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2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版九年级数学上册+下册第一章。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．当时，的函数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知线段，，则，的比例中项是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A，B，C为上的点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．三角形任意两边之和大于第三边
B．任意选择某一电视频道，正在播放新闻联播
C．一个有理数的绝对值是非负数
D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7
5．如图，点D，E分别是边的中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．的周长的周长 D．的面积四边形的面积
6．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．一个不透明的口袋中装有四个相同的小球，它们分别标号为，，，．从中同时摸出两个，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于 B．两个小球的标号之和大于
C．两个小球的标号之和等于 D．两个小球的标号之和大于
8．如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点是，点P在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有两个不相等的实数根
C．点P到直线的最大距离 D．
10．如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若，则的值为 ．
12．比较大小： ．（填“>”，“=”或“<”）
13．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，，则弧的长为 ．
14．已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和 ．
15．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度与足球飞行的时间之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 s．
16．如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论： ； ； ； ； ．其中正确的是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)；
(2)．
18．（8分）如图，在中，平分交于点，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
19．（8分）一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回．搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球次数 50 100 200 400 1000 2000
摸到白球的频数 18 35 72 130 332 666
摸到白球的频率 0.360 0.350 0.360 0.325 0.332 0.333
(1)该小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数为_____（精确到0.01），由此估计出袋子中红球有______个；
(2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到不同颜色的球的概率．
(3)现从该袋子中摸出1个球，记下颜色后放回搅匀，再摸1个球记下颜色．请用画树状图或列表的方法求两次摸到的球至少有一次是红球的概率．
20．（8分）如图，已知在中弦，且，垂足为H，于E，于F．
(1)证明：四边形为正方形；
(2)若，，则直径等于______．
21．（8分）周末小明和小亮准备去公园做义务安全员．如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点C位于景点A的正北方向，景点D位于景点C的南偏东方向且距离C处400米处，景点E位于景点C的正西方向，景点D位于景点A的东北方向，景点B位于景点A的正西方600米处．（参考数据：，，，）
(1)求景点A到景点C的距离（结果用根号表示）；
(2)小明从景点C出发，沿正西方向巡视，小亮从景点B出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到达P处时，小亮刚好到达边上的Q处，此时，P处到景点A的距离与Q处到景点A的距离相等，求的长度（结果保留整数）．
22．（10分）如图，在矩形中，E为的中点，过点E作交于点F．
(1)若，，求的长；
(2)求证：平分；
(3)在上截取，使，求的值．
23．（10分）已知二次函数（b，c为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1．
(1)求b的值．
(2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
①若，求的最大值．
②若，且时，始终有，求t的值．
24．（12分）新定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．
(1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示
(2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角．
(3)如图3，在（2）的条件下，若，求：线段的最大值．
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2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版九年级数学上册+下册第一章。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．当时，的函数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】解：当时，的函数值为，
故选：B．
2．已知线段，，则，的比例中项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 是，的比例中项，
，
，
线段长度为正数，
，
故选：B．
3．如图，点A，B，C为上的点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵，
∴．
故选：D．
4．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．三角形任意两边之和大于第三边
B．任意选择某一电视频道，正在播放新闻联播
C．一个有理数的绝对值是非负数
D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7
【答案】B
【详解】∵随机事件是可能发生也可能不发生的事件，
A．三角形任意两边之和大于第三边，是必然事件；
B．任意选择某一电视频道，正在播放新闻联播，可能发生也可能不发生，是随机事件；
C．一个有理数的绝对值是非负数，是必然事件；
D．掷一枚质地均匀的骰子， 掷出的点数是7，是不可能事件．
故选：B．
5．如图，点D，E分别是边的中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．的周长的周长 D．的面积四边形的面积
【答案】B
【详解】解：∵ D、E分别是的中点，
∴，，
∴，，
∴的周长的周长，，
∴的面积四边形的面积．
所以A，C，D正确，B错误；
故选：B．
6．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，作于点, 作于点，
由已知可得，，
，
，
．
故选：C．
7．一个不透明的口袋中装有四个相同的小球，它们分别标号为，，，．从中同时摸出两个，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于 B．两个小球的标号之和大于
C．两个小球的标号之和等于 D．两个小球的标号之和大于
【答案】C
【详解】解：A．两个小球的标号之和等于是不可能事件，不合题意；
B．两个小球的标号之和大于是必然事件，不合题意；
C．两个小球的标号之和等于是随机事件，符合题意；
D．两个小球的标号之和大于是不可能事件，不合题意；
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：与是以O为位似中心的位似图形，
，
∵，，
与的相似比为，
点B的坐标为，
点D的坐标是，
故选：C．
9．如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点是，点P在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有两个不相等的实数根
C．点P到直线的最大距离 D．
【答案】D
【详解】解：由图象可知开口向下，
∴，
∵函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
故A不符合题意；
∵抛物线的顶点坐标是，
∴时，方程的解为，
∴方程有两个相等的实数根，
故B不符合题意；
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
设抛物线，将点代入，
∴，
解得，
∴，
过P点作轴交于点G，
设P点坐标为，则，
∴，
∴当 时， 有最大值，
此时，为最大值，
由图，，设点P到的距离为h，
则，
当最大时，h取最大值，
∴，
解得，，
∴点P到直线AB的最大距离为，
故C不符合题意；
当时，，
∴，即，
故D符合题意；
故选：D．
10．如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：连接，作于点，
原点为正六边形的中心，轴，
，
又，
是等边三角形，
，
，，
设正六边形的边长为，
则，
平移后D的对应点．
