2025-2026学年人教A版数学选择性必修第一册课时练习：3.1.2.1椭圆的简单几何性质（含解析）

3.1.2.1　椭圆的简单几何性质
一．选择题
1.下面的椭圆中,与椭圆=1有相同离心率的是(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
2.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,则(　　)
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
3.(多选题)已知椭圆C:=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的3倍,则下列说法正确的是(　　)
A.椭圆C的长轴长为6 B.椭圆C的短轴长为2
C.椭圆C的焦距为2 D.椭圆C的离心率为
4.(多选题)已知曲线C1:=1与曲线C2:=1(k<9),下列说法正确的是(　　)
A.两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆
B.焦距相等
C.有相同的焦点
D.离心率相等
5.设线段AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且∠CBA=45°,若|AB|=4,|BC|=,则椭圆的焦距等于(　　)
A. B. C. D.
6.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与椭圆交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为(　　)
A. B.2-
C.-2 D.
7.已知椭圆=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为(　　)
A.(-3,0) B.(-4,0)
C.(-10,0) D.(-5,0)
8.如图所示,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的左焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=(　　)
A.35 B.30 C.25 D.20
9.已知焦点在x轴上的椭圆的方程为=1,则随着a的增大,该椭圆的形状(　　)
A.越扁 B.越接近于圆
C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆
10.(多选题)如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子正确的是(　　)
A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2
C.c1a2>a1c2 D.
11.已知F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使得=c2,则椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
12.设A,B是椭圆C:=1长轴的两个端点,若椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是(　　)
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)
二．填空题
13.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为　　　　　　　.
14.椭圆=1的离心率为,则m=　　　　　.
15.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,过原点的直线与椭圆C相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则椭圆C的离心率e=　　　　　　.
16.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率的取值范围是　　　　　.
三．解答题
17.已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A为椭圆C的上顶点,点B在椭圆上且位于第一象限,且∠AFB=90°,求△AFB的面积.
18.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率.
3.1.2　椭圆的简单几何性质
一．选择题
1.A
椭圆=1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等,因此两椭圆的形状、大小完全一样,只是焦点所在坐标轴不同,故两个椭圆的离心率相同.
2.B
由题意可得则3a2=4b2,故选B.
3.ABD
因为椭圆C:=1的焦点在y轴上,所以a2=9,b2=m,又因为2a=3×2b,故a2=9b2,即9=9m,故m=1,由a2=9得a=3,椭圆C的长轴长为2a=6,故A正确;由b2=m=1得b=1,椭圆C的短轴长为2b=2,故B正确;因为c2=a2-b2=8,所以c=2,椭圆C的焦距为2c=4,故C错误;易知椭圆C的离心率为,故D正确,故选ABD.
4.ABC
可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆,故A正确;曲线C1的焦距为2=8,曲线C2的焦距为2=8,故B,C正确;曲线C1的离心率为,曲线C2的离心率为,故D不正确.
5.C
不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),A为长轴的左端点,B为长轴的右端点,因为∠CBA=45°,|AB|=4,|BC|=,所以2a=4,且C(1,1),于是=1,解得b2=,则c=,故焦距为.
6.D
设|AF1|=x(x>0),则|AB|=x,|BF1|=x,于是x+x+x=4a,解得x=(4-2)a,于是|AF2|=2a-(4-2)a=(2-2)a,由勾股定理得[(4-2)a]2+[(2-2)a]2=(2c)2,整理得e2==9-6,所以e=.
7.D
圆x2+y2-6x+8=0的圆心为(3,0),则椭圆中半焦距c=3,又2b=8,所以b=4,于是a==5,故左顶点为(-5,0).
8.A
设椭圆右焦点为F'(图略),由椭圆的对称性,知|P1F|=|P7F'|,|P2F|=|P6F'|,|P3F|=|P5F'|,所以原式=(|P7F|+|P7F'|)+(|P6F|+|P6F'|)+(|P5F|+|P5F'|)+|P4F|=7a=35.
9.B
依题意有解得1椭圆的离心率e=,令f(a)=-a,容易判断函数f(a)在区间(1,+2)内单调递减,则f(a)∈(-4,0),于是e∈(0,1),当a越来越大时,e越来越接近于0,因此椭圆越来越接近于圆.
10.BC
由题意知,a1>a2>0,c1>c2>0,故A错误.
对于轨道Ⅰ有|PF|=a1-c1;对于轨道Ⅱ有|PF|=a2-c2,∴a1-c1=a2-c2,∴B正确.
∵a1-c1=a2-c2,a1>a2,
∴,即1-<1-,∴,
即c1a2>c2a1,∴C正确,D错误.
11.B
设P(x0,y0),则=1,∴=b2,
∵=c2,∴(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=c2,即=2c2,
∴+b2=2c2,整理得(3c2-a2).
∵0≤≤a2,∴0≤(3c2-a2)≤a2,解得≤e≤.故选B.
12.A
设椭圆C的长轴长为2a(a>0),短轴长为2b(b>0).当03时,焦点在y轴上,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°,需≥tan 60°=,即,得m≥9.又m>3,所以m≥9,故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).
二．填空题
13.=1
设椭圆G的标准方程为=1(a>b>0),半焦距为c,则
∴∴b2=a2-c2=36-27=9,∴椭圆G的方程为=1.
14. 3或
由题意可得m>0.当焦点在x轴上时,有,解得m=3,符合题意;当焦点在y轴上时,有,解得m=,符合题意.综上,m=3或m=.
15.设椭圆的右焦点为F1,坐标原点为O,在△ABF中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以△ABF为直角三角形,又斜边AB的中点为O,所以|OF|=c=5,连接AF1,因为A,B关于原点对称,所以|BF|=|AF1|=8,所以2a=14,a=7,所以离心率e=.
16.由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a,又因为|PF1|=2|PF2|,所以|PF2|=a,因为a-c≤|PF2|,所以a-c≤,即≤c,所以,故椭圆的离心率的取值范围是.
三．解答题
17.
(1)依题意c=1,,
则a=,b==1,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设点B(x0,y0),因为点B在椭圆上,
所以=1.①
设直线FA,FB的斜率分别为kFA,kFB.
因为∠AFB=90°,所以kFA·kFB=-1,
则=1.②
由①②消去y0,得3-4x0=0,
解得x0=0(舍去),或x0=,
代入方程②得y0=,所以B,
所以|BF|=,又|AF|=,
所以△AFB的面积S=×|AF|×|BF|=.
18.
由题意,知直线AB的方程为=1,即bx-ay+ab=0.∴焦点F1到直线AB的距离d=,∴.
两边平方、整理,得8c2-14ac+5a2=0,
两边同时除以a2,得8e2-14e+5=0,
解得e=或e=(舍去).故椭圆的离心率为.