湖南长沙市师范大学附属中学2025-2026学年上学期高二期末数学冲刺练习卷（含答案）

湖南师范大学附属中学2025-2026学年上学期高二期末数学冲刺
练习卷
（基础版）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的方向向量是，则直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，是棱的中点，
且，则( )
A. B.
C. D.
3.与双曲线有公共焦点，且短轴长为的椭圆方程为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆：，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，则这三个点是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5.已知大小为的二面角棱上有两点、，，，，，若，，，则的长为( )
A. B. C. D.
6.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉
骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为，五眼中一眼的宽度为，若图中提供的直线近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( )
A. B. C. D.
7.数列满足，，且对任意正整数，有，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 在上单调递减 B. 的极大值点为
C. 的极大值为 D. 有个零点
10. 已知两圆为与，则( )
A. 若两圆外切，则
B. 若两圆有条公切线，则
C. 若两圆公共弦所在直线方程为，则
D. 为圆上任一点，为圆上任一点，若的最大值为，则
11.已知正方体的棱长为，如图，为上的动点，
平面，下面说法正确的是( )
A. 直线与平面所成角的正弦值范围为
B. 点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C. C.点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知为中点，当的和最小时，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ．
13.若指数函数且与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
14.设等差数列的公差为，前项和为若数列也是公差为的等差数列，则数列的通项公式 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的半径为，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为．
Ⅰ求圆方程
Ⅱ过点的直线与圆交于、两点，且的面积是为坐标原点，求直线的方程．
16.本小题分
设正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，．
求数列，的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，且，，，，为上一点．
若为中点，求证：平面；
若点不与和重合，且二面角的余弦值为，求与平面所成角的正切值．
18.本小题分
椭圆：的离心率为，其左焦点到点的距离是．
求椭圆的方程；
若直线：被圆：截得的弦长为，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
19.本小题分
已知正项数列，，，是公差为的等差数列．
求的通项公式；
已知数列是首项为，公比为正数的等比数列设为正整数，若对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【解】Ⅰ设圆心，则圆的方程为
，
圆的方程为
Ⅱ当斜率不存在时，此时直线方程为，原点到直线的距离为，
令代入圆方程得，，
满足题意此时方程为．
当斜率存在时，设直线的方程为，
圆心到直线的距离，

原点到直线的距离，
整理，得，此时无解．
综上所述，所求的直线的方程为．
16.【解】由题意知，，可得，
两式相减得：，整理得：，
即，因为，所以．
令可得：，解得，
即，所以．
即数列是首项为，公差为的等差数列，
所以．
所以，，所以，又因为，所以，
所以等比数列的公比为，则．
令，前项和为，
则有：，
等式两边同乘以有：，
两式相减得：，
整理化简得：．

17.【解】证明：取的中点，连结、；
又为中点，，且，
又，且，，，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
由题意，、、两两垂直，
分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
令，且；
则，，；
设平面的法向量为；
则
令得，；
设平面的法向量为；
则
令得，；
故，
解得；
故；
记与平面所成的角为，
平面的一个法向量为，
则，
故；
即与平面所成角的正切值为．

18.【解析】由题意可得，，
解得，，，即有椭圆的方程为；
到的距离，，
．
设，，把代入，
得，
，，
，
，
当，即时，，
即面积的最大值为．
19.【解析】由题意，，
因为是首项为公差为的等差数列，
所以，
当时，
，
又因为满足，所以，结合，所以
设数列的公比为
所以，其中，，，，．
当时，有；
当，，，时，有．
设，则．
令，得列表如下：


极大值
因为，所以．
取，当，，，，时，，即，
经检验知也成立．
因此所求的最大值不小于．
若，分别取，，得，且，从而，且，
所以不存在，
因此所求的最大值小于．
综上，所求的最大值为．

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