点都在反比例函数图象上，
，
解得（舍）或，
，
．
故选：A．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴设，（），代入 得：
故答案为：．
12．比较大小： ．（填“>”，“=”或“<”）
【答案】>
【详解】解：∵，正弦值随着角的增大而增大，
又∵，
∴，即
故答案为：．
13．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，，则弧的长为 ．
【答案】/
【详解】解：连接，如图，
∵四边形是的内接四边形，，
，
故答案为：．
14．已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和 ．
【答案】
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
即，
∴，
∵关于的一元二次方程的两个根分别为和，
根据根与系数的关系，有，
∴，
解得：，
故答案为：．
15．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度与足球飞行的时间之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 s．
【答案】1.6
【详解】解：设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，
将，代入，得
，
解得，
，
令得，
解得或，
足球从踢出到落地所需的时间是．
故答案为：1.6．
16．如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论： ； ； ； ； ．其中正确的是 ．
【答案】
【详解】解：由折叠性质可得，，，，，，，，，
∴，，
∴，
∴，故正确；
设，，则，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，故错误；
在中，设，则，
∴，
解得，
∴，，
在中，
，
∴，，故正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴与不相似，故错误；
综上，正确的是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】（1）解：
；······（4分）
（2）解：
······（4分）
18．（8分）如图，在中，平分交于点，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，，
，
平分交于点，
，······（2分）
，
，
∽．······（2分）
（2）解：如图，，
，
平分，
，
，
，······（2分）
，
，
，
．······（2分）
19．（8分）一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回．搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球次数 50 100 200 400 1000 2000
摸到白球的频数 18 35 72 130 332 666
摸到白球的频率 0.360 0.350 0.360 0.325 0.332 0.333
(1)该小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数为_____（精确到0.01），由此估计出袋子中红球有______个；
(2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到不同颜色的球的概率．
(3)现从该袋子中摸出1个球，记下颜色后放回搅匀，再摸1个球记下颜色．请用画树状图或列表的方法求两次摸到的球至少有一次是红球的概率．
【答案】（1）解：根据表格信息得到摸到白球的频率为，
设红球有个，则共有个球，
∴，······（1分）
解得，，
∵是整数，
∴，······（1分）
检验，当时，原分式方程有意义，
故答案为：0.33，2；
（2）解：将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图：
······（2分）
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则P（1个白球，1个红球）；······（1分）
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到不同颜色的球的概率为．
（3）解：将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图：
······（2分）
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中至少有一次是红球的情况有8种，
则P（至少有一次是红球）；
所以至少有一次是红球的概率为．······（1分）
20．（8分）如图，已知在中弦，且，垂足为H，于E，于F．
(1)证明：四边形为正方形；
(2)若，，则直径等于______．
【答案】（1）解：证明：连接，．
，垂足为点于点，于点，
，，，
四边形是矩形，······（2分）
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形；······（2分）
（2），，
，
，
，
，······（2分）
，
的半径为
的直径为．······（2分）
21．（8分）周末小明和小亮准备去公园做义务安全员．如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点C位于景点A的正北方向，景点D位于景点C的南偏东方向且距离C处400米处，景点E位于景点C的正西方向，景点D位于景点A的东北方向，景点B位于景点A的正西方600米处．（参考数据：，，，）
(1)求景点A到景点C的距离（结果用根号表示）；
(2)小明从景点C出发，沿正西方向巡视，小亮从景点B出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到达P处时，小亮刚好到达边上的Q处，此时，P处到景点A的距离与Q处到景点A的距离相等，求的长度（结果保留整数）．
【答案】（1）解：由题可知，，，
如图，过作于F：
，
∴，
∴，
∴，······（2分）
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即景点A到景点C的距离为米；······（2分）
（2）解：如图：
设，则，，
由（1）知，
在中，，
则，解得，······（2分）
∴，
过P作于G，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
即的长度为632米．······（2分）
22．（10分）如图，在矩形中，E为的中点，过点E作交于点F．
(1)若，，求的长；
(2)求证：平分；
(3)在上截取，使，求的值．
【答案】（1）解：∵E为的中点，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，······（2分）
∴，
即，
∴．······（1分）
（2）证明：如图，过点E作交于点，
∵四边形是矩形，E为的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，······（2分）
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即平分；······（1分）
（3）解：过点E作，
∵平分，
∴，
∵，
∴，······（2分）
设，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．······（2分）
23．（10分）已知二次函数（b，c为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1．
(1)求b的值．
(2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
①若，求的最大值．
②若，且时，始终有，求t的值．
【答案】（1）解：∵二次函数，，
∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，
∵二次函数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1，
∴，
∴；······（3分）
（2）解：①∵点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上，
∴，，······（1分）
又∵，
∴
，······（2分）
∴当时，有最大值为；······（1分）
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，······（2分）
整理得：，
∵当时，始终有，
∴当时，等式恒成立，
∴且，
解得．······（2分）
24．（12分）新定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．
(1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示
(2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角．
(3)如图3，在（2）的条件下，若，求：线段的最大值．
【答案】（1）解：∵是中的好望角，
∴是的角平分线，
∴，······（2分）
∵，
∴，
∴，
∴．······（2分）
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，······（2分）
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴是中的好望角．······（2分）
（3）解：记圆心为，连接，连接，
∵平分，平分，
∴平分，
∴是的好望角，而，
∴，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，······（2分）
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当最大时，的值最大，
∵，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴为直径时，最大，此时，
∴的最大值为．······（2分）
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