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2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版九年级上、下两册。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．（3分）若2x＝3y（xy≠0），则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一个不透明袋子中装有1个白球，1个红球，3个绿球，4个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ）
A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球
3．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）某二次函数当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小，则该二次函数可能为（ ）
A．y＝（x+3）2 B．y＝﹣（x+3）2 C．y＝﹣（x﹣3）2 D．y＝（x﹣3）2
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点D．若∠BCD＝117°，则∠D＝（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
6．（3分）如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，相似比为，把△OEF缩小，则点E的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣2，1） B．（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
7．（3分）如图，直线MN与⊙O相切于点C，且C为的中点，∠ACM＝20°，则∠BOC的度数为（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
8．（3分）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．测量得这个水容器所能装满水的最大深度是18cm（水面是AB时的深度），开口AB宽为12cm，则这个水容器截面的半径为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
9．（3分）如图1，两块矩形地砖铺成如图形状，已知DC＝FE＝1米，BC＝4米，E、D、C在同一条直线上，点G在AD边上，如果要求∠FBC的大小需大于30°且小于45°，那么满足要求的ED的长可以是（ ）
A．1.5米 B．2米 C．2.5米 D．3米．
10．（3分）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．
①点E在⊙M的内部；
②CD的长为；
③若P与C重合，则∠DPE＝15°；
④在P的运动过程中，若，则；
⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是π．
则正确的选项为（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）若圆锥的侧面展开扇形的半径为3，圆心角为120°，则该圆锥底面圆的半径为 ．
12．（3分）有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米．
13．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，以点A为圆心，AC长为半径画弧CE，连结AC、AE．若AB＝2，则图中阴影部分的面积是 ．
14．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D都在网格的格点上，AB与CD交于点P，则tan∠BPC的值为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AF平分∠CAB交BC于点F，点E是CD上一点，连接AE、EF，若∠EAF＝45°，AB＝4，BC＝3，则EC＝ ， ．
16．（3分）已知半圆O的直径BC长为4，点A为中点，P为上任意一点，AD⊥AP与BP相交于点D．
（1）∠APC＝ （度）；
（2）CD的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：cos230°（sin45°）0+3tan60°
18．（8分）数学文化哥德巴赫猜想哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．
（1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 ．
（2）小组成员从中随机抽取2张卡片，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．
19．（8分）图1、图2均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图1中画出△ABC的中线BD；
（2）在图2中△ABC的边BC上找到一点F，使S△ABF：S△ACF＝2：3；
（3）在图3中画出△ABC的高线CE．
20．（8分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，且∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD；
