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2025~2026学年度第一学期数学期末模拟卷（广东专用）
七年级数学
时间：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）
1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）的绝对值是（ ）
A．3.5 B． C． D．0
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义，一个负数的绝对值是它的相反数求解即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：A．
2．下列哪个图形经过折叠可以围成棱柱（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，根据三棱柱、四棱柱、五棱柱的展开图的特征进行判断即可得解．
【详解】解：A、由图形可得，折叠成的几何体底面时三角形，有3个侧面，但出现4个侧面，故不符合题意；
B、由图形可得，折叠成的几何体两个底面不相同，一个底面是正方形，一个底面是五边形，故不符合题意；
C、由图形可得，该图形不是长方体的表面展开图，故不符合题意；
D、由图形可得，折叠成五棱柱，故符合题意；
故选：D．
3．如图，C，D是线段上两点，若，，且点D是的中点，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是正确解答的关键．根据图形中线段的和差关系以及线段中点的定义进行计算即可．
【详解】解：，
点是的中点，
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题有理数的减法法则、乘法法则、除法法则以及乘方的意义等知识，掌握以上知识是解题的关键．根据有理数的减法法则、乘法法则、除法法则以及乘方的意义逐一判断即可．
【详解】解：A． ，故选项A错误；
B．，故选项B正确；
C．，故选项C错误；
D．，故选项D错误；
故选：B．
5．在“互联网＋”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现“线上＋线下”融合式教学模式变革．为了了解某校七年级800名学生对融合式教学模式的喜爱程度，从中抽取了200名学生进行问卷调查．以下说法错误的是（ ）
A．样本容量是200 B．每个学生的喜爱程度是个体
C．200名学生的喜爱程度是总体 D．200名学生的喜爱程度是总体的一个样本
【答案】C
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义进行解答即可．
【详解】A、为了了解某校七年级800名学生对融合式教学模式的喜爱程度，从中抽取了200名学生进行问卷调查，其样本容量是200，故A正确，不符合题意；
B、每个学生的喜爱程度是个体，故B正确，不符合题意；
CD、200名学生的喜爱程度是总体的一个样本，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，熟练掌握总体：我们把所要考查的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；样本容量：一个样本中所包含的数量，是解题的关键．
6．（24-25七年级上·广东广州·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义和解一元一次方程的一般步骤．把代入关于x的方程得关于a的方程，解方程即可．
【详解】解：把代入关于x的方程得：
，
解得：，
故选：A
7．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）下列说法正确的是：（ ）
A．的系数是 B．的次数是5次
C．是多项式 D．的常数项为1
【答案】C
【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．
【详解】解：A、的系数是，原说法错误，不符合题意；
B、的次数是次，原说法错误，不符合题意；
C、是多项式，原说法正确，符合题意；
D、的常数项为，原说法错误，不符合题意；
故选；C．
8．（24-25七年级上·天津·期末）已知代数式的值是，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了代数式求值，利用整体思想，将已知代数式变形后代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
9．（24-25七年级上·广东深圳·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有x人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据梨的总数不变列方程，即可作答．
【详解】解：∵每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完，且设有x人，
∴，
故选：D
10．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查折叠的性质．
根据、为折痕，可知、分别为的角平分线，由此即可求解．
【详解】解：∵、为折痕，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（24-25七年级上·广东深圳·期末）在两千多年前我国就已经有了正负数的概念，三国时期的数学家刘徽提出了用正负数表示相反意义的量，若收入元记作元，则支出元记作 元．
【答案】
【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示；
【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若收入元记作元，则支出元记作元．
故答案为：．
12．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、负指数幂计算及代数式求值，由题意可得到关于的两个方程，解方程即可求出的值，再把的值代入计算即可求解，根据题意，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设右上角数字为x，右下角数字为y，
由题意可得，，，
解得，，
∴，
故选：．
13．（24-25七年级上·广东佛山·期末）把七个长和宽分别为的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形为长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，能表示出长方形的面积及小长方形的面积是解题的关键；将阴影部分的面积转化为长方形的面积减去7个小长方形的面积之和即可．
【详解】解：由所给图形可知，长方形的长为：，宽为：，
所以长方形的面积为：，
又因为空白部分为7个小长方形，它们的面积之和为：，
所以阴影部分的面积为，
故答案为：．
14．（24-25七年级上·广东中山·期末）十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法． 同样，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．如图是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法，参照该方法将十进制数2000转化为八进制数为 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的混合运算．根据题意列式计算后取余数即可．
【详解】解：……0，
……2，
……7，
……3，
则将十进制数2000转化为．八进制数为，
故答案为：．
15．（24-25七年级上·四川内江·期末）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第一层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的4层，若用表示第n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ．
