2.1函数的概念及其表示方法
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课件27张PPT。2.1函数的概念及其表示方法要点·疑点·考点1.映射
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B .给定一个集合A到B的映射，且a∈A,b∈B.如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
设f:A→B是集合A到集合B的一个映射.如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做A到B上的一一映射.
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则；
(2) 取元任意性，成象唯一性；(3) A中元素不可剩，B中元素可剩；即：多对一行，一对多不行；(4) 映射具有方向性：f : A→B与
f : B→A是不同的映射；(5) 原象的集合为A， 象集C?B.说明：①开平方③求正弦 ④乘以2 1
-1
2
-2
3
-31
4
9②求平方 观察下列对应，并思考哪个对应是映射？：一种对应是映射，必须满足两个条件： ①A中任何一个元素在B中都有元素与之
对应(至于B中元素是否在A中有元素对应
不必考虑，即B中可有“多余”元素). ②B中所对应的元素是唯一的 (即“一对
多”不是映射，而“多对一”可构成映
射，如图(1)中对应不是映射)．理 解：练习1; 集合A＝{2,3,4},B＝{5,6,7,8}，则可建立从A到B的映射个数是＿＿＿；从B到A的映射个数是＿＿＿。生活模型：鸟与笼练习2：
设“f：A→B”是从A到B的一个映射，其中A=B={(x,y)|x,y∈R}，f(x,y)→（X+y,xy)则A中的元素(1,－2)的象是＿＿＿＿＿＿；
B中的元素(1,－2)的原象是＿＿＿＿。初中已经学过：正比例函数、反比例函数、
一次函数、二次函数等。 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x
的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说
x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合
叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫
做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用
变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.二 函数的概念1 传统定义2 近代定义 定义:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对
应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中
都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称
f: A→B为从集合A到集合B的一个函数(fun_ction),
记作y=f (x),x∈A。定义域(domain):x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x值相对应的y值叫做函数值。
值域(range):函数值的集合叫做函数的值域。函数概念理解应注意的问题
(1)函数是一种特殊的映射，f：A→B必须满足A、B都是非空数集，其象的集合是B的子集．(2)构成函数的三要素是：定义域、值域和对应法则，而值域由定义域和对应法则可以确定．分析判断两函数是否为同一函数时，就从这三个方面进行分析，只有三者完全相同时才为同一个函数．(3)不同的函数，会有不同的对应法则，如y＝f(x)＝sinx，其对应法则为“取正弦”．练习：以下四组函数中，表示同一函数的是
A.f(x)=x－1,g(x)=(x2－1)/(x+1)
B.f(x)=x－1,
C.f(x)=x－1,
D.f(x)=(x－1)0,g(x)=(x―1)/(x―1)1．判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“象唯一”，即可以是“一对一”或者“多对一”．
2．f：A→B形成函数时，A即函数的定义域，但B不一定是值域．如果B中的元素都有原象，则B才是值域，即函数就是从定义域到值域的映射．课堂互动讲练已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．【思路点拨】 由表格的映射可看出f(1)＝f(3)＝1，
f(2)＝3，g(1)＝3，g(2)＝2，g(3)＝1，可解决问题．【解析】 ∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1.
当x＝1时，g(1)＝3，f(3)＝1，
而f(1)＝1，g(1)＝3，不适合f[g(x)]>g[f(x)]，
同理可验证x＝2,3时f[g(x)]与g[f(x)]的大小关系，当x＝2时不等式成立．
【答案】 1 2基础知识梳理思考？映射与函数有什么区别？
【思考·提示】 函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集． 解析法
列表法
图象法三 函数的表示法： 把两个变量的关系, 用一个等式
表示, 这个等式就叫做函数的解析式.1. 解析法：函数的表示法用解析式表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易根据自变量的值求出对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质．2. 列表法：优点:不必通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值．
列出表格来表示两个变量的关系.如：平方表，平方根表，汽车、
火车站的里程价目表、银行里的
“利率表”等等． 优点:直观形象表示出函数值的变化情况． 3. 图象法：如：一次函数的图象是一条直线；
如函数 y＝kx＋b (k＜0、b＞0) 用函数图象来表示两个变量之
间的关系.课堂互动讲练已知某人在2009年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y(元)与月份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则．【思路点拨】 月份为自变量，月工资为函数值．【解】 列表：课堂互动讲练图象：解析式：y＝1000·2x－1(x∈{1,2,3,4,5,6})．
其中定义域为{1,2,3,4,5,6}，值域为{1000,2000,4000,8000,16000,32000}．
对应法则f：x→y＝1000·2x－1.
【规律小结】 列表法、图象法和解析式法是表示函数的三种方法，其实质是一样的，只是形式上的区别，列表和图象更加直观，解析式更适合计算和应用．在对待不同题目时，选择不同的表示方法，因为有的函数根本写不出其解析式．课堂互动讲练练习： 2．已知34.5求f(x+1)
3.设函数 ，
则x0的取值范围是( )
(A)(-1，1) (B)(-1，+∞)
(C)(-∞，-2)∪(0，+∞) (D)(-∞，-1)∪(1，+∞)D小结2.函数的三要素定义域A值域B对应法则f定义域对应法则值域1函数的概念：设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集合 B的函数.五 复合函数如果y=f(u),u=g(x），那么，y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中， g(x）叫内层函数，f(u)为外层函数 函数
对应映射函数情，约束条件渐渐增。
任一原象唯一象，分段函数段段清。
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B .给定一个集合A到B的映射，且a∈A,b∈B.如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
设f:A→B是集合A到集合B的一个映射.如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做A到B上的一一映射.
