贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（PDF版，含答案）

贵州省贵阳市七校 2025-2026 学年高二上学期 12 月联考
数学试题
一、单选题

1．已知向量 a ( 2,1,2)，向量b (1,3,2) 3a ，则 b （ ）
A． ( 6,1,2) B． ( 7,0,2) C． ( 7,0, 4) D． ( 7,0,4)
2．若抛物线 y2 4x上有一点 P，其横坐标为 2，则该点到焦点 F的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．“a 2”是“直线 ax y 2 0与直线 (a 1)x 2y 3 0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中，M 为棱 BC上靠近 B的三等分点， N为 A1C1的中点，设

AB a , AC b , AA c 1 ，则用 a,b ,c

表示MN为（ ）
2 a 5

b c 2 a 1

A． B． b c

3 6 3 6
2 5 a b c 2 1

a b c C． D．
3 6 3 6
5．如图，在等腰梯形 ABCD中， AB / /CD, AD BC , AB 4,CD 2, AB与 CD之间的距离为 3，O为 AB
的中点，则等腰梯形 ABCD的外接圆的标准方程为（ ）
1
A． x2 (y 1)2 5 B． x2 ( y 1)2 5
C． x 2 ( y 2)2 5 D． x2 ( y 2)2 5
x26．在椭圆C : y2 1上有一点 P，左、右焦点分别为 F1和F2，则下列说法正确的是（ ）4
A． F1PF2的周长为 8
B．存在点 P使得 F1PF
3π
2 4
C．满足PF1 PF2的 P点有且只有 4个
D．如果线段 PF1的中点在 y轴上，此时 F1PF2的面积为 3
2
7．如图，在四面体 ABCD中， CAD BAD 60 ,cos CAB ，且 AB AC AD，点 E满足 ，
3 AE 2EB
则直线 CE与 AD所成角的余弦值为（ ）
A 5 B 5． ． C 3 5 10． D．
5 10 10 5
x2 y28．已知 F1,F2为椭圆C : 2 2 1(a b 0)的两个焦点，过原点的直线交椭圆于 P，Q两点.若a b
PQ F1F2 , F1P 2 F1Q ，则椭圆C的离心率为（ ）
2 1
A 5． B． C． D 2 5．
3 3 3 3
二、多选题
9．已知直线 l :mx y 2 m 0(m R)和圆O : x2 y2 9，则下列说法正确的有（ ）
A．直线 l过定点 ( 1, 2)
B．直线 l一定与圆O相交
C．直线 l被圆O截得的最短弦长为 4
D．圆O与圆M : (x 1)2 (y 2)2 4有 3条公切线
2
10．如图，在底面为直角梯形的直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AB AD,BC / /AD，

AB BC AA1 1,AD 2，动点 P满足 AP xAB yAD zAA1(0 x 1,0 y 1,0 z 2），则下列结论
正确的是（ ）
A．当 x y 1, z 2 3 3时，点 P到直线 AC的距离为
2
B．当 x 1, y 0, z 0 6时，直线 AP与平面 A1CD所成角的正弦值是 6
C．若 x 1，则点 P在平面CBB1C1内
D．若 x 2y，则点 P在平面 ACC1A1内
11．已知过点Q(1, 2)的抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点为 F，准线与 x轴的交点为D，过焦点 F作两条相
互垂直的直线分别交C于 A，B和 M，N四点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线 AB的斜率为 1，则 | AB | 8
B．若点 E(3,2)平分弦 AB，则直线 AB的方程为 x y 1 0
C． | AB | 2 |MN |的最小值为12 8 2
D．若DB AB，则 | AF | | BF | 4
三、填空题
2 2
12．已知双曲线C : x y2 2 1(a 0,b 0)的渐近线方程为 y 3x，其右焦点坐标为 (2,0)，则双曲线C的a b
标准方程为 .
13．已知 P为直线 l : 3x 4y 9 0上一点，过 P作圆C : (x 2)2 y2 4的切线，则最短切线长
为 ．
2 2
14 x y．椭圆C : 1上有一动点 P，左、右焦点分别为 F1和F2，过 P作圆 (x 2)2 y2 1的切线，切点16 12