（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长．
21．（8分）综合与实践活动中，要用测角仪测量赣江上一座桥的桥塔AB的高度（如图1），某学习小组设计了一个方案：如图2，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝62m，EC⊥AB，垂足为C，在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．（参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1）
（1）求线段CD的长；（结果取整数）
（2）求桥塔AB的高度．（结果取整数）
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．
23．（10分）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如次函数y＝x2的图象上，存在一点P（1，﹣1），则点P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）分别判断y＝2x﹣1，y＝x2﹣x，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标；如果不存在，请说明理由．
（2）设函数y（x＞0），y＝x+b图象上的“互反点”分别为A，B，过点B作BC⊥x轴，足为点C，当△ABC的面积为4时，求b的值．
（3）若二次函数y＝x2+bx+c的图象上有且只有一个“互反点”（2，﹣2）．
①求该二次函数的表达式；
②当1≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为，最大值为0，求t的取值范围．
24．（12分）如图，锐角△ABC内接于⊙O，AB＝AC，射线BE经过圆心O并交⊙O于点D，连接AD、CD，BC与AD的延长线交于点F．
（1）求证：DF平分∠CDE．
（2）①比较大小：∠ABD ∠F（填“＞，=，＜”）．
②若，⊙O的半径为，则DF的长为 ．
（3）若∠ACD＝30°，CD＝1，求AB的长 ．
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2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版九年级上、下两册。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．（3分）若2x＝3y（xy≠0），则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据比例的性质分别计算即可．
【解答】解：∵2x＝3y（xy≠0），
∴，，，
故选：D．
2．（3分）一个不透明袋子中装有1个白球，1个红球，3个绿球，4个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ）
A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球
【答案】C
【分析】分别求出摸出四种颜色球的概率即可得到答案．
【解答】解：一个不透明袋子中装有1个白球，1个红球，3个绿球，4个黑球，
A、从中随机摸出一个球，摸出白球的概率为：，不符合题意；
B、从中随机摸出一个球，摸出红球的概率为：，不符合题意；
C、从中随机摸出一个球，摸出绿球的概率为：，符合题意；
D、从中随机摸出一个球，摸出黑球的概率为：，不符合题意，
故选：C．
3．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三视图的特点，知道俯视图从图形的上面看到一个矩形，在面上有纵向线段．
【解答】解：从上面看，可得选项B的图形．
故选：B．
4．（3分）某二次函数当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小，则该二次函数可能为（ ）
A．y＝（x+3）2 B．y＝﹣（x+3）2 C．y＝﹣（x﹣3）2 D．y＝（x﹣3）2
【答案】D
【分析】根据当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小，可知对称轴为直线x＝3，图象呈现“左降”和“右升”趋势，可判断开口方向向上，从而可得答案．
【解答】解：因为当x＞3时，y随x的增大而增大；
当x＜3时，y随x的增大而减小，
故对称轴为直线x＝3，图象呈现“左降”和“右升”趋势，
故开口方向向上，只有D选项符合要求，
故选：D．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点D．若∠BCD＝117°，则∠D＝（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【答案】B
【分析】先根据切线的性质得∠DCO＝90°，根据等腰三角形的性质得∠OCB＝∠OBC，根据三角形的内角和进而得到答案．
【解答】解：连接CO，
∵过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点D，
∴∠DCO＝90°，
∵∠BCD＝117°，
∴∠OCB＝∠BCD﹣∠DCO＝27°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝27°，
∴∠CDB＝180°﹣117°﹣27°＝36°，
