中小学教育资源及组卷应用平台
期末复习03 图形的轴对称以及等腰三角形的判定与性质8大题型突破
目录：
一、等腰三角形的性质
二、等腰三角形的判定
三、等腰三角形的判定与性质
四、等边三角形的性质
五、等边三角形的判定
六、等边三角形的判定与性质
七、轴对称的性质
八、轴对称图形
一．等腰三角形的性质（共21小题）
1．（2024秋 上城区期末）若等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．14或16
【答案】D
【分析】等腰三角形的两腰相等，题目中没说那是腰，所以用两种情况，讨论可得解．
【解答】解：当腰长是4时，三边为4，4，6，能构成三角形，故周长为4+4+6＝14．
当腰长是6时，三边为6，6，4，能构成三角形，故周长为6+6+4＝16．
故选：D．
2．（2024秋 浦江县期末）已知等腰三角形的一内角度数为50°，则它的顶角的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．50°或80°
【答案】D
【分析】可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：D．
3．（2024秋 海曙区校级期末）已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，则此三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【答案】C
【分析】先根据偶次方与算术平方根的非负性可得a﹣3＝0，6﹣b＝0，从而可得：a＝3，b＝6，然后分两种情况：当腰为3，底边长为6时；当腰为6，底边长为3时；分别进行计算即可解答．
【解答】解：∵，
∴a﹣3＝0，6﹣b＝0，
解得：a＝3，b＝6，
分两种情况：
当腰为3，底边长为6时，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形；
当腰为6，底边长为3时，
∴这个三角形的周长＝6+6+3＝15；
综上所述：此三角形的周长为15，
故选：C．
4．（2024秋 温岭市期末）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝CD，∠C＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】D
【分析】根据等边对等角求得∠DAC＝∠C＝40°，进而可求得∠ADB＝80°，再根据等边对等角即可求解．
【解答】解：∵AD＝CD，∠C＝40°，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝80°，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB＝80°，
故选：D．
5．（2024秋 西湖区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠A＝40°，则∠DBC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC（180°﹣40°）＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABC＝35°，
故选：B．
6．（2024秋 杭州期末）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（ ）
A． B． C．a﹣b D．b﹣a
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD＝BC＝AD，进而解答即可．
【解答】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
7．（2024秋 永康市期末）如图，在△ABC中，D，E为BC边上两点，且满足AB＝BE，AC＝CD，连结AD，AE．若∠BAC＝100°，则∠DAE的度数为（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
【答案】B
【分析】由三角形内角和定理求出∠B+∠C＝80°，由等腰三角形的性质得到∠BEA＝90°∠B，∠ADC＝90°∠C，因此∠BEA+∠ADC＝180°（∠B+∠C），由三角形内角和定理得到∠DAE（∠B+∠C）＝40°．
【解答】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴∠BEA（180°﹣∠B）＝90°∠B，
同理：∠ADC＝90°∠C，
∴∠BEA+∠ADC＝180°（∠B+∠C），
∴∠DAE＝180°﹣（∠BEA+∠ADC）（∠B+∠C）＝40°．
故选：B．
8．（2024秋 拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝52°，P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（ ）
A．52° B．63° C．120° D．130°
【答案】C
【分析】先求出∠B＝∠ACB＝64°，再根据三角形外角的性质得出∠APC的范围，进而得出答案．
【解答】解：如图，连接CP．
∵∠A＝52°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣52°）÷2＝64°．
∵∠APC是△BCP的外角，
∴∠APC＝∠B+∠BCP，
∴64°≤∠APC＜128°，
∴∠APC度数可能是120°．
故选：C．
9．（2024秋 拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，EF垂直平分AB，分别交AB，AC，AD于点E，F，G．若∠BAC＝45°，EG＝1，则CF＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在EA上截取EH＝EEG＝1，连接HG，BF，证明△EHG是等腰直角三角形，则∠EHG＝45°，HG，再证明∠AGH＝∠BAD＝22.5°得AH＝HG，则AE，进而得AC＝AB＝2AE，证明△ABF是等腰直角三角形，由勾股定理得AFAB，然后根据CF＝AC﹣AF即可得出CF的长．
【解答】解：在EA上截取EH＝EG＝1，连接HG，BF，如图所示：
∵EF垂直平分AB，
∴∠HEG＝90°，AF＝BF，AB＝2AE，
∴△EHG是等腰直角三角形，
∴∠EHG＝45°，
由勾股定理得：HG＝√，
在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝22.5°，
∵∠EHG＝∠BAD+∠AGH，
∴45°＝22.5°+∠AGH，
∴∠AGH＝22.5°，
∴∠AGH＝∠BAD＝22.5°，
∴AH＝HG，
∴AE＝AH+EH，
∴AC＝AB＝2AE，
∵∠BAC＝45°，AF＝BF，
∴△ABF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：ABAF，
∴AFAB，
∴CF＝AC﹣AF．
故选：A．
10．（2024秋 钱塘区期末）用“几何画板”软件探索等腰三角形的性质时，小明同学经过如下操作：
①画直线MN及△ABC，使点A，B在直线MN上，点C在直线MN外；
②再画△ABC的高线CD，角平分线CE和中线CF；
③测量AC，BC的长度，并拖动点C．
得到以下结论，其中正确的是（ ）
A．当AC≠BC时，CE＜CD＜CF B．当AC≠BC时，CD＜CF＜CE
C．当AC＝BC时，AF＝CF＝BF D．当AC＝BC时，CD＝CE＝CF
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形中线、高线和角平分线的定义，依次对所给选项进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为CD是△ABC的高线，CE是角平分线，CF是中线，
由垂线段最短可知，CD是三条线段中最短的一个．
当拖动点C的时候，CE与CF的长短关系不定，
即当AC≠BC时，CE与CF的长短关系不定．
所以AB不符合题意．
当AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，
由“三线合一”可知，CD＝CE＝CF，
所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D．
