2025-2026学年 浙教版九年级上册 数学期末检测题二（含解析）

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2025-2026学年 浙教版九年级上册 数学期末检测题二
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题1-10（30分，每题3分）
1．已知的半径为，点在外，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
2．一个不透明的袋子里有个通榆葵花籽模型和个通榆绿豆模型，随机摸出个，摸到葵花籽模型的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，为的弦，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，相似比为，若，则的长为（ ）
A．2 B．8 C．16 D．6
5．如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数，y的最值是（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
8．如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点．若，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，点、分别在边、上，四边形是正方形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①、②皆正确 D．①、②皆错误
10．如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题11-16（18分，每题3分）
11．如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点在轴上，若，则点的坐标为 ．
13．，于点D，，，则 ．
14．如图，在矩形中，，点在边上，连接，过点作，交于点，已知是的中点，是的中点，连接，则的长为 ．
15．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为，点M是第三象限内弧上的一点，，则的半径为 ．
16．如图，抛物线的对称轴为直线，点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为，在对称轴上有一点P，使的值最小的P的坐标为 ．
三、解答题17-24（72分）
17．如图，的各顶点坐标分别为，，．
(1)下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图；
步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的；
步骤二：以点为旋转中心，画出将和分别按顺时针方向旋转90°后的和；
(2)在（1）的基础上，与之间的位置关系是______；图中所有三角形组成的图形________（填“是”或“不是”）中心对称图形．
18．如图，、 、是 的弦，．求证：．
19．如图，是的高，是的外接圆直径，点O为圆心．与相似吗？说明理由．
20．我校滨江校区食堂实行自主排队取餐．如图所示，为方便学生取餐，食堂开设3个窗口，分别记为①，②，③，现假设学生从这3个窗口中随机选取一个取餐．
(1)小明去食堂用餐时，选择②号窗口取餐的概率是 ．
(2)若小红和小丽一起去食堂用餐，求小红和小丽在同一窗口取餐的概率．请通过画树状图或列表的方式说明你的理由．
21．如图，锐角三角形内接于，平分，交于点，交于点，连接并延长交于点，连接．
(1)若，请直接写出，的大小．
(2)若平分
①求证：．
②若，，求的长．
22．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且．
(1)试说明；
(2)若，求证：．
23．如图，是的外接圆，是的直径，半径，垂足为点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
24．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接．
①连接，当的面积为时，求点的横坐标；
②直线能否把分成面积之比为的两部分，若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
(3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标．
《2025-2026学年度初中数学期末考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B B A C C C A
1．D
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系是关键：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．根据点和圆的位置关系判断即可．
【详解】解：的半径为，点在外，
，
选项中只有，
的长可能是，
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查概率，计算摸到葵花籽模型的概率，需用葵花籽模型数量除以总模型数量．
【详解】解：∵总模型数，葵花籽模型数，
∴概率．
故选：A．
3．D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键．
先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数．
【详解】解：∵、是的半径，
∴，
∴（等腰三角形两底角相等），
∵在中，，
∴，
故选：．
4．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握“相似三角形对应边的比等于相似比”是解题的关键．根据相似三角形对应边的比等于相似比，结合已知的相似比和的长度，计算的长度．
【详解】解：∵，与的相似比为
∴
∵
∴
∴
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键．
根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解．
【详解】解：的直径垂直弦于点E，且，，
，
在中，，
，
故答案为：B．
6．A
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．由旋转的性质和等腰三角形的性质可得，则可得，由三角形内角和定理，及对顶角相等可得出的度数．
【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到，
，，．
．
．
，，，
．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
由于二次函数开口向上，故存在最小值，计算其顶点横坐标，代入求函数最小值即可．
【详解】解：∵函数中，
∴抛物线开口向上，有最小值.