即∠D＝36°；
故选：B．
6．（3分）如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，相似比为，把△OEF缩小，则点E的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣2，1） B．（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【答案】D
【分析】关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．
E（﹣4，2）以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以或．
【解答】解：∵点E（﹣4，2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，
∴点E的对应点的坐标是：或，即（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选：D．
7．（3分）如图，直线MN与⊙O相切于点C，且C为的中点，∠ACM＝20°，则∠BOC的度数为（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
【答案】B
【分析】根据切线的性质，得到∠OCM＝90°，进而求出∠OCA的度数，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出∠AOC的度数，等弧对等角，得到∠BOC＝∠AOC即可．
【解答】解：∵直线MN与⊙O相切于点C，
∴OC⊥MN，
∴∠OCM＝90°，
∵∠ACM＝20°，
∴∠OCA＝∠OCM﹣∠ACM＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝70°，
∴∠AOC＝180°﹣2×70°＝40°，
∵C为的中点，
∴，
∴∠BOC＝∠AOC＝40°；
故选：B．
8．（3分）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．测量得这个水容器所能装满水的最大深度是18cm（水面是AB时的深度），开口AB宽为12cm，则这个水容器截面的半径为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【分析】连接OA，AB，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出AD的长，设OA＝OC＝rcm，再根据勾股定理即可得出半径，即可求解．
【解答】解：连接OA，AB，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝12cm，
∴ADAB12＝6cm，
由题意得：设OA＝OC＝rcm，
∵这个水容器所能装水的最大深度是18cm，
∴OD＝（18﹣r）cm，
在Rt△OAD中，OA2﹣AD2＝OD2，即r2﹣62＝（18﹣r）2，
整理得，36r＝360，
解得r＝10，
故选：B．
9．（3分）如图1，两块矩形地砖铺成如图形状，已知DC＝FE＝1米，BC＝4米，E、D、C在同一条直线上，点G在AD边上，如果要求∠FBC的大小需大于30°且小于45°，那么满足要求的ED的长可以是（ ）
A．1.5米 B．2米 C．2.5米 D．3米．
【答案】A
【分析】延长FG交BC于点H，根据30°和45°角的正切可得1＜FG＜2，进而可得ED．
【解答】解：延长FG交BC于点H，
由题意得，∠C＝∠E＝∠EFG＝90°，
∴∠CHF＝90°，
∴CH＝FE＝1米，
∵∠C＝∠CDG＝∠CHG＝90°，DG＝DC＝FE＝1米，
∴四边形CDGH是正方形，
∴GH＝CH＝1米，BH＝4﹣1＝3米．
当∠FBH＝30°时，tan30°，
∴FH＝3（米），FG＝（1）米．
当∠FBH＝45°时，tan45°，
∴FH＝3×1＝3（米），FG＝3﹣1＝2（米）．
∵要求∠FBC的大小需大于30°且小于45°，
∴1＜FG＜2，
∴1＜ED＜2．
故选：A．
10．（3分）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．
①点E在⊙M的内部；
②CD的长为；
③若P与C重合，则∠DPE＝15°；
④在P的运动过程中，若，则；
⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是π．
则正确的选项为（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
【答案】D
【分析】①ME＝2＝AM，可知点E在⊙M上，答案可求；
②由题意，OD，利用勾股定理OC可求，故CD＝OC+OD，结论可得；
③由锐角三角函数可求∠OCM＝30°，利用平行线和等腰三角形的性质可求∠ECD∠OCM＝15°，结论可得；
④连接EA，EB，过点A作AK⊥PE于K，利用圆周角定理和锐角三角函数求得AK，EK，KP，则PE＝EK+PK，结论可得；
⑤连接MN，则MN⊥PE，可得点N的运动轨迹，根据圆的周长公式，可得点N运动的路径长．
【解答】解：∵yx2，
∴顶点E（1，2）．
∴M（1，0）．
∴OM＝1，ME＝2．
令x＝0，则y．
∴D（0，）．
∴OD．
令y＝0，则0．
解得：x＝﹣1或x＝3．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
∴OA＝1，OB＝3．
∴AB＝4．
∴⊙M的半径为2．
①∵ME＝2，⊙M的半径为2，
∴E点在⊙M上．
故①不正确；