11．（2024秋 镇海区校级期末）如图，等腰△ABC，AB＝AC，点D是AC的中点，点P为线段BC上一动点，连结PA，PD．设BP＝x，△APD的面积为y，若y关于x的函数表达式为yx+6，则AC的长度为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【分析】从函数解析式中可得到BC＝4，S△ABC＝2S△ABD＝2×6＝12，根据三角形面积求出当点P在BC中点时AP的长，再利用勾股定理求出AC长即可．
【解答】解：∵当x＝4时，y4+6＝0，
∴BC＝4，
∵当x＝0时，y＝6，
∴S△ABD＝6，
∵点D是AC的中点，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×6＝12，
当点P在线段BC的中点时，由AB＝AC，则AP⊥BC，
∴12，
∴AP6，
∴AC2．
故选：D．
12．（2024秋 台州期末）等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角的度数是 40° ．
【答案】40°
【分析】已知给出了一个底角为70°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．
【解答】解：因为其底角为70°，
所以其顶角＝180°﹣70°×2＝40°．
故答案为：40°．
13．（2024秋 江山市期末）等腰三角形的一个内角为100°，这个等腰三角形底角的度数为 40° ．
【答案】40°
【分析】因为三角形的内角和为180°，所以100°只能为顶角，从而可求出底角．
【解答】解：∵100°为三角形的顶角，
∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°．
故答案为：40°．
14．（2024秋 嘉兴期末）已知等腰三角形的两条边分别长2cm、4cm，第三边长是 4 cm．
【答案】4．
【分析】由三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，即可判断．
【解答】解：当等腰三角形第三边长是2cm时，
∵2+2＝4，不满足三角形的三边关系，
∴第三边长不能是2cm；
当等腰三角形第三边长是4cm时，
∵2+4＞4，此时满足三角形的三边关系，
∴第三边长是4cm，
∴等腰三角形第三边长是4cm．
故答案为：4．
15．（2024秋 新昌县期末）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：3，则这个等腰三角形顶角的度数为 °或108° ．
【答案】°或108°．
【分析】根据等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解．
【解答】解：设两内角的度数为x、3x，
当等腰三角形的顶角为x时，x+3x+3x＝180°，
∴x°；
当等腰三角形的顶角为3x时，3x+x+x＝180°，
∴x＝36°，则3x＝108°；
综上分析可知，等腰三角形的顶角度数为°或108°．
故答案为：°或108°．
16．（2024秋 苍南县校级期末）等腰三角形的周长为15，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为 6 ．
【答案】6
【分析】分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案．
【解答】解：若腰长为3，则底边长为：15﹣3﹣3＝9，
∵3+3＜9，
∴不能组成三角形，舍去；
若底边长为3，则腰长为：6；
∴该等腰三角形的腰长为：6．
故答案为：6．
17．（2024秋 丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝ 12 度．
【答案】12．
【分析】根据题意可判断出AD为角平分线，所以∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE．
【解答】解：在△ABC中，D为BC中点，AB＝AC，∠BAD＝24°，BD＝DC，
∴AD为角平分线，AD⊥BC；
又∵AD＝AE，∠DAE＝24°，
∴∠ADE＝78°
又∵AD⊥BC，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣78°＝12°．
故答案为：12．
18．（2024秋 杭州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为 6或4或 ．
【答案】6或4或．
【分析】分AD＝AB、BA＝BD、AD＝BD三种情况解答即可求解．
【解答】解：如图1，当AD＝AB时，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴CD＝BC＝6；
如图2，当BA＝BD时，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴，
∴BD＝10，
∴CD＝BD﹣BC＝10﹣6＝4；
如图3，当AD＝BD时，设CD＝x，则AD＝BD＝6+x，
在Rt△ACD中，AC2+CD2＝AD2，
∴82+x2＝（6+x）2，
解得，
∴；
故答案为：6或4或．
19．（2024秋 温州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上中线，E是AB上一点，且AE＝DE．若AB＝4，则DE的长为 2 ．
【答案】2．
【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，根据直角三角形的性质求出∠BDE+∠ADE＝90°，∠B+∠BAD＝90°，再利用等腰三角形的性质可得出∠BAD＝∠ADE，从而可得出∠B＝∠ADE，根据等腰三角形的判定及线段的和差即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵AE＝DE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE＝AEAB＝2，
故答案为：2．
20．（2024秋 海曙区期末）如图△ABP，∠B＝45°，∠APB＝120°，延长BP至C，连接AC．
（1）若PC＝PA，则∠C＝ 60° ；
（2）若PC＝2PB，则∠C＝ 75° ．
【答案】60°；75°
【分析】（1）先根据平角的定义求出∠APC＝60°，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
（2）如图所示，过点C作CE⊥AP于E，连接BE，求出∠PCE＝30°得到PC＝2PE，可以推出PB＝PE，则∠PBE＝∠PEB＝30°，证明∠EBC＝∠ECB，得到CE＝BE，证明∠ABE＝∠BAE＝15°，得到BE＝AE，即可推出AE＝CE，则∠ACE＝∠CAE＝45°，从而得到∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°．
【解答】解：（1）∵∠APB＝120°，
∴∠APC＝180°﹣∠APB＝60°，
∵PC＝PA，
∴，
故答案为：60°；
（2）如图所示，过点C作CE⊥AP于E，连接BE，
∵∠APB＝120°，
∴∠APC＝180°﹣∠APB＝60°，
∴∠PCE＝180°﹣∠PEC﹣∠EPC＝30°，
∴PC＝2PE，
∵PC＝2PB，
∴PB＝PE，
∴，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBP＝15°，∠EBC＝∠ECB，
∴CE＝BE，∠BAE＝∠BEP﹣∠ABE＝15°，
∴∠ABE＝∠BAE＝15°，
∴BE＝AE，
∴AE＝CE，
∴∠ACE＝∠CAE＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°，
故答案为：75°．
21．（2024秋 永康市期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB，可以绕点P转动，点C固定，点D，E在槽中可以滑动，且CE＝DE＝CP．若∠DEB＝87°，则∠APB的度数为 29 °．
【答案】29．
【分析】由等腰三角形的性质推出∠P＝∠CEP，∠ECD＝∠EDC，由三角形的外角性质得到3∠P＝∠DEB，即可求出∠APB的度数．
【解答】解：∵CE＝DE＝CP，
∴∠P＝∠CEP，∠ECD＝∠EDC，
∵∠ECD＝∠P+∠CEP＝2∠P，