分别为 A，B两点，则 PA PB的最小值为 .
四、解答题
15．已知直线 l过点 A( 1,0)且倾斜角为 45 ，圆C的方程为 (x 1)2 y2 9 .
3
(1)求直线 l的方程；
(2)已知直线m与直线 l平行，且与圆C相交所得弦长为 2，求直线m的方程.
16．如图，在四棱锥 P ABCD中，侧棱 PA 底面 ABCD，底面 ABCD是矩形，其中 PA AD 4, AB 2,E
是 PD的中点.
(1)求证： PB / /平面 ACE；
(2)若点Q为 PB的中点，求点Q到平面 ACE的距离.
17 C : x
2 y2
．已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的实轴长为 2，焦距为 2 3 .a b
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点 P(2,0)且倾斜角为60 的直线 l与双曲线的右支交于 A,B两点，O为坐标原点，求 AOB的面积.
18．如图甲所示，已知在长方形 ABCD中，AD 2AB 2 3，且 E为 BC的中点，将图甲中 ABE沿 AE折
起，使得 AB DE，如图乙.
(1)求证：平面 ABE 平面 AECD；
(2)若点 F为线段 BD的中点，求平面 ABE与平面 AEF夹角的余弦值；
π
(3)若点 F是线段 BD上的动点，且满足 BF BD，若平面 AEF与平面 AECD的夹角为 ，求 的值.4
19．如图，在矩形 ABCD中， | AB | 2a,| BC | 2b(a b 0),E,F ,G,H分别是矩形四条边的中点，点
Mi ,Ni (i 1,2,3, ,n 1)分别是 OF，CF的 n(n 2)等分点，直线 EM i和直线GNi的交点为Ki .
4
2
(1)若 a 2,b 1,n 2 x，求点K1的坐标并证明点K1在椭圆 y2 1上；4
2 2
(2) x y证明：点Ki (i 1,2,3, ,n 1)在同一个椭圆W : 2 2 1(a b 0)上；a b
(3)若 a 2,b 1 .已知H ( 2,0)，过点D( 2,1)作斜率为 k的直线交（2）中椭圆W于 S，T两点，直线HS ,HT
1
分别交直线 y x 3于 P，Q两点，若 | PQ | 4 10，求 k的值.
2
5
贵州省贵阳市七校 2025-2026 学年高二上学期 12 月月考
数学答案
1．D
2．B
3．A
4．D
5．A
6．C
7．B
8．C
9．ABC
10．BCD
11．ACD
12 x2 y
2
． 1
3
13． 5
3
14． /1.5
2
15．(1) x y 1 0.
(2) x y 3 0或 x y 5 0
16．（1）如图，连接 AC，交 BD于 O，连接 EO.
因底面 ABCD是矩形，则 BO OD，
又因 E是 PD的中点，所以 PB / /EO .
又 PB 平面 ACE， EO 平面 ACE，
则 PB / /平面 ACE .
（2）因为底面 ABCD是矩形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，所以 AB、AD、AP两两相互垂直.
6
以 A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为 x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由 PA AD 4，AB 2，E是 PD的中点，
所以 A(0,0,0)，P(0,0, 4)，B(2,0,0)，C(2, 4,0)，E(0, 2, 2)，Q(1,0, 2) ，

则 AQ (1,0,2)，AC (2,4,0)，AE (0,2,2)，

设平面 ACE的一个法向量为n x, y, z ，

n
·AC 0 2x 4y 0
那么 ，所以 ，
n·AE 0 2y 2z 0

令 x 2，则 y= 1，z 1，所以 n 2, 1,1 ，

于是 | n | 6，AQ n 1 2 0 ( 1) 2 1 4，

| AQ n | 4 2 6
所以点 Q到平面 ACE的距离为 3 .| n | 6
2 2
17 1 x y．（ ）解：因为双曲线C : 1的实轴长为 2，焦距为 2 3
a2 b2
2a 2

可得 2c 2 3 ，解得 a 1,b 2,c 3，

c
2 a2 b2
y2
所以双曲线C的标准方程为 x2 1.
2
（2）解：由直线 l过点 P(2,0)且倾斜角为 60 ，可得直线 l的方程为 y 3(x 2)
y2
x2 1
联立方程组 2 ，整理得 x2 12x 14 0，

y 3(x 2)
设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 ( 12)2 4 14 88 0且 x1 x2 12, x1x2 14，
由弦长公式，可得 AB 1 k 2 (x1 x 2)
2 4x1x 2 4 22 ，
7
| 2 3 |
又由原点O(0, 0)到直线 y 3(x 2)的距离为 d 3，
( 3)2 1
AOB S 1 AB d 1所以 的面积为 AOB 4 22 3 2 66 .2 2
18．（1）证明：在矩形 ABCD中，因为 AD 2AB 2 3，且 E为 BC的中点，
可得 BE BA,CE CD，所以 BEA CED 45 ，所以 AED 90 ，所以DE AE，
因为DE AB， AE AB A，且 AE, AB 平面 ABE，所以DE 平面 ABE，
又因为DE 平面 AECD，所以平面 ABE 平面 AECD .
（2）解：由（1）知DE AE，过点 E作直线 l垂直于平面 AECD，
以 E为坐标原点，以 EA,ED所在直线分别为 x, y轴，以 l所在直线为 z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
6 6
可得 B , 0, , A 6,0,0 ,E 0,0,0 ,D 0, 6,0 ,F
6 6 6
, , ，
2 2 4 2 4