②连接MC，则MC＝2，如图：
在Rt△OCM中，sin∠OCM，
∴∠OCM＝30°．
∴OC＝MC×cos30°．
∴CD＝OC+OD．
故②不正确；
③连接MC，ME，CE，如图：
由②知：∠OCM＝30°．
∵ME∥OC，
∴∠MEC＝∠DCE．
∵ME＝MC＝2，
∴∠MCE＝∠MEC．
∴∠MCE＝∠DCE∠OCM＝15°．
∵P与C重合，
∴∠DPE＝∠DCE＝15°．
故③正确；
④如图，连接PB，AE，ME，过点A作AK⊥PE于K，
∵ME＝2，
∴E点在⊙M上．
∴∠AEP＝∠ABP．
∵AB是圆的直径，
∴∠APB＝90°．
∴sin∠ABP．
∴∠ABP＝60°．
∴∠AEP＝60°．
∵AE，
∴EK＝AE cos∠AEP＝2．
AK＝AE sin∠AEP＝2．
∵∠AME＝90°，
∴∠APE∠AME＝45°．
∴△AKP为等腰直角三角形．
∴PK＝AK．
∴PE＝EK+PK．
故④正确；
⑤如图，连接AE，BE，设AE，BE的中点分别为G，F，连接GF交ME于点R．
∵G，F为EA，EB的中点，
∴FG为△EAB的中位线．
∴FGAB＝2．
连接MN，
∵N为PE的中点，M为圆心，
∴MN⊥PE．
∴点N的运动轨迹为以ME为直径的半圆．
即点N的运动轨迹是以点G，F为端点的半圆．
∴点N运动的路径长是2π×1＝π．
故⑤正确；
综上，正确的选项为③④⑤．
故选：D．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）若圆锥的侧面展开扇形的半径为3，圆心角为120°，则该圆锥底面圆的半径为 1 ．
【答案】1
【分析】根据圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长列方程求解即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径长为r，
∴，
解得r＝1，
故答案为：1．
12．（3分）有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 2.6 米．
【答案】2.6
【分析】题目中给出的坡度i＝12：5，表示垂直高度与水平距离的比例为12：5，已知最高点到地面的距离为2.4米，需先求出水平距离，再利用勾股定理求斜边长．
【解答】解：设水平距离为m米，斜边长为n米，
根据题意可得：，
∴m＝1，
∴．
故答案为：2.6．
13．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，以点A为圆心，AC长为半径画弧CE，连结AC、AE．若AB＝2，则图中阴影部分的面积是 2π ．
【答案】2π
【分析】作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB交AC于点L，连接OC，OE，先求出∠BOC，∠BAC，再利用圆周角定理得到∠CAE，得到∠ALB＝90°后，利用勾股定理求出AC，代入扇形面积公式即可．
【解答】解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB交AC于点L，连接OC，OE，
∵，
∴，
∵CB＝EF＝AB＝2，
∴，
∴OB⊥AC，AL＝CL，
∴∠ALB＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：2π．
14．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D都在网格的格点上，AB与CD交于点P，则tan∠BPC的值为 2 ．
【答案】2
【分析】连接EB，交DC于F，根据正方形的性质得到BE⊥DC，DF＝FC，FB＝FD，DB∥AC，证明△DPB∽△CPA，根据相似三角形的性质得到DP＝PF，再根据正切的定义计算即可．
【解答】解：如图，连接EB，交DC于F，
∵四边形DBCE为正方形，
∴BE⊥DC，DF＝FC，FB＝FD，DB∥AC，
∴△DPB∽△CPA，
∴，
∴DP＝PFBF，
∴tan∠BPC2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AF平分∠CAB交BC于点F，点E是CD上一点，连接AE、EF，若∠EAF＝45°，AB＝4，BC＝3，则EC＝ ， ．
【答案】，
【分析】作HE⊥AC于点H，由矩形的性质得∠D＝∠DAB＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝3，求得AC＝5，由∠BAF＝∠CAF，∠EAF＝45°，得∠CAE+∠BAF＝45°，∠DAE+∠BAF＝45°，推导出∠CAE＝∠DAE，则HE＝DE＝4﹣EC，可根据“HL”证明Rt△AHE≌Rt△ADE，得AH＝AD＝3，求得CH＝2，由勾股定理得22+（4﹣EC）2＝EC2，求得EC，则DE，所以AE，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：作HE⊥AC于点H，则∠AHE＝∠CHE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，
∴∠D＝∠DAB＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝3，
∴AC5，
∵AF平分∠CAB交BC于点F，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠CAE+∠BAF＝∠CAE+∠CAF＝45°，∠DAE+∠BAF＝∠DAB﹣∠EAF＝45°，
∴∠CAE+∠BAF＝∠DAE+∠BAF，
∴∠CAE＝∠DAE，