∠EDC＝2∠P，
∵∠P+∠CDE＝∠DEB，
∴3∠P＝∠DEB，
∵∠DEB＝87°，
∴∠APB＝29°．
故答案为：29．
二．等腰三角形的判定（共4小题）
22．（2024秋 嵊州市期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的判定逐项分析判断即可．
【解答】解：A、
能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不符合题意；
B、
能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不符合题意；
C、
能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不符合题意；
D、根据图示角的度数，无法找到一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意；
故选：D．
23．（2024秋 西湖区校级期末）在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：1：3 B．a：b：c＝2：2：3
C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B+∠C
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：3，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形，故选项正确；
B、∵a：b：c＝2：2：3
∴a＝b，即BC＝AB，即△ABC是等腰三角形，故选项正确；
C、∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°
∴∠A＝∠B
∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形，故选项正确；
D、由2∠A＝∠B+∠C不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项错误．
故选：D．
24．（2024秋 临平区期末）如图，∠AOB＝30°，点M边OA上，OM＝4，ON＝x+4（x＞0），点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的取值范围是 2＜x＜4 ．
【答案】2＜x＜4．
【分析】根据等腰三角形的判定分情况分析判断即可．
【解答】解：如图，作PM⊥OB，
∵∠AOB＝30°
∴PM＝2，
当x＝2时，只能做一个等腰三角形PMN，
如图2，当MN＝4时，作NP⊥OB，
∵∠AOB＝30°
∴PN4，
当x＝4时，MN＝PN＝4，能做一个等腰三角形PMN，
线段MN垂直平分线交OB于点P，此时存在一个以PM为腰的等腰三角形．
∵点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，
∴x的取值范围为2＜x＜4．
故答案为：2＜x＜4．
25．（2024秋 浙江期末）如图，在△ABC中，AD是高线，AE是角平分线，∠BAC＝80°，∠C＝70°．
（1）求∠BAE的大小；
（2）求证：DE＝DC．
【分析】（1）根据三角形角平分线的定义即可求解；
（2）由三角形角平分线的定义可得，进而由三角形内角和定理可得∠AEC＝70°，即可得△ACE为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可求证．
【解答】（1）解：∵AE是角平分线，∠BAC＝80°，
∴，
即∠BAE的大小为40°；
（2）证明：∵AE是角平分线，∠BAC＝80°，
∴∠CAE∠BAC80°＝40°，
∵∠C＝70°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠AEC＝∠C，
∴AE＝AC，即△ACE为等腰三角形，
∵AD是高线，
∴AD⊥CE，
∴DE＝DC．
三．等腰三角形的判定与性质（共12小题）
26．（2024秋 西湖区校级期末）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．9
【答案】C
【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABES△ABH，S△CDHS△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为3×3．
故选：C．
27．（2025秋 义乌市校级期中）如图，CE是△ABC的角平分线，过点E作EF∥BC，分别交AC及△ABC的外角∠ACD的平分线于点M，F．若CM＝3，则EF的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】利用平行线的性质及角平分线的概念，得出EM＝CM＝3，FM＝CM＝3，则EF＝EM+FM＝6，即可得出结论．
【解答】解：∵CE是△ABC的角平分线，CF是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴，，
∵EF∥BC，
∴∠MEC＝∠BCE，∠MFC＝∠DCF（两直线平行，内错角相等），
∴∠MEC＝∠ACE，∠MFC＝∠ACF，
∵CM＝3，
∴EM＝CM＝3，FM＝CM＝3，
∴EF＝EM+FM＝3+3＝6，
故选：C．
28．（2025秋 台州期中）如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB＝∠DBA，AC＝22，△BCD的周长为32，则BD的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．16
【答案】C
【分析】先证明△CED≌△CEB（ASA），得到BC＝DC，再由∠DAB＝∠DBA，得到DA＝DB，故AC＝AD+CD＝BD+CD＝22，再根据△BCD的周长为32，即BC+CD+BD＝32，可求出BC＝10＝CD，从而BD＝32﹣10﹣10＝12．
【解答】解：∵CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，
∵∠DCE＝∠BCE，∠CED＝∠CEB＝90°，
在△CED和△CEB中，
，
∴△CED≌△CEB（ASA），
∴BC＝DC，
∵∠DAB＝∠DBA，
∴DA＝DB，
∴AC＝AD+CD＝BD+CD＝22．
又∵△BCD的周长为32，即BC+CD+BD＝32，
∴BC＝10＝CD，
∴BD＝32﹣10﹣10＝12．
故选：C．
29．（2025秋 嵊州市期中）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，若BE＝4，CF＝6，则线段EF的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】先由平行线的定义得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再由EF∥BC，得出∠EDB＝∠2，∠FDC＝∠4，进行角的等量代换以及等角对等边，则ED＝EB，FD＝FC，即可作答．
【解答】解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴由平行线的定义得，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵EF∥BC，
∴根据平行线的性质得，∠EDB＝∠2，∠FDC＝∠4，
∴∠EDB＝∠1，∠FDC＝∠3，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∴EF＝ED+FD＝BE+FC＝4+6＝10，
所以线段EF的长为10，
故选：D．
30．（2025秋 宁波期中）如图，△ABC中，AH⊥BC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，交AH于点F，AE平分∠HAC，∠BAH＝∠C，现在给出下列四个结论：①△ABC是直角三角形；②△ADF是等腰三角形；③AE⊥DF；④△BCD是等腰三角形．其中正确结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】①根据AH⊥BC得∠C+∠CAH＝90°，再根据∠BAH＝∠C得∠BAH+∠CAH＝90°，则∠BAC＝90°，据此可对该结论进行判断；
