2025-2026学年人教A版数学选择性必修第一册课时练习：3.1.2.2直线与椭圆的位置关系（含解析）

3.1.2.2直线与椭圆的位置关系
一．选择题
1.若点P(a,1)在椭圆=1的内部,则a的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.
2.直线y=kx-k+1与椭圆=1的位置关系为(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
3.已知过原点的直线l与曲线C:+y2=1相交,直线l被曲线C所截得的线段长等于,则直线l的斜率等于(　　)
A. B.±
C. D.±1
4.直线y=x+1被椭圆=1所截得的弦的中点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
5.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆的方程是(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
6.(多选题)已知F1,F2分别为椭圆C:+y2=1的左、右焦点,不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P,Q两点,则下列结论正确的有(　　)
A.椭圆C的离心率为
B.椭圆C的长轴长为2
C.若点M是线段PQ的中点,则MO的斜率为-
D.△OPQ的面积的最大值为
7.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.6 D.8
8.若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点的个数为(　　)
A.0或1 B.2 C.1 D.0
9.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则的值等于(　　)
A.- B.
C.- D.
10.(多选题)已知椭圆的方程为=1,斜率为k(k≠0)的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.直线AB与OM垂直
B.若点M的坐标为(1,1),则直线AB的方程为2x+y-3=0
C.若直线AB的方程为y=x+1,则点M的坐标为
D.若直线AB的方程为y=x+2,则|AB|=
二．填空题
11.若椭圆=1内的一条弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为　　　　.
12.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m,当直线与椭圆有公共点时,实数m的取值范围是　　　　　　　　　　.
13.椭圆=1上的点到直线x-2y-12=0的距离的最大值为　　　　　,取得最大值时对应的点的坐标为　　　　　.
14.若方程=x+m有实根,则实数m的取值范围是　　　　　.
15.已知O为坐标原点,椭圆方程为=1,斜率为1的直线与椭圆交于A,B两点,M为线段AB的中点,则|OM|的取值范围是　　　　　.
三．解答题
16.已知直线x+y-1=0与椭圆ax2+by2=1相交于A,B两点,C是线段AB的中点,O为坐标原点,若|AB|=2,直线OC的斜率为,求椭圆的方程.
17.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为M(-2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,当取得最大值时,求△MAB的面积.
18.已知椭圆C:=1(0(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在椭圆C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
3.1.2　椭圆的简单几何性质
第2课时　直线与椭圆的位置关系
一．选择题
1.A
由题意知<1,即a2<,解得-2.A
由题意,得直线y-1=k(x-1)恒过定点(1,1),而点(1,1)在椭圆=1的内部,所以直线与椭圆相交.
3.D
显然直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为y=kx(k≠0),直线l与曲线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y得(1+3k2)x2-3=0,则Δ=-4(1+3k2)·(-3)=12(1+3k2)>0,x1+x2=0,x1x2=-,所以|AB|=,解得k=±1.故选D.
4.C
设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的交点,直线被椭圆所截得的弦的中点为M(x0,y0),
由得3x2+4x-2=0.
∴x0==-,y0=x0+1=,
∴中点M的坐标为.
5.C
设椭圆方程为=1(a>1),由得(2a2-1)x2+6a2x+(10a2-a4)=0,由Δ=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)≥0,且a>1,得a≥,所以e=,即椭圆的离心率最大为,此时a=,椭圆方程为=1.
6.ACD
因为a2=2,b2=1,所以c2=1,所以e=,故A正确;
因为a=,所以2a=2,故B错误;
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),因为l与椭圆C交于P,Q两点,所以联立+(y1+y2)(y1-y2)=0,即=-,即kOM·kPQ=-,因为kPQ=kl=1,
所以kOM=-,故C正确;
设直线l:y=x+m(m≠0),由得3x2+4mx+2m2-2=0,因为直线与椭圆相交,所以Δ=16m2-12(2m2-2)>0,解得07.C
由椭圆方程得F(-1,0),设P(x0,y0),
则=(x0,y0)·(x0+1,y0)=+x0+.
∵P为椭圆上一点,
∴=1.
∴+x0+3+x0+3=(x0+2)2+2.