∵AE平分∠CAD，且HE⊥AC于点H，DE⊥AD于点D，
∴HE＝DE＝4﹣EC，
在Rt△AHE和Rt△ADE中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△ADE（HL），
∴AH＝AD＝3，
∴CH＝AC﹣AH＝2，
∵CH2+HE2＝EC2，
∴22+（4﹣EC）2＝EC2，
解得EC，
∴DE＝4，
∴AE，
∴，
故答案为：，．
16．（3分）已知半圆O的直径BC长为4，点A为中点，P为上任意一点，AD⊥AP与BP相交于点D．
（1）∠APC＝ 135 （度）；
（2）CD的最小值为 22 ．
【答案】（1）135；（2）22．
【分析】（1）由点A为中点，得到AB＝AC，再由圆周角定理及其推论可得△ABC是等腰直角三角形，从而确定∠ABC＝45°，最后，根据四边形ABCP是圆的内接四边形求解即可得到答案；
（2）由（1）中结论，结合已知条件得到△ADP是等腰直角三角形，即AD＝AP，由瓜豆原理，利用全等三角形判定与性质确定点D在以O′为圆心、O′B为半径的圆上运动，结合点到圆周上动点距离最值求法与勾股定理即可得到答案．
【解答】解：（1）∵点A为中点，
∴AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB，
∵半圆O的直径为BC，
∴∠BAC＝90°，即△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵四边形ABCP是圆的内接四边形，
∴∠APC+∠ABC＝180°，则∠APC＝180°﹣45°＝135°；
（2）由（1）知∠APC＝135°，△ABC是等腰直角三角形，
∵半圆O的直径为BC，
∴∠BPC＝90°，则∠APD＝45°，
∵AD⊥AP，
∴△ADP是等腰直角三角形，即AD＝AP，
∵AD⊥AP，AD＝AP，
∴P在上运动过程中始终保持∠PAD＝90°、，
连接OA，将OA绕着点A顺时针旋转90°到O′A，连接OP、O′D，如图所示：
∴O′A＝OA＝OP，
∵∠O′AD+∠DAO＝90°＝∠OAP+∠DAO，
∴∠O′AD＝∠OAP，
在△O′AD和△OAP中，
∴△O′AD≌△OAP（SAS），
∴O′D＝OP，
∵半圆O的直径BC长为4，点A为中点，
∴OD＝OP2，∠AOC＝∠AOB＝90°，
根据题意，D是动点，P在弧上运动，则OP旋转的角度是∠AOC＝90°，
∴点D在以O′为圆心、O′B为半径的圆上运动，O′D旋转的角度是90°，即∠BDA＝∠APC，连接O′B，如图所示：
∴四边形O′BOA是正方形，且边长为2，
∴O′B⊥BC，O′B＝2，
由点到圆周上动点距离关系可知，当O′、D、C三点共线时，CD可取到最小值，
∵在Rt△O′BC中，CO′2，
∴CD的最小值为CO′﹣O′D＝22，
故答案为：（1）135；（2）22．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：cos230°（sin45°）0+3tan60°
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：cos230°（sin45°）0+3tan60°
23
23
＝1
18．（8分）数学文化哥德巴赫猜想哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．
（1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 ．
（2）小组成员从中随机抽取2张卡片，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的数字是偶数的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及这2张卡片上的数字之和是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的数字是偶数的结果有：2，共1种，
∴卡片上的数字是偶数的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
2 3 5 7
2 （2，3） （2，5） （2，7）
3 （3，2） （3，5） （3，7）
5 （5，2） （5，3） （5，7）
7 （7，2） （7，3） （7，5）
共有12种等可能的结果，其中这2张卡片上的数字之和是偶数的结果有：（3，5），（3，7），（5，3），（5，7），（7，3），（7，5），共6种，
∴这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为．
19．（8分）图1、图2均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图1中画出△ABC的中线BD；
（2）在图2中△ABC的边BC上找到一点F，使S△ABF：S△ACF＝2：3；
（3）在图3中画出△ABC的高线CE．
【分析】（1）取格点P，Q，连接PQ交AC于点D，连接BD，线段BD即为所求；
（2）取格点P，Q，连接PQ交BC于点F，连接AF，点F即为所求；
（3）取格点P，连接CP并延长，交AB于点E，CE即为所求．
【解答】解：（1）△ABC的中线BD，如图①即为所求；
∵四边形APCQ是正方形，
∴点D是AC的中点，
∴BD是△ABC的中线；
（2）使S△ABF：S△ACF＝2：3的点F，如图②即为所求；
∵CP∥BQ，
∴△BQF∽△CPF，
∴，
∴S△ABF：S△ACF＝2：3．
（3）△ABC的高线CE，如图③即为所求．
由图可知：△CQP≌△BMA，
∴∠BCP＝∠ABM，