②根据BD平分∠ABC得∠1＝∠2，根据AH⊥BC，∠BAC＝90°，得∠2+∠4＝90°，∠1+∠5＝90°，由此得∠4＝∠5，再根据∠4＝∠3得∠3＝∠5，据此可对该结论进行判断；
③根据△ADF是等腰三角形，AE平分∠HAC得AE⊥DF，据此可对该结论进行判断；
④假设△BCD是等腰三角形，根据三角形外角性质得∠BDC＞∠BAC＝90°，故只有BD＝CD，此时∠1＝∠2＝∠C，则∠ABC＝2∠C，在Rt△ABC中，由∠ABC+∠C＝90°得∠C＝30°，再根据已知条件无法得出∠C＝30°即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵AH⊥BC，
∴∠AHC＝90°，
在Rt△AHC中，∠C+∠CAH＝90°，
∵∠BAH＝∠C，
∴∠BAH+∠CAH＝90°，
即∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故结论①正确；
②如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴△BFH和△ABD都是直角三角形，
在Rt△BFH中，∠2+∠4＝90°，
在Rt△ABD中，∠1+∠5＝90°，
∴∠4＝∠5，
又∵∠4＝∠3，
∴∠3＝∠5，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形，
故结论②正确；
③∵△ADF是等腰三角形，AE平分∠HAC，
∴AE⊥DF，
故结论③正确；
④假设△BCD是等腰三角形，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC＞∠BAC＝90°，
∴当△BCD是等腰三角形时，只有BD＝CD，
∴∠2＝∠C，
∴∠1＝∠2＝∠C，
∴∠ABC＝2∠C，
在Rt△ABC中，∠ABC+∠C＝90°，
∴2∠C+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
根据已知条件无法得出∠C＝30°，
故结论④不正确，
综上所述：正确地结论是①②③．
故选：A．
31．（2024秋 东阳市期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 2 ．
【答案】2．
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵BE＝2，
∴DE＝2．
故答案为：2．
32．（2024秋 杭州期末）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若△ANM周长为15，△ABC周长为24，则BC＝ 9 ．
【答案】9
【分析】由BO平分∠ABC知道∠ABO＝∠CBO，由MN∥BC得到∠MOB＝∠CBO，然后得到∠MOB＝∠ABO，再根据等腰三角形的性质得到OM＝BM，同理得到ON＝NC，然后就可以求出△AMN的周长，即可得到结论．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠MOB＝∠ABO，
∴OM＝BM，
又CO平分∠ACB，MN∥BC，
同理得到ON＝NC，
∴△AMN的周长＝AM+AN+OM+ON
＝AM+AN+BM+CN
＝AB+AC＝15，
∵△ABC周长为24，
∴BC＝9，
故答案为：9．
33．（2025秋 瑞安市校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，作AC边上的中垂线EF，分别交BC，AC于点E，F，若△ABC周长为26，AC＝10，则DC的长为 8 ．
【答案】8．
【分析】根据三角形的周长公式求出AB+BC，根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EC，由等腰三角形的性质可得BD＝DE，结合图形，进行计算即可得到答案．
【解答】解：连接AE，
∵△ABC的周长为26，
∴AB+AC+BC＝26，
∵AC＝10，
∴AB+BC＝26﹣10＝16，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠1＝∠C（等边对等角），
∴∠2＝∠1+∠C＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠2（等量代换），
∴AB＝AE（等角对等边），
∴AB＝CE，
∵AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∴AB+BC＝AB+BE+CE＝CE+2DE+CE＝2CE+2DE＝2CD＝16，
∴CD＝8．
故答案为：8．
34．（2024秋 吴兴区期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若BD＝AE，∠DBE＝20°，求∠C的度数．
【分析】（1）先利用角平分线的定义可得：∠ABE＝∠EBC，再利用平行线的性质可得：∠DEB＝∠EBC，然后利用等量代换可得∠ABE＝∠DEB，从而可得DB＝DE，即可解答；
（2）先利用等腰三角形的性质可得：∠DBE＝∠DEB＝20°，然后利用三角形的外角性质可得：∠ADE＝40°，从而利用等腰三角形的性质可得：∠ADE＝∠A＝40°，进而利用三角形内角和定理可得：∠AED＝100°，最后利用平行线的性质可得∠AED＝∠C＝100°，即可解答．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB＝20°，
∵∠ADE是△BDE的一个外角，
∴∠ADE＝∠ABE+∠DEB＝40°，
∵BD＝AE，
∴DE＝AE，
∴∠ADE＝∠A＝40°，
∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠A＝100°，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝100°．
35．（2025秋 奉化区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论；
（2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到BE，再由AB＝AC可证明△ABC是等边三角形，最后可得答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠F＝30°，
∴∠BDE＝30°，
∵BD＝4，
∴，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝BE+EC＝8，
36．（2024秋 玉环市期末）如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D为l上一点，且在△ABC内部，连接AD，BD，CD，已知DB＝DC．
（1）求证∠CAD＝∠ACD；
（2）连接BE，若∠CDB＝80°，求∠CEB的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质即可证明；
（2）根据条件可得∠CAD＝∠EBD，由（1）可知：∠CAD＝∠ACD；由三角形内角和可得∠ECB＝∠CDB＝80°．
【解答】（1）证明：∵l是AB的垂直平分线，点D在直线l上，
∴AD＝BD，
又∵DB＝DC．
∴AD＝DC，
∴∠CAD＝∠ACD；
（2）解：∵l是AB的垂直平分线，点D、E在平分线上，
∴AE＝BE，AD＝BD，
∴∠EAB＝∠EBA，∠DAB＝∠DBA，
∴∠CAD＝∠EBD，
由（1）可知：∠CAD＝∠ACD；
∴∠EDB＝∠ECD，
∴∠CEB＝∠CDB＝80°．
37．（2024秋 杭州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝ 36 °，∠C＝ 72 °．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠DBA＝∠DBC∠ABC∠C，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①根据已知条件得到∠ABD＝∠CBD＝36°，根据垂直的定义得到∠BHN＝∠EHB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②由①知，BN＝BE，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠DBC，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC∠ABC∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠C＝72°；
