山西省三晋卓越联盟2025-2026学年高二12月冲刺考
数学试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册第四章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的斜率为（ ）
A. 5 B. C. D.
2. 数列的一个通项公式可以为（ ）
A. B.
C. D.
3. 若直线与圆相切，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
4. 在等比数列中，，且，则（ ）
A. 36 B. 27 C. 18 D. 9
5. 已知，复数，点，若的实部为4，则（ ）
A. 的轨迹是实轴长为4的双曲线
B. 的轨迹是短轴长为4的椭圆
C. 的轨迹是实轴长为的双曲线
D. 的轨迹是短轴长为的椭圆
6. 打篮球是一项以手为中心的身体对抗性体育运动．如图，这是一个篮球的平面图形，篮球的外形轮廓为圆，将篮球表面的缝合线看成坐标轴和双曲线的一部分．设该双曲线的中心为原点，焦点在轴上，轴、双曲线与圆的交点将圆的周长六等分，且，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在四棱柱中，侧面底面，四边形是正方形，四边形是菱形，且分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若直线与直线垂直，则的值可能为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
10. 已知等差数列的前n项和为,公差,若存在正整数m,k（）,使得,则（ ）
A. B. 当时,
C. 存在最小值 D. 当为偶数时,
11. 已知曲线，直线的斜率为，且过点，则（ ）
A. 当时，与只有1个公共点
B. 当时，与有3个公共点
C. 椭圆与有6个公共点
D. 当抛物线与有5个公共点时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列的前项和，则当时，___________．
13. 在空间直角坐标系Oxyz中，，且，则__________，四面体ABCD的体积为__________.
14. 已知双曲线为上一点，且在第一象限，直线与直线交于点，直线与交于点与关于轴对称，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设等差数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）求；
（3）求数列的前项和．
16. 已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点．
（1）求的渐近线方程．
（2）若是的右支上一点，且，求．
（3）是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由．
17. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形．
（1）证明：．
（2）若，，，二面角为，求．
18. 已知椭圆的长轴长为分别为的左、右焦点．
（1）求的方程与离心率；
（2）设为上的动点，延长至点，使得，求动点的轨迹方程；
（3）设（2）中动点的轨迹为曲线，若直线与交于，两个不同的点，且被截得的弦长为，求．
19. 定义：若，且和是公比不相同的等比数列，则称为“混双等比数列”.已知数列满足，其中常数且.
（1）证明：是等比数列；
（2）设的前项和为，若是“混双等比数列”，求的值；
（3）若“混双等比数列”满足的前项和为也是“混双等比数列”，证明：当时，.20252026学年高二年级12月冲刺考·数学(A卷)
参考答案、提示及评分细则
1.A由题意知该直线的斜率为，
，故其倾斜角为石.故选A
2.C点（一1,2，一3）关于y轴的对称点为(1,2,3).故选C.
3B设{a.)的公差为d,由题意得a十2d=8,
解得@=2
所以S=9×2+98×3=126.故选B
3a1+3d=15,
d=3,
2
4D由题意知分=5，所以a-5b,所以e=@+E
+亭√+弓-2源故选D
=W1
31
5.D当q>1,且a1<0时，{a}为递减数列，故充分性不成立；若{am}为递增数列，则a>0且g>1,或a<0
且06.A由题意知C(1,2),设点C关于直线x+y=0的对称点为(m,n),则
号-1
m十1++2=0，
解得
2十2
(m=一2·故所求圆的方程为(x十2)2+(y十1)=4.故选A
n=-1,
7C由0=(a+1a,+1,得常-费+nD所以常-货+是-所以-，所
n十1
以色为常数列，又中=2，所以2中=2.所以a=20一1，易知a是等差数列，所以8=
1
n(1+2-1=.故选C
2
8.Bi记Ai-a,Ad=b,AA=c,则a·b=0,a·c=2X2cos60°=2，b·c=2X2cos60°-2，又BC-Ad+AA
=b+c,AC-AC-AAi=AB+AD-AA=a十b-c,所以BC·AC=(b+c)·(a+b-c)=a·b+a·c
+-c2=0+2+22-22=2,|BC|=√/(b+)7=√+c2+2b·e=√+4+4=23，A1C|
√(a+b-c)=√a+b+c2+2a·b-2b·c-2a·c=√4+4+4+0-4-4=2，记BC与AC所成的角
为测w=w:活后停做选B
9.ABD由l∥a,得nm⊥v,所以-2十ac-1=0,所以ac=3,故A正确；由B,得2∥，所以3A∈R,n2=Aw,
即2=一2，c以=2，一A=b,所以A=一1，b=1,c=-2,所以b-c=3,故B正确：由a⊥3，得n1⊥，所以2十2a
+b=0,所以C错误：由a/B,得∥，所以3∈R,m=m,所以-1=一2，a=2,1=,所以=2，
a=1,b=2,故D正确.故选ABD.
10.BCD因为Sn=2am-1,所以当n=1时，a1=S=2a1-1,所以a1=1:当n≥2时，an=Sm-Sa-1=2am
2a-1,所以=2(n≥2)，所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a.=2-,所以1024=2，
as-1
是{am》的第11项，故A错误；lgaw=(n-1)lg2,所以{lgaw}为等差数列，故B正确：a+1一a,=2"一2
=21,易知{a+1一an}为等比数列，故C正确：a=4"1,易知{a》为等比数列，其首项为1，公比为4，所
以)的前n项和等于青="号=“。，放D正确放选以D
11.BC由题意得F(1,0),准线方程为x=一1，故A错误：设1的方程为x=my+1,A(xM),B(x2),
面1得子广0n十为=为，所以=g,所以0.成
16
x2十12=1一4=一3，故B正确；分别过A,D作C的准线的垂线，垂足分别为A1,D,则|AD+
【高二年级12月冲刺考·数学(A卷)参考答案第1页（共4页）】
26-X-246B