∴∠BCP+∠ABC＝∠ABM+∠ABC＝∠MBC＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴CE⊥AB．
20．（8分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，且∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD；
（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长．
【分析】（1）根据CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED，即有∠ADB＝∠AEC，结合∠DAC＝∠B，可得△ACE∽△BAD；
（2）根据△ACE∽△BAD，可得，即，问题随之得解．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠ADB＝180°﹣∠CDE，∠AEC＝180°﹣∠CED，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠DAC＝∠B，
∴△ACE∽△BAD，
（2）解：∵在（1）中已证明△ACE∽△BAD，
∴，，
∵CE＝3，BD＝4，AE＝2，
∴，
∴ED＝AD﹣AE＝6﹣2＝4．
21．（8分）综合与实践活动中，要用测角仪测量赣江上一座桥的桥塔AB的高度（如图1），某学习小组设计了一个方案：如图2，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝62m，EC⊥AB，垂足为C，在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．（参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1）
（1）求线段CD的长；（结果取整数）
（2）求桥塔AB的高度．（结果取整数）
【分析】（1）设CD＝xm，解Rt△BCD，得到BC＝xm．解Rt△BCE，得到BC＝（x+62） tan31°．则x＝（x+62） tan31°．解方程即可；
（2）求出AC，根据AB＝AC+BC即可得到答案．
【解答】解：（1）设CD＝xm，则CE＝CD+DE＝（x+62）m．
∵EC⊥AB，
∴∠BCE＝∠ACD＝90°．
在Rt△BCD中，，
∴BC＝CD tan∠CDB＝x tan45°＝xm．
在Rt△BCE中，，
∴BC＝CE tan∠CEB＝（x+62） tan31°．
∴x＝（x+62） tan31°．
∴．
答：线段CD的长约为93m．
（2）在Rt△ACD中，，
∴AC＝CD tan∠CDA＝93×tan6°≈93×0.1＝9.3m．
∴AB＝AC+BC＝93+9.3＝102.3≈102m．
答：桥塔AB的高度约为102m．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA＝EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论．
（2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△FAD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝EAD，
∴EA∥OD，
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线DE与⊙O相切．
（2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：
∴∠DFA＝∠DEA＝90°，
在△EAD和△FAD中，
，
∴△EAD≌△FAD（AAS），
∴AF＝AE＝8，DF＝DE，
∵OA＝OD＝5，
∴OF＝3，
在Rt△DOF中，DF4，
∴DE＝DF＝4．
23．（10分）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如次函数y＝x2的图象上，存在一点P（1，﹣1），则点P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）分别判断y＝2x﹣1，y＝x2﹣x，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标；如果不存在，请说明理由．
（2）设函数y（x＞0），y＝x+b图象上的“互反点”分别为A，B，过点B作BC⊥x轴，足为点C，当△ABC的面积为4时，求b的值．
（3）若二次函数y＝x2+bx+c的图象上有且只有一个“互反点”（2，﹣2）．
①求该二次函数的表达式；
②当1≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为，最大值为0，求t的取值范围．
【分析】（1）根据定义将（x，﹣x）代入方程，解方程判断即可；
（2）同（1）先求得“互反点”A（2，﹣2）、，得到，利用，解方程即可得到答案；
（3）①把（2，﹣2）代入y＝x2+bx+c得y＝x2+bx﹣6﹣2b，根据题意可知二次函数y＝x2+bx﹣6﹣2b的图象与直线y＝﹣x有且只有一个交点，利用Δ＝0，得到方程解之得到b值，即可得到解析式；
②将①得到的解析式化为顶点式，得到其对称轴和最小值，再求得其与x轴的两个交点坐标，即可判断出t的取值范围．
【解答】解：（1）y＝2x﹣1，y＝x2﹣x的图象上存在“互反点”；理由如下：
根据题意，得：﹣x＝2x﹣1，
解得：，
∴函数y＝2x﹣1的图象上“互反点”的坐标为；
根据题意，得：﹣x＝x2﹣x，