6 6 6
则 EF ( , , ) ,EA ( 6,0,0) .，
4 2 4

n1·EA 6 x 0
设平面 AEF的一个法向量 n1 (x, y, z)，则
n ·EF 6 x 6 y 6
，
1 z 0 4 2 4
x 0, y 1
1
取 z 1，可得 ，所以 n1 (0, , 1)，2 2

又由平面 ABE的一个法向量 n2 (0,1,0) ，
1
n1 n2 5
设平面 ABE与平面 AEF 2所成夹角为 ，则 cos 5 ，n1 n2 1 1
4
8
所以平面 ABE与平面 AEF 5所成夹角的余弦值为 .
5

3 F( 6 (1 ) 6 6

（ ）解：由 BF BD，可得 , , (1 )),EA ( 6,0,0)，其中 0≤ ≤1，
2 2
6
则 EF ( (1 ) 6, 6 , (1 ))，
2 2

n·EA 6x 0
设平面 AEF的一个法向量n (x, y,z)，则 ，
n
·EF 6 (1 )x 6 y 6 (1 )z 0
2 2

取 z 2 ，可得 x 0, y 1 ，所以n (0,1 , 2 )，

又由平面 AECD的一个法向量m (0,0,1)，

n1 n2 2 2
设平面 AECD与平面 AEF所成夹角为 ，则 cos ，
n 2 2 21 n2 (1 ) 4
1
解得 ，
3
1
19．（1）当 a 2，b 1，n 2时， E 0, 1 ,G 0,1 ,M 1 1,0 ,N 1 2, ，
2
EM y 1 x GN y 1 1直线 1∶ ①， 直线 1∶ x②，4
联立①②，得K
8 3
1的坐标为 , . 5 5
2
x2 8 2
把K1的坐标代入椭圆方程 y2 1， 有 5 34

4 5
1，

K x
2
21在椭圆 y 1上.
4
（2）设Ki x, y
ai bi
，则 E 0, b ,G 0,b ,M i ,0 ,N i a,b ,i 1,2,3, ,n 1 .
n n
9
b b bi
b bn kEM ai ,k
n bi
i ai GN
,
i 0 a an
n
bn
则直线 EM i：y b x ①，ai
GN y b bi则直线 i： x②，an
Ki在直线 EMi，GN 上，∴Ki i 是方程①，②的解，
2 2 2
① ②，得 y2
b
b2 x2 x y2 ，化简得 2 2 1(a b 0)， 点Ki i 1,2,3, ,n 1 在同一个椭圆a a b
x2 y2W :
a2

b2
1(a b 0)上 .
（3）
2
当 a 2，b 1
x
时，椭圆W： y2 1，
4
2
将椭圆W (x 2)向右平移两个单位长度，则椭圆W ： y2 1，
4
即是 x2 4 y 2 4x 0，
平移后，H O,D D ,S S ,T T ,P P ,Q Q .
设P x3, y3 ,Q x4 , y4 ，显然 k 0，且直线 S T 不过原点，
设直线 S T :mx ny 1, S T 过D 0,1 ， n 1，
则直线 S T :mx y 1 .
所以 x2 4y2 4x 0 2 2，可变为 x 4y 4x mx y 0，整理得 4 y 2 4xy (1 4m)x2 0.
y2 y
因为 x 0，所以两边同除以 x2，得 4 2 4 1 4m 0，即 4k
2 4k 1 4m 0.
x x
因为点 S ，T 坐标满足此方程，则 kOS k1，kOT k2是方程 4k 2 4k 1 4m 0的两根，
16 16(1 4m) 64m 0 m 0 1，则 k1 k2 1，k1k2 m.4
直线 P Q : y
1
(x 2) 3 1 x 4 ，直线OS : y k1x，直线OT : y k2x，2 2
8
分别联立解得 x3 ， x
8
4 2k1 1 2k2 1
.
则
2
PQ P Q 1 1 x x 5 8 8 2 3
4
2 2k1 1 2k2 1
10
k2 k1 (k1 k2 )
2 4k k
8 5 8 5 1 2 4 5 m = .
4k1k2 2(k1 k2 ) 1 4k1k2 3 1 m
4 10
所以 2m2
1 1
5m 2 0，解得m 2或m .∵k kST k m，∴ k 2或 .2 S T 2
11