故答案为：36，72；
（2）①∵∠A＝∠ABD＝36°，
∠B＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵BH⊥EN，
∴∠BHN＝∠EHB＝90°，
在△BNH与△BEH中，
，
∴△BNH≌△BEH，
∴BN＝BE，
∴△BNE是等腰三角形；
②CD＝AN+CE，
理由：由①知，BN＝BE，
∵AB＝AC，
∴AN＝AB﹣BN＝AC﹣BE，
∵CE＝BE﹣BC，
∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝AC﹣BC，
∴CD＝AN+CE．
四．等边三角形的性质（共5小题）
38．（2024秋 嘉兴期末）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE交于点F，则∠AFE的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】A
【分析】先由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠BAC＝60°，再由直角三角形的性质可得答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴AC＝BC，∠BAC＝60°，∠AEF＝90°，
∴∠CAD∠BAC60°＝30°，
∴∠AFE＝90°﹣∠CAD＝90°﹣30°＝60°，
故选：A．
39．（2025秋 嵊州市期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【分析】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22 OA1，A4B4＝A4A5＝23 OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，即可求解．
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
40．（2025秋 鹿城区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BD交AC于点E，则∠BEC的度数为 105° ．
【答案】105°．
【分析】根据等边三角形的性质得AC＝BC，∠ACB＝60°，再根据AC＝CD得BC＝CD，由此得∠CBD＝∠CDB，再求出∠BCD＝150°，由三角形内角和定理得∠CBD＝15°，然后在△BCE中，再由三角形内角和定理即可得出∠BEC的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵AC＝CD，
∴BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝150°，
在△CBD中，∠CBD+∠CDB+∠BCD＝180°，
∴2∠CBD+150°＝180°，
∴∠CBD＝15°，
在△BCE中，∠BEC＝180°﹣（∠CBD+∠ACB）＝180°﹣（15°+60°）＝105°
即∠BEC的度数为105°．
故答案为：105°．
41．（2025秋 新昌县期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为1的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则∠DBC的度数为 30° ．
【答案】30°．
【分析】由等边三角形的性质可得BC＝CD＝1，∠DCE＝60°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为1的等边三角形，
∴BC＝CD＝1，∠DCE＝60°，
∴∠DBC＝∠BDC＝30°，
故答案为：30°．
42．（2025秋 西湖区期中）如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE．
（1）求∠EDC的度数；
（2）若AD＝6，求△ADE的面积．
【分析】（1）利用等边三角形的性质可得出AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，利用三线合一的性质可得出，AD⊥CD，利用等边对等角可求出∠ADE＝75°，即可求解；
（2）过D作DH⊥AC于H，利用含30°的直角三角形的性质求出DH，然后利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，
∵AD为中线，
∴∠CAD∠BAC60°＝30°，AD⊥CD，
∵AD＝AE，
∴，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°；
（2）过D作DF⊥AC于点F，则∠AFD＝90°
∵∠CAD＝30°，AD＝6，
∴．
∵AE＝AD＝2×3＝6，
∴．
五．等边三角形的判定（共1小题）
43．（2025秋 江北区期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC是 等边 三角形．
【答案】等边．
【分析】根据完全平方和绝对值的非负性，a﹣b＝0，b﹣c＝0，可求a＝b＝c，进而可得△ABC是等边三角形，然后作答即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
解得，a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边．
六．等边三角形的判定与性质（共6小题）
44．（2025秋 衢州期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝7，则EF的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】首先根据AB＝AD＝12、∠A＝60°，可证△ABD是等边三角形，连接AC交BD于点G，可证AC是线段BD的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证∠BAC＝∠DAC＝30°，根据平行线的性质可证∠ACE＝∠DAC＝30°，从而可得DE＝5，根据平行线的性质可证△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可知EF＝DE＝5．
【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点G，
∵AB＝AD＝12，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝12，∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵AB＝AD＝12，BC＝DC，
∴AG⊥BD，BG＝DG，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°÷2＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝∠DAC＝30°，
∴AE＝CE＝7，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣7＝5，
∵EF∥AB，
∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°（两直线平行，同位角相等），
∴△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝5．
故选：B．
45．（2025秋 长兴县期中）已知如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
【答案】A
【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；
②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；