解得：x＝0，
∴函数y＝x2﹣x的图象上“互反点”的坐标为（0，0）；
（2）函数y（x＞0），y＝x+b图象上的“互反点”分别为A，B，
令，
解得：x＝2（负值已舍去），
∴A（2，﹣2），
在函数y＝x+b中，令﹣x＝x+b，
解得：，
∴，
∴，
∴SABCBC |xA﹣xB|
b||2
b×（2b）|
＝|，
∵SABC＝4，
∴，
∴，
解得：b＝4或b＝﹣8或（无解），
∴b的值为4或﹣8；
（3）①∵二次函数y＝x2+bx+c的图象上有且只有一个“互反点”（2，﹣2），把（2，﹣2）代入y＝x2+bx+c得：
﹣2＝4+2b+c，
解得：c＝﹣6﹣2b，
∴y＝x2+bx﹣6﹣2b．
∵函数图象上的“互反点”必在直线y＝﹣x上，
∴二次函数y＝x2+bx﹣6﹣2b的图象上有且只有一个“互反点”，即二次函数y＝x2+bx﹣6﹣2b的图象与直线y＝﹣x有且只有一个交点，
∴有且仅有一个解，
联立得整理得：x2+（b+1）x﹣6﹣2b＝0，
∴Δ＝（b+1）2﹣4×1×（﹣6﹣2b）＝0，
解得：b1＝b2＝﹣5，c＝﹣6﹣2b＝﹣6﹣2×（﹣5）＝4，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣5x+4；
②∵，
∴其图象的对称轴为直线，最小值为，
当y＝0时，得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4，
∴二次函数图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（4，0），
∵当1≤x≤4时，二次函数y＝x2﹣5x+4的最小值为，最大值为0．
∴t的取值范围是．
24．（12分）如图，锐角△ABC内接于⊙O，AB＝AC，射线BE经过圆心O并交⊙O于点D，连接AD、CD，BC与AD的延长线交于点F．
（1）求证：DF平分∠CDE．
（2）①比较大小：∠ABD ＝ ∠F（填“＞，═，＜”）．
②若，⊙O的半径为，则DF的长为 6 ．
（3）若∠ACD＝30°，CD＝1，求AB的长 ．
【分析】（1）先利用AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB，再根据圆周角定理得到∠EDF＝∠FDC，然后证明∠EDF＝∠CDF，即可得到结论；
（2）①推导出△ACF∽△ADC，从而得到∠ACD＝∠F，由∠ABD＝∠ACD，推导出∠ABD＝∠F，即可得解；
②根据圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝90°，再利用正切的定义得到tan∠ABD，推导出BD＝2，接着证明△DAB∽△BAF，然后利用相似比可计算出AF的长，从而计算AF﹣AD即可得解；
（3）根据圆周角定理得到∠ABD＝∠ACD＝30°，则∠ADB＝90°﹣∠ABD＝60°，再判断△ABC为等边三角形得到∠BAC＝60°，AB＝BC，接着计算出∠DBC＝30°，然后计算出BC，从而得到AB的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，∠EDF＝∠ADB，
∴∠EDF＝∠ABC．
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°．
∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠BCD＝180°．
∵∠ADC+∠FDC＝180°，
∴∠FDC＝∠ABC，
∴∠EDF＝∠FDC，
∴DF平分∠CDE；
（2）解：①由上题可知：∠ABC＝∠ACB＝∠EDF＝∠FDC，
∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝∠ABC+∠BDC，∠ADC＝∠EDF+∠BDC，
∴∠ACF＝∠ADC．
∵∠CAF＝∠DAC，
∴△ACF∽△ADC，
∴∠ACD＝∠F，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝∠F，
故答案为：＝；
②∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵，
∴，
∵⊙O半径为，
∴，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AD2+AB2＝BD2，
∴，
解得：AD＝2（负值已舍去），
∴AB＝2AD＝4．
∵∠ADB＝∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ABC．
∵∠DAB＝∠BAF＝90°，
∴△DAB∽△BAF，
∴，
∴，
解得：AF＝8（经检验，是分式方程的根，且符合题意），
∴DF＝AF﹣AD＝6，
故答案为：6；
（3）解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°．
∵∠ACD＝∠ABD＝30°，∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABD＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝BC，
∴∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝30°，
∵CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
在直角三角形BCD中，由勾股定理得：，
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