福建省厦门市外国语学校2025-2026学年上学期高二期末数学冲刺练习卷（基础版）（含答案）

福建省厦门市外国语学校2025-2026学年上学期高二期末数学冲刺练习卷（基础版）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.若，，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，斜边，点满足，则( )
A. B. C. D.
4.设数列的前项和为，则( )
A. B.
C. D.
5.“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
6.已知，，分别是内角，，的对边，，，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
7.年月日，被誉为“中国天眼”的米口径球面射电望远镜通过国家验收正式开放运行，成为全球口径最大且最灵敏的射电望远镜简称的反射面的形状为球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆为球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段为球冠的高．某科技馆制作了一个模型，其口径为米，反射面总面积为平方米，若模型的厚度忽略不计，则该球冠模型的高为注：球冠表面积，其中是球的半径，是球冠的高．( )
A. 米 B. 米 C. D.
8.已知函数，若，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，则以下结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 将函数的图象向右平移所得图象关于轴点对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数在区间上有个零点
10.已知双曲线的左右焦点为，，左右顶点为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，设，，当直线绕着转动时，下列量保持不变的是( )
A. 的周长 B. 的周长与之差
C. D.
11.如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，过点、、作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是( )
A. 三棱柱外接球的表面积为
B.
C. 若交棱于点，则
D. 将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则实数的值为 ．
13.抛物线：的焦点，点，以点，为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 ．
14.已知函数图象与函数图象有公共点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面四边形中，已知，，，点在上且，，．
求的值；
求的面积．
16.本小题分
已知数列为正项等比数列，，数列满足，．
求；
设的前项和为，证明：．
17.本小题分
如图，已知圆柱的上，下底面圆心分别为，，是圆柱的轴截面，正方形内接于下底面圆，，．
当为何值时，点在平面内的射影恰好是的重心；
在条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的右焦点与抛物线：的焦点重合．的离心率为，过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为．
求椭圆和抛物线的方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点．
19.本小题分
已知函数，其中．
求的单调区间；
若存在，使得不等式成立，求的取值范围．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.【解】中，由正弦定理得，；
中，由余弦定理得，
即，解得．
由余弦定理得，解得，所以，
，
所以，
在中，，，解得，
所以的面积为．
16.【解】因为数列为正项等比数列，，数列满足，．
令，得，所以．
令，得，所以，又，所以．
设数列的公比为，则，所以；
证明：因为，
当时，，
两式相减得，，
得，
时也成立，所以．
所以，
，
，
，
因为恒成立，所以．
17.【解】取中点，连结，，，
则，，又，，平面，
所以平面，
过作，交于，
因为平面，
所以，又，，平面，
所以平面，
即是点在平面内的射影，
因为恰好是的重心，
所以，
在中，，
，
所以，，
所以，解得，
所以当时，点在平面内的射影恰好是的重心；
以为坐标原点，为轴，为轴，
作，以为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则即得，
同理可得平面的法向量，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角余弦值为．
18.【解】由的离心率为，可得，所以，
因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以，，
过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为，令代入抛物线的方程
可得，所以，
即，解得，所以，
由可得，
所以椭圆和抛物线的方程分别为：，；
由题意可得直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：，设，，由题意可得，
直线与椭圆联立：，整理可得：，，可得，，，
直线的方程为：，整理可得：
所以当时，，即过定点，
所以可证直线过定点．
19.【解】的定义域为，，
令，解得；
由，解得；由，解得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为；
不等式成立，即成立，
设，，
则，，
当时，易知在上恒成立，不满足题意；
当时，方程的判别式，
所以在上恒成立，则在上单调递增，，
所以在上恒成立，不满足题意；
当时，令，
得，，
由和得，
故当时，，单调递减，此时，
所以当时，存在，使得不等式成立，
即满足题意的取值范围为．