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则；
(2) 取元任意性，成象唯一性；(3) A中元素不可剩，B中元素可剩；即：多对一行，一对多不行；(4) 映射具有方向性：f : A→B与
f : B→A是不同的映射；(5) 原象的集合为A， 象集C?B.说明：①开平方③求正弦 ④乘以2 1
-1
2
-2
3
-31
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9②求平方 观察下列对应，并思考哪个对应是映射？：一种对应是映射，必须满足两个条件： ①A中任何一个元素在B中都有元素与之
对应(至于B中元素是否在A中有元素对应
不必考虑，即B中可有“多余”元素). ②B中所对应的元素是唯一的 (即“一对
多”不是映射，而“多对一”可构成映
射，如图(1)中对应不是映射)．理 解：练习1; 集合A＝{2,3,4},B＝{5,6,7,8}，则可建立从A到B的映射个数是＿＿＿；从B到A的映射个数是＿＿＿。生活模型：鸟与笼练习2：
设“f：A→B”是从A到B的一个映射，其中A=B={(x,y)|x,y∈R}，f(x,y)→（X+y,xy)则A中的元素(1,－2)的象是＿＿＿＿＿＿；
B中的元素(1,－2)的原象是＿＿＿＿。初中已经学过：正比例函数、反比例函数、
一次函数、二次函数等。 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x
的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说
x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合
叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫
做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用
变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.二 函数的概念1 传统定义2 近代定义 定义:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对
应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中
都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称
f: A→B为从集合A到集合B的一个函数(fun_ction),
记作y=f (x),x∈A。定义域(domain):x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x值相对应的y值叫做函数值。
值域(range):函数值的集合叫做函数的值域。函数概念理解应注意的问题
(1)函数是一种特殊的映射，f：A→B必须满足A、B都是非空数集，其象的集合是B的子集．(2)构成函数的三要素是：定义域、值域和对应法则，而值域由定义域和对应法则可以确定．分析判断两函数是否为同一函数时，就从这三个方面进行分析，只有三者完全相同时才为同一个函数．(3)不同的函数，会有不同的对应法则，如y＝f(x)＝sinx，其对应法则为“取正弦”．练习：以下四组函数中，表示同一函数的是
A.f(x)=x－1,g(x)=(x2－1)/(x+1)
B.f(x)=x－1,
C.f(x)=x－1,
D.f(x)=(x－1)0,g(x)=(x―1)/(x―1)1．判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“象唯一”，即可以是“一对一”或者“多对一”．
2．f：A→B形成函数时，A即函数的定义域，但B不一定是值域．如果B中的元素都有原象，则B才是值域，即函数就是从定义域到值域的映射．课堂互动讲练已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．【思路点拨】 由表格的映射可看出f(1)＝f(3)＝1，
f(2)＝3，g(1)＝3，g(2)＝2，g(3)＝1，可解决问题．【解析】 ∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1.
当x＝1时，g(1)＝3，f(3)＝1，
而f(1)＝1，g(1)＝3，不适合f[g(x)]>g[f(x)]，
同理可验证x＝2,3时f[g(x)]与g[f(x)]的大小关系，当x＝2时不等式成立．
【答案】 1 2基础知识梳理思考？映射与函数有什么区别？
【思考·提示】 函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集． 解析法
列表法
图象法三 函数的表示法： 把两个变量的关系, 用一个等式
表示, 这个等式就叫做函数的解析式.1. 解析法：函数的表示法用解析式表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易根据自变量的值求出对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质．2. 列表法：优点:不必通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值．
列出表格来表示两个变量的关系.如：平方表，平方根表，汽车、
火车站的里程价目表、银行里的
“利率表”等等． 优点:直观形象表示出函数值的变化情况． 3. 图象法：如：一次函数的图象是一条直线；
如函数 y＝kx＋b (k＜0、b＞0) 用函数图象来表示两个变量之
间的关系.课堂互动讲练已知某人在2009年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y(元)与月份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则．【思路点拨】 月份为自变量，月工资为函数值．【解】 列表：课堂互动讲练图象：解析式：y＝1000·2x－1(x∈{1,2,3,4,5,6})．
其中定义域为{1,2,3,4,5,6}，值域为{1000,2000,4000,8000,16000,32000}．
对应法则f：x→y＝1000·2x－1.
【规律小结】 列表法、图象法和解析式法是表示函数的三种方法，其实质是一样的，只是形式上的区别，列表和图象更加直观，解析式更适合计算和应用．在对待不同题目时，选择不同的表示方法，因为有的函数根本写不出其解析式．课堂互动讲练练习： 2．已知34.5求f(x+1)
3.设函数 ，
则x0的取值范围是( )
(A)(-1，1) (B)(-1，+∞)
(C)(-∞，-2)∪(0，+∞) (D)(-∞，-1)∪(1，+∞)D小结2.函数的三要素定义域A值域B对应法则f定义域对应法则值域1函数的概念：设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集合 B的函数.五 复合函数如果y=f(u),u=g(x），那么，y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中， g(x）叫内层函数，f(u)为外层函数 函数
对应映射函数情，约束条件渐渐增。
任一原象唯一象，分段函数段段清。