③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP．
【解答】解：①如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD∠BAC120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；
故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PE，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP；
故④正确；
本题正确的结论有：①③④
故选：A．
46．（2024秋 镇海区校级期末）已知等腰三角形ABC，AB＝2，若BC边上的高线与AB边的夹角为30°，则边AC的长为 2或2 ．
【答案】2．
【分析】分AB为腰和底两种情况分别讨论，即可求解．
【解答】解：当AB为腰时，如图所示，
依题意，AD⊥BC，∠BAD＝30°，
∴∠B＝60°，
∴等腰△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
当AB为底时，如图所示，
依题意，∠BAD＝30°，AD⊥BC，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAD＝90°﹣30°＝60°，
∴等腰△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
当三角形为钝角三角形时，
依题意得，∠BAD＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠ABC＝120°
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝2，
∴AE，
AC＝2，
综上所述，边AC的长为2或2，
故答案为：2或2．
47．（2025秋 萧山区校级期中）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，则∠OBD的度数是 30° ．
【答案】30°．
【分析】连接AB，由作图可知OA＝OB＝AB，则△OAB是等边三角形，然后再根据等边三角形的性质即可得出∠OBD的度数．
【解答】解：连接AB，如图所示：
由作图可知：OA＝OB，AB＝OA，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OBA＝60°，
∵BD⊥OA，
∴∠OBD∠OBA＝30°．
故答案为：30°．
48．（2025秋 西湖区校级期中）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 2 ．
【答案】2
【分析】过E点作EH⊥BF，设DE＝x，根据△ABC是等边三角形，DE∥BC，得到△ADE是等边三角形，已知BD＝4，得到EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，在Rt△CHE中，求得CH＝2，表示出BH＝2+x，根据△EBF是等腰三角形，BF＝8，得到BH＝FH＝4，即可求得线段DE的长．
【解答】解：过E点作EH⊥BF，
设DE＝x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵BD＝4，
∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，
在Rt△CHE中，
∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4，
∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴，
∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x，
∵EB＝EF，
∴△EBF是等腰三角形，
∵EH⊥BF，BF＝8，
∴BH＝FH＝4，
∴2+x＝4，
∴x＝2，
∴DE＝2．
故答案为：2．
49．（2025秋 滨江区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADB＝∠EDF，
∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
七．轴对称的性质（共5小题）
50．（2024秋 路桥区期末）如图，D是△ABC的边BC上的一点，点C关于AD的对称点E恰好落在AB上，若∠B＝34°，∠CAD＝40°，则∠BDE的度数为（ ）
A．31° B．32° C．33° D．34°
【答案】B
【分析】利用轴对称变换的性质求出∠BAC＝80°，再利用三角形内角和定理求出∠C＝66°，再根据∠AED＝∠C＝∠B+∠BDE求解．
【解答】解：∵C，E关于AD对称，
∴∠CAD＝∠EAD＝40°，∠AED＝∠C，
∴∠BAC＝40°+40°＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣34°﹣80°＝66°，
∴∠AED＝∠C＝66°，
∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠BDE＝66°﹣34°＝32°．
故选：B．
51．（2024秋 永康市期末）如图是一张钝角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①AC边上的中线BD；②∠B的平分线BE；③AC边上的高BF．上述三条线段中能通过折纸折出的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．
【解答】解：①BC边上的中线BD：如图1，使点A、C重合，中点为点D，连接AD，此时BD即为AC边上的中线；
②∠ABC的平分线BE：如图2，沿直线BE折叠，使AB与CB重叠，此时BE即为∠ABC的角平分线；
③AC边上的高BF：如图3，沿直线BF折叠，使AF与CF重合，此时BF即为AC边上的高．
综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．
故选：D．
52．（2025秋 浙江期中）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°．则∠MGE的度数为（ ）
A．50° B．90° C．40° D．80°
【答案】D
【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．
【解答】解：∵线段MN、EF为折痕，
∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，
∵∠A＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝100°，
∴∠MGE＝180°﹣100°＝80°，
故选：D．
53．（2025秋 衢州期中）如图，点M是∠ABC内一点，分别作点M关于直线AB、BC的对称点M1、M2，连接M1、M2交AB于点D，交BC于点E，若M1M2＝8cm，则△MDE周长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得MD＝M1D，ME＝M2E，再由周长为三边相加求解即可．
【解答】解：∵点M关于直线AB、BC的对称点M1、M2，连接M1、M2交AB于点D，交BC于点E，M1M2＝8cm，
∴MD＝M1D，ME＝M2E，
∴M1D+DE+M2E＝8cm，
∴△MDE周长为MD+DE+ME＝M1D+DE+M2E＝8cm．
故选：C．
54．（2025秋 西湖区校级期中）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝78°，∠F＝48°．
（1）若点B到直线l的距离为5，则B、E两点间的距离为 10 ；
（2）求∠E的度数．
【分析】（1）根据轴对称的性质得出点E到直线l的距离为5，据此得出结论；
（2）根据△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝78°可知∠D＝78°，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC与△DEF关于直线l对称，点B到直线l的距离为5，
∴点E到直线l的距离为5，
∴B，E两点间的距离为5+5＝10，
故答案为：10；
