贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 808.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-06 15:58:35 | ||
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文档简介
贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考
数学试题
一、单选题
1．已知向量，向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线上有一点，其横坐标为2，则该点到焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图，在斜三棱柱中，为棱BC上靠近的三等分点，为的中点，设，则用表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在等腰梯形ABCD中，与CD之间的距离为3，O为AB的中点，则等腰梯形ABCD的外接圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为8
B．存在点使得
C．满足的点有且只有4个
D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为
7．如图，在四面体ABCD中，，且，点满足，则直线CE与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线和圆，则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点
B．直线一定与圆相交
C．直线被圆截得的最短弦长为4
D．圆与圆有3条公切线
10．如图，在底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足,），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点到直线AC的距离为
B．当时，直线AP与平面所成角的正弦值是
C．若，则点在平面内
D．若，则点在平面内
11．已知过点的抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过焦点作两条相互垂直的直线分别交于A，B和M，N四点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线AB的斜率为1，则
B．若点平分弦AB，则直线AB的方程为
C．的最小值为
D．若，则
三、填空题
12．已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为 .
13．已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ．
14．椭圆上有一动点，左、右焦点分别为和，过作圆的切线，切点分别为A，B两点，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知直线过点且倾斜角为，圆的方程为.
(1)求直线的方程；
(2)已知直线与直线平行，且与圆相交所得弦长为2，求直线的方程.
16．如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中点.
(1)求证：平面ACE；
(2)若点为PB的中点，求点到平面ACE的距离.
17．已知双曲线的实轴长为2，焦距为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积.
18．如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面平面AECD；
(2)若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值.
19．如图，在矩形ABCD中，分别是矩形四条边的中点，点分别是OF，CF的等分点，直线和直线的交点为.
(1)若，求点的坐标并证明点在椭圆上；
(2)证明：点在同一个椭圆上；
(3)若.已知，过点作斜率为的直线交（2）中椭圆于S，T两点，直线分别交直线于P，Q两点，若，求的值.
贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月月考
数学答案
1．D
2．B
3．A
4．D
5．A
6．C
7．B
8．C
9．ABC
10．BCD
11．ACD
12．
13．
14．/
15．(1)
(2)或
16．（1）如图，连接AC，交BD于O，连接EO.
因底面ABCD是矩形，则，
又因是PD的中点，所以.
又平面，平面，
则平面.
（2）因为底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AB、AD、AP两两相互垂直.
以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，E是PD的中点，
所以 ，
则，
设平面ACE的一个法向量为，
那么，所以，
令，则，所以，
于是，
所以点Q到平面ACE的距离为.
17．（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为
可得，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为
联立方程组，整理得，
设，则且，
由弦长公式，可得，
又由原点到直线的距离为，
所以的面积为.
18．（1）证明：在矩形中，因为，且为的中点，
可得，所以，所以，所以，
因为，，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，过点作直线垂直于平面，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
则.，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量 ，
设平面与平面所成夹角为，则，
所以平面与平面AEF所成夹角的余弦值为.
（3）解：由，可得，其中，
则，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量，
设平面与平面所成夹角为，则，
解得，
19．（1）当时，
直线①， 直线②，
联立①②，得的坐标为
把的坐标代入椭圆方程， 有
在椭圆上.
（2）设，则.
则直线 ①，
则直线②，
在直线上，是方程①，②的解，
①②，得，化简得点在同一个椭圆上 .
（3）
当时，椭圆：，
将椭圆向右平移两个单位长度，则椭圆
即是
平移后，
设显然，且直线不过原点，
设直线过，
则直线.
所以，可变为，整理得
因为，所以两边同除以，得，即
因为点坐标满足此方程，则是方程的两根，
，则
直线，直线，直线，
分别联立解得， .
则=.
所以，解得.
数学试题
一、单选题
1．已知向量，向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线上有一点，其横坐标为2，则该点到焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图，在斜三棱柱中，为棱BC上靠近的三等分点，为的中点，设，则用表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在等腰梯形ABCD中，与CD之间的距离为3，O为AB的中点，则等腰梯形ABCD的外接圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为8
B．存在点使得
C．满足的点有且只有4个
D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为
7．如图，在四面体ABCD中，，且，点满足，则直线CE与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线和圆，则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点
B．直线一定与圆相交
C．直线被圆截得的最短弦长为4
D．圆与圆有3条公切线
10．如图，在底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足,），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点到直线AC的距离为
B．当时，直线AP与平面所成角的正弦值是
C．若，则点在平面内
D．若，则点在平面内
11．已知过点的抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过焦点作两条相互垂直的直线分别交于A，B和M，N四点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线AB的斜率为1，则
B．若点平分弦AB，则直线AB的方程为
C．的最小值为
D．若，则
三、填空题
12．已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为 .
13．已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ．
14．椭圆上有一动点，左、右焦点分别为和，过作圆的切线，切点分别为A，B两点，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知直线过点且倾斜角为，圆的方程为.
(1)求直线的方程；
(2)已知直线与直线平行，且与圆相交所得弦长为2，求直线的方程.
16．如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中点.
(1)求证：平面ACE；
(2)若点为PB的中点，求点到平面ACE的距离.
17．已知双曲线的实轴长为2，焦距为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积.
18．如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面平面AECD；
(2)若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值.
19．如图，在矩形ABCD中，分别是矩形四条边的中点，点分别是OF，CF的等分点，直线和直线的交点为.
(1)若，求点的坐标并证明点在椭圆上；
(2)证明：点在同一个椭圆上；
(3)若.已知，过点作斜率为的直线交（2）中椭圆于S，T两点，直线分别交直线于P，Q两点，若，求的值.
贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月月考
数学答案
1．D
2．B
3．A
4．D
5．A
6．C
7．B
8．C
9．ABC
10．BCD
11．ACD
12．
13．
14．/
15．(1)
(2)或
16．（1）如图，连接AC，交BD于O，连接EO.
因底面ABCD是矩形，则，
又因是PD的中点，所以.
又平面，平面，
则平面.
（2）因为底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AB、AD、AP两两相互垂直.
以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，E是PD的中点，
所以 ，
则，
设平面ACE的一个法向量为，
那么，所以，
令，则，所以，
于是，
所以点Q到平面ACE的距离为.
17．（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为
可得，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为
联立方程组，整理得，
设，则且，
由弦长公式，可得，
又由原点到直线的距离为，
所以的面积为.
18．（1）证明：在矩形中，因为，且为的中点，
可得，所以，所以，所以，
因为，，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，过点作直线垂直于平面，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
则.，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量 ，
设平面与平面所成夹角为，则，
所以平面与平面AEF所成夹角的余弦值为.
（3）解：由，可得，其中，
则，
设平面的一个法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量，
设平面与平面所成夹角为，则，
解得，
19．（1）当时，
直线①， 直线②，
联立①②，得的坐标为
把的坐标代入椭圆方程， 有
在椭圆上.
（2）设，则.
则直线 ①，
则直线②，
在直线上，是方程①，②的解，
①②，得，化简得点在同一个椭圆上 .
（3）
当时，椭圆：，
将椭圆向右平移两个单位长度，则椭圆
即是
平移后，
设显然，且直线不过原点，
设直线过，
则直线.
所以，可变为，整理得
因为，所以两边同除以，得，即
因为点坐标满足此方程，则是方程的两根，
，则
直线，直线，直线，
分别联立解得， .
则=.
所以，解得.
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