顶点横坐标，
代入得，
∴最小值为，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等，正确作出辅助线是解题的关键．连接，可得，进而得，即得是等边三角形，得到，，再根据弧长公式计算即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴劣弧的长，
故选：．
9．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论．
连接，根据直径所对圆周角可得，由同弧所对圆周角相等可求出度数，利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
，
∵，
∴，
，
故选：A．
11． （答案不唯一，也可以增加条件：或）．
【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似．
【详解】若增加条件：∠ACD=∠ABC，
∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键．
12．
【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质与正方形的性质，掌握位似变换的基本性质是解题的关键．根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出即可得到答案．
【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，
∴，
∵相似比为，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴点G的坐标为．
故答案为：．
13．16
【分析】本题考查相似三角形的性质以及相似比的应用．利用互余关系证明：，可证，然后利用相似比，就可求出的值．
【详解】解：∵，，
，
∴，
∴，
∴， 解得∶，
故答案为：16．
14．/
【分析】证明，则，即，可求，作，使，连接，作于，则，，证明，则，为的中点，由点是的中点，可得，由勾股定理得，，进而可求．
【详解】解：矩形，，
，
∴，
又，
，
，即，
解得，，
如图，作，使，连接，作于，则，，
，，，
在和中，
，
，
，为的中点，
点是的中点，
，
由勾股定理得，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理是解题的关键．
15．5
【分析】本题考查了圆内接四边形性质、含30度角的直角三角形的性质、坐标与图形性质等知识点．
根据圆内接四边形性质求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，然后根据圆的基本知识即可得出答案．
【详解】解：∵A、B、M、O四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵在中，，，，
∴，
为的直径，
∴的半径为5，
故答案为：5．
16．
【分析】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式．
连接，交直线于P，根据二次函数的对称性可知此时最小，根据将代入得到，求出直线的解析式为：，进而可求出．
【详解】解：根据二次函数的对称性可知，
即，
如图，连接，交直线于P，可知此时最小，
当时，，
由题意得：，
设直线的解析式为：，
∵，
∴，解得：
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴．
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)平行，是
【分析】本题考查了作图——旋转图形以及中心对称图形，
（1）根据中心对称和旋转的步骤找到对应点，顺次连接即可；
（2）结合（1）即可求出答案．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）与之间的位置关系是平行；图中所有三角形组成的图形是中心对称图形．
故答案为：平行，是．
18．见解析
【分析】本题主要考查圆周角定理，由圆周角定理可得，，则可求得结论．
【详解】解：圆周角定理可得，，
∵，
∴．
19．相似，理由见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，由圆周角定理可得，由相似三角形的判定可求证．
【详解】解：与相似，理由如下：
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）先画出树状图，进而根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：食堂开设了3个窗口，小明去食堂用餐时，选择②号窗口取餐的概率是，
故答案为：；
（2）解：如图，
共有9种等可能的结果，其中小红和小丽恰好在同一窗口取餐的结果有3种，所以，P（小红和小丽恰好在同一窗口取餐）．
21．(1)，
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）结合角平分线定义、圆周角定理、三角形内角和定理解题即可；
（2）①由（1）得，结合角平分线定义得，由外角性质、等角对等边即可得证；
②证明，由相似三角形性质可求出，再结合即可求解．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，，
连接，
，
，
，
中，；
（2）①证：由（1）得，，
平分，
，
，
即，
；
②解：，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线定义、圆周角定理、三角形内角和定理、外角性质、等角对等边、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。
（1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论；
（2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。
【详解】（1）解：∵，
，
，
。
（2）证明：，
，
，
．
，
．
又，
．
23．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用及利用勾股定理建立方程求解线段长度是解题的关键．
（1）利用垂径定理得，再结合同弧所对的圆周角相等，证明．
（2）先由垂径定理得的长度，设圆的半径为，用表示的长度，再在中利用勾股定理列方程求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
设的半径为，则，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：．
24．(1)
(2)①或；②点E的坐标是或
(3)点的坐标是或或或
【分析】（1）将，代入求出、的值即可；
（2）确定直线的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式分两种情况：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就可得到对应的点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分三种情况：当时；当时；当时，分别列出关于的方程，解答即可得到满足条件的点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵抛物线与轴交于点，
当时，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，，
①∵的面积为，
∴，
解得：，，
∴当的面积为时，点的横坐标为或；
②直线能把分成面积之比为的两部分．理由如下：
∵轴于点，，
∴与的底在同一直线上，高为，
当时，则，如图，
即，
解得：，（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
当时，则，如图，
即，
解得：，（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
综上所述，直线能把分成面积之比为的两部分，点的坐标是或；
（3）抛物线的对称轴为直线，
设，
∵，，
∴，
，
，
当时，
则为直角三角形且，如图，
∴，
解得：，
此时点的坐标为；
当时，
则为直角三角形且，如图，
∴，
解得：，
此点的坐标为；
当时，
则为直角三角形且，如图，
∴，
解得：，，
此时点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，求抛物线与坐标轴的交点坐标，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是学会运用分类讨论的数学思想解决问题．
试卷第1页，共3页
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