：当高在内部时，如图，
，在中，；
当高在外部时（点D在延长线上），
，则，
在中，，
故答案为：或．
11．53°/53度
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题关键是牢记相关概念．本题先求出，再利用角平分线的定义求出后即可求解．
【详解】解：∵于点E，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了方向角的计算，三角形内角和定理，由题意可得，，，，由平行线的性质可得，求出，再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：
，
由题意可得：，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．135
【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理．
根据三角形内角和定理得到，则，根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，根据直角三角形两锐角互余可得 ，由平行线的性质可得，再由垂线的定义和周角的定义即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于E，
∵，，重力G的方向，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．(1)
(2)等腰三角形
【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边计算即可得出结果；
（2）由题意可得，再结合等腰三角形的定义即可得出结果．
【详解】（1）解：∵的三边分别为，，，且，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∵的长为奇数，
∴，
∴，
∴的形状为等腰三角形．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查三角形的角平分线，中线，高，理解三角形的角平分线，中线，高的定义是解题的关键．
（1）作的角平分线，交于点D，线段即为所求；
（2）取边的中点E，连接，线段即为所求；
（3）过点A向边所在直线作垂线，垂足为F，则线段即为所求．
【详解】（1）解：如图，为所求．
（2）解：如图，为所求．
（3）解：如图，为所求．
17．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质．
（1）根据三角形高的定义得出，根据得出，根据，求出结果即可；
（2）分两种情况：当点F在点C的右侧时，当点F在点C的左侧时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵为边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当点F在点C的右侧时，
；
当点F在点C的左侧时，．
18．(1)
(2)线段的长为或
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答；
（2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：的周长，的周长，
∵是中线，
∴，
与的周长差：
（2）解：由图可知：的周长，四边形的周长，
当的周长-四边形的周长时，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴；
四边形的周长 的周长时，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴；
综上，线段的长为或．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练应用三角形外角性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出的度数；
（2）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出，根据平行线的性质得到，进而得到．
【详解】（1）解：，
，
，分别是和的平分线，
，，
，
．
（2），
，
，分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
，
故与的数量关系为．
20．(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解；
（2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解；
（3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解．
本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
【详解】（1）解：是的一个外角，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：是的一个外角，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
由题意，设，
是的一个外角，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
，
，即．