（2）∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴△ABC≌△DEF，
∵∠A＝78°，∠F＝48°，
∴∠D＝∠A＝78°，
∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝54°．
八．轴对称图形（共5小题）
55．（2024秋 西湖区期末）窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案．
【解答】解：C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：C．
56．（2024秋 北仑区期末）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，可以拼成1600多种不同的图形．下列用七巧板拼成的动物图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
57．（2024秋 玉环市期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
58．（2024秋 海曙区校级期末）下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够互相重合，逐一进行判断即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
59．（2024秋 温岭市期末）下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．握手 B．您好
C．拜托 D．谢谢
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
期末复习03 图形的轴对称以及等腰三角形的判定与性质8大题型突破
目录：
一、等腰三角形的性质
二、等腰三角形的判定
三、等腰三角形的判定与性质
四、等边三角形的性质
五、等边三角形的判定
六、等边三角形的判定与性质
七、轴对称的性质
八、轴对称图形
一．等腰三角形的性质（共21小题）
1．（2024秋 上城区期末）若等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．14或16
2．（2024秋 浦江县期末）已知等腰三角形的一内角度数为50°，则它的顶角的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．50°或80°
3．（2024秋 海曙区校级期末）已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，则此三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
4．（2024秋 温岭市期末）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝CD，∠C＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
5．（2024秋 西湖区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠A＝40°，则∠DBC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．（2024秋 杭州期末）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（ ）
A． B． C．a﹣b D．b﹣a
7．（2024秋 永康市期末）如图，在△ABC中，D，E为BC边上两点，且满足AB＝BE，AC＝CD，连结AD，AE．若∠BAC＝100°，则∠DAE的度数为（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
8．（2024秋 拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝52°，P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（ ）
A．52° B．63° C．120° D．130°
9．（2024秋 拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，EF垂直平分AB，分别交AB，AC，AD于点E，F，G．若∠BAC＝45°，EG＝1，则CF＝（ ）
A． B． C． D．
10．（2024秋 钱塘区期末）用“几何画板”软件探索等腰三角形的性质时，小明同学经过如下操作：
①画直线MN及△ABC，使点A，B在直线MN上，点C在直线MN外；
②再画△ABC的高线CD，角平分线CE和中线CF；
③测量AC，BC的长度，并拖动点C．
得到以下结论，其中正确的是（ ）
A．当AC≠BC时，CE＜CD＜CF B．当AC≠BC时，CD＜CF＜CE
C．当AC＝BC时，AF＝CF＝BF D．当AC＝BC时，CD＝CE＝CF
11．（2024秋 镇海区校级期末）如图，等腰△ABC，AB＝AC，点D是AC的中点，点P为线段BC上一动点，连结PA，PD．设BP＝x，△APD的面积为y，若y关于x的函数表达式为yx+6，则AC的长度为（ ）
A． B．5 C． D．
12．（2024秋 台州期末）等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角的度数是 ．
13．（2024秋 江山市期末）等腰三角形的一个内角为100°，这个等腰三角形底角的度数为 ．
14．（2024秋 嘉兴期末）已知等腰三角形的两条边分别长2cm、4cm，第三边长是 cm．
15．（2024秋 新昌县期末）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：3，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
16．（2024秋 苍南县校级期末）等腰三角形的周长为15，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为 ．
17．（2024秋 丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝ 度．
18．（2024秋 杭州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为 ．
19．（2024秋 温州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上中线，E是AB上一点，且AE＝DE．若AB＝4，则DE的长为 ．
20．（2024秋 海曙区期末）如图△ABP，∠B＝45°，∠APB＝120°，延长BP至C，连接AC．
（1）若PC＝PA，则∠C＝ ；
（2）若PC＝2PB，则∠C＝ ．
21．（2024秋 永康市期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB，可以绕点P转动，点C固定，点D，E在槽中可以滑动，且CE＝DE＝CP．若∠DEB＝87°，则∠APB的度数为 °．
二．等腰三角形的判定（共4小题）
22．（2024秋 嵊州市期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2024秋 西湖区校级期末）在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：1：3 B．a：b：c＝2：2：3
C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B+∠C
24．（2024秋 临平区期末）如图，∠AOB＝30°，点M边OA上，OM＝4，ON＝x+4（x＞0），点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的取值范围是 ．
25．（2024秋 浙江期末）如图，在△ABC中，AD是高线，AE是角平分线，∠BAC＝80°，∠C＝70°．
（1）求∠BAE的大小；
（2）求证：DE＝DC．
三．等腰三角形的判定与性质（共12小题）
26．（2024秋 西湖区校级期末）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．9