∵-2≤x0≤2,∴的最大值在x0=2处取得,且最大值等于6.
8.B
因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,所以>2,所以m2+n2<4,<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆=1必有两个交点.故选B.
9.C
依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y=x-1,由得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点的坐标分别为(0,-1),,所以=-,同理,可得直线l经过椭圆的左焦点时,=-.
综上所述,=-.
10.BD
对于A,由题意知kAB·kOM=-=-2≠-1,所以A不正确;
对于B,kOM=1,根据kAB·kOM=-2,知kAB=-2,所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1),
即2x+y-3=0,所以B正确;
对于C,kAB=1,由kAB·kOM=-2,得kOM=-2,所以C不正确;
对于D,直线AB的方程为y=x+2,与方程=1联立,得2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x=0或x=-,
所以|AB|=--0=,所以D正确,故选BD.
二．填空题
11. -
设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
因为(4,2)是线段AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4,将A,B两点的坐标分别代入椭圆方程得=1,=1,两式相减可得=0,整理得=-=-,即直线AB的斜率kAB==-.
12.由得5x2+2mx+m2-1=0,当直线与椭圆有公共点时,Δ=4m2-4×5(m2-1)≥0,解得-≤m≤.
13.4　(-2,3)
因为直线x-2y-12=0与椭圆=1相离,设直线l与椭圆相切,且平行于直线x-2y-12=0,则可设直线l的方程为y=x+t,
由消去y,得x2+tx+t2-12=0,(*)
由Δ=0,得t=4或t=-4,
当t=4时,直线l与直线x-2y-12=0的距离最大,此时直线l的方程为y=x+4,即x-2y+8=0,直线l与直线x-2y-12=0的距离d=4,即所求距离的最大值为4.
又当t=4时,方程(*)为x2+4x+4=0,得x=-2,所以直线l与椭圆=1相切得到的切点坐标为(-2,3).
14. [-]
方程=x+m有实根,即函数y=与y=x+m的图象有交点.函数y=的图象为椭圆+y2=1在x轴上方的部分(含左、右两个顶点),函数y=x+m的图象为斜率为1的直线,如图,由图可知,直线与椭圆有交点时,m的取值范围是[-].
15.
设直线方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,整理得7x2+8bx+4b2-12=0,
由直线与椭圆有两个交点,可知Δ=64b2-4×7×(4b2-12)=-48b2+336>0,解得-又x1+x2=-,则y1+y2=(x1+x2)+2b=-+2b=,
故点M的坐标为.
∴|OM|=|b|,
∴0≤|OM|<,
即|OM|∈0,.
三．解答题
16.
易知a>0,b>0,a≠b,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为kAB,直线OC的斜率为kOC.
由题意得a+b=1①,
a+b=1②,
②-①,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.
∵=kAB=-1,=kOC=,
∴b=a.
又|AB|=|x2-x1|=|x2-x1|=2,
∴|x2-x1|=2.
由得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4·=4,将b=a代入上式,得a=,b=,
∴所求椭圆的方程为y2=1.
17.
(1)由题意可得a=2,,
则c=,于是b2=a2-c2=2.
故椭圆C的方程为=1.
(2)当直线l与x轴重合时,点A,B,M在一条直线上,不能构成三角形;
当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立得(t2+2)y2+2ty-3=0,
则Δ>0,y1+y2=,y1y2=.
所以=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9
=(t2+1)+3t+9=+9=+9=.
当t=0时,取最大值,此时直线l的方程为x=1,
将x=1代入椭圆方程=1,得y=±,所以|AB|=.
又|MN|=3,所以当取得最大值时,△MAB的面积S=×3=.
18.
(1)由题设可得,得m2=,
所以椭圆C的方程为=1.
(2)设点P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.
由已知可得点B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5),
所以|BP|=yP,|BQ|=.
因为|BP|=|BQ|,
所以yP=1,将yP=1代入椭圆C的方程,
解得xP=3或xP=-3.
由直线BP的方程得yQ=2或yQ=8.
所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).
|P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,
故△AP1Q1的面积为.
|P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=x+,点A(-5,0)到直线P2Q2的距离为,
故△AP2Q2的面积为.
综上,△APQ的面积为.