27．（2025秋 义乌市校级期中）如图，CE是△ABC的角平分线，过点E作EF∥BC，分别交AC及△ABC的外角∠ACD的平分线于点M，F．若CM＝3，则EF的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
28．（2025秋 台州期中）如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB＝∠DBA，AC＝22，△BCD的周长为32，则BD的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．16
29．（2025秋 嵊州市期中）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，若BE＝4，CF＝6，则线段EF的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
30．（2025秋 宁波期中）如图，△ABC中，AH⊥BC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，交AH于点F，AE平分∠HAC，∠BAH＝∠C，现在给出下列四个结论：①△ABC是直角三角形；②△ADF是等腰三角形；③AE⊥DF；④△BCD是等腰三角形．其中正确结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
31．（2024秋 东阳市期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 ．
32．（2024秋 杭州期末）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若△ANM周长为15，△ABC周长为24，则BC＝ ．
33．（2025秋 瑞安市校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，作AC边上的中垂线EF，分别交BC，AC于点E，F，若△ABC周长为26，AC＝10，则DC的长为 ．
34．（2024秋 吴兴区期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若BD＝AE，∠DBE＝20°，求∠C的度数．
35．（2025秋 奉化区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
36．（2024秋 玉环市期末）如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D为l上一点，且在△ABC内部，连接AD，BD，CD，已知DB＝DC．
（1）求证∠CAD＝∠ACD；
（2）连接BE，若∠CDB＝80°，求∠CEB的度数．
37．（2024秋 杭州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝ °，∠C＝ °．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
四．等边三角形的性质（共5小题）
38．（2024秋 嘉兴期末）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE交于点F，则∠AFE的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
39．（2025秋 嵊州市期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
40．（2025秋 鹿城区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BD交AC于点E，则∠BEC的度数为 ．
41．（2025秋 新昌县期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为1的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则∠DBC的度数为 ．
42．（2025秋 西湖区期中）如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE．
（1）求∠EDC的度数；
（2）若AD＝6，求△ADE的面积．
五．等边三角形的判定（共1小题）
43．（2025秋 江北区期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC是 三角形．
六．等边三角形的判定与性质（共6小题）
44．（2025秋 衢州期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝7，则EF的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
45．（2025秋 长兴县期中）已知如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
46．（2024秋 镇海区校级期末）已知等腰三角形ABC，AB＝2，若BC边上的高线与AB边的夹角为30°，则边AC的长为 ．
47．（2025秋 萧山区校级期中）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，则∠OBD的度数是 ．
48．（2025秋 西湖区校级期中）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 ．
49．（2025秋 滨江区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
七．轴对称的性质（共5小题）
50．（2024秋 路桥区期末）如图，D是△ABC的边BC上的一点，点C关于AD的对称点E恰好落在AB上，若∠B＝34°，∠CAD＝40°，则∠BDE的度数为（ ）
A．31° B．32° C．33° D．34°
51．（2024秋 永康市期末）如图是一张钝角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①AC边上的中线BD；②∠B的平分线BE；③AC边上的高BF．上述三条线段中能通过折纸折出的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
52．（2025秋 浙江期中）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°．则∠MGE的度数为（ ）
A．50° B．90° C．40° D．80°
53．（2025秋 衢州期中）如图，点M是∠ABC内一点，分别作点M关于直线AB、BC的对称点M1、M2，连接M1、M2交AB于点D，交BC于点E，若M1M2＝8cm，则△MDE周长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
54．（2025秋 西湖区校级期中）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝78°，∠F＝48°．
（1）若点B到直线l的距离为5，则B、E两点间的距离为 ；
（2）求∠E的度数．
八．轴对称图形（共5小题）
55．（2024秋 西湖区期末）窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
56．（2024秋 北仑区期末）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，可以拼成1600多种不同的图形．下列用七巧板拼成的动物图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
57．（2024秋 玉环市期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
58．（2024秋 海曙区校级期末）下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
59．（2024秋 温岭市期末）下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．握手 B．您好
C．拜托 D．谢谢
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