【答案】
【分析】观察图形可得第n层有颗，则，即可进行解答．本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形变化找出一般规律．
【详解】解：观察图形可得：
第一层有1颗；
第二层有颗；
第三层有颗；
第四层有颗；
……
第n层有颗；
∴，
∴
，
．
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（1）计算：
【答案】
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算乘方以及化简绝对值，再运算乘除，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
（2）解方程：；
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、有理数的混合运算，熟练掌握等式的性质与有理数混合运算的顺序是解题的关键．
（1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1．
【详解】解：，
，
，
，
，
；
17．（24-25七年级上·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，2
【分析】本题考查整式的加减—化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
18．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，，，平分
（1）______，______；
（2）尺规作图：如图2，以点O'为顶点，射线为边作，使（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)25；；
(2)见解析．
【分析】本题考查了作图-基本作图，角的计算，角平分线的定义，正确地作出图形是解题的关键．
（1）根据可求出，由角平分线的定义求出，然后根据求解即可；
（2）根据作一个角等于已知角的作法作出图形即可．
【详解】（1）解：，，
，
平分，
，
，
故答案为：25；；
（2）解：如图所示，即为所求．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．一名快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地，若快递员开车每分钟行驶，则早到；若快递员开车每分钟行驶，则要迟到．试求出规定时间及快递员所行驶的总路程．
小颖和小刚在解答时先设出未知数，然后列出不完整的方程如下：
小颖：________________________5；
小刚：________________________；
请认真思考并回答下面问题：
（1）小颖所列方程中x表示________________________；
小刚所列方程中y表示________________________；
（2）请选小颖或小刚的方法写出完整的解答过程．
【答案】（1）快递员所行驶的总路程；规定时间
（2）解答过程见解析
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算．
（1）小颖是根据规定时间相等列式，故所设x表示快递员行驶的总路程；小刚根据快递员行驶的总路程相同列式，故所设y表示规定时间；
（2）根据（1）中的分析，选取小颖或小刚的方法，设出未知数，列方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小颖所列方程中x表示快递员所行驶的总路程；小刚所列方程中y表示；规定时间；
（2）解：如选小刚的方法：设规定时间为，
根据题意，得，
解得，
，
答：规定时间为，快递员所行驶的总路程为．
如选小颖的方法：设快递员行驶的总路程为，根据题意得：
，
解得：，
，
答：规定时间为，快递员所行驶的总路程为．
20．（24-25七年级上·广东深圳·期末）近年来，我国近视率呈现上升趋势，尤其是低龄化现象明显，2023年，我国青少年的总体近视率为．为了了解本校七年级同学近视情况，盐田区某学校七年级数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下调查报告（不完整）．
调查目的 了解本校七年级学生的视力健康水平
调查内容 部分七年级学生的视力情况
调查对象 部分七年级学生 调查方式 （填“普查”或“抽样调查”）
调查人数 本次调查一共调查了 名学生
调查结果
建议 （根据调查结果，请你提出一条爱护眼睛的合理化建议．）
结合调查报告，回答下列问题：
（1）请补全调查报告（别忘记补全频数分布直方图）；
（2）“”这一组在扇形统计图中所对圆心角的度数是 ；
（3）已知该校七年级有500名学生，估计该校七年级视力正常（及以上为正常视力）的人数有多少．
【答案】抽样调查，，保证充足的睡眠，饮食均衡（答案不唯一），图见解析；（2）；（3）估计该校七年级视力正常（及以上为正常视力）的人数有人．
【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，根据样本求总体等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据抽样调查和普查的概念求解即可，用第1组人数除以其所占百分比即可，根据百分比之和为1求出“”对应的百分比即可补全图形，根据统计图数据提出建议即可；
（2）用乘“”这一组所占百分比即可；
（3）总人数乘以样本中对应人数所占比例即可．
【详解】解：（1）了解本校七年级学生的视力健康水平采用的调查方式是抽样调查，
本次调查一共调查了学生：（名），
“”所占百分比为：，
“”人数为：，
补全扇形统计图和频数分布直方图如下：
根据学生的视力情况建议：保证充足的睡眠，饮食均衡，
故答案为：抽样调查，200，保证充足的睡眠，饮食均衡（答案不唯一）；
（2）“”这一组在扇形统计图中所对圆心角的度数是：
，
故答案为：；
（3）估计该校七年级视力正常（及以上为正常视力）的人数有：
（人），
答：估计该校七年级视力正常的人数有人．
21．【操作要求】小明在等边三角形内取一定数量的点，连同等边三角形的3个顶点，以这些点为顶点剪三角形，要求剪出最多的小三角形．
【问题提出】小明想知道当等边三角形内有40个点时，最多可以剪出多少个小三角形？
【问题解决】（1）小明先分析了等边三角形内有1个点情况（如图1），最多可以剪出3个小三角形；在图1的基础上，增加一个点，形成了等边三角形内有2个点的两种情况：新增点在分割线外（图2﹣1）和在分割线上（图2﹣2），两种情况都最多可以剪出5个小三角形．小明得出结论：等边三角形内有2个点，最多可以剪出5个小三角形．
①小明在2个点的基础上，继续研究了等边三角形内有3个点的情况：
（i）请在图2﹣1和图2﹣2中画出等边三角形内有3个点时最多能剪出的小三角形的情况；
（ii）得出结论：等边三角形内有3个点，最多能剪出 个小三角形；
②当等边三角形内有4个点时，最多能剪出 个小三角形；
③发现规律：三角形内部的点每增加一个，最多可以剪出的小三角形个数增加 个；
④根据以上规律，当等边三角形内有n个点时，最多可以剪出的小三角形的个数是 个；
⑤当等边三角形内有40个点时候，最多可以剪出的小三角形的个数是 个．
【问题拓展】（2）将边长为1的等边三角形（图A1）每一条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作等边三角形，然后去掉底边得到图A2；将图A2的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图A3；再按上述方法无限多次继续作下去，得到的曲线An称为科克雪花曲线．
①图An中边的数量为 ；②图An中图形的周长为 ．（结果用含有n的代数式表示）
【答案】【问题解决】（1）①（i）见解析；（ii）7；②9；③2④；⑤81；（2）①；②
【分析】本题主要考查了通过列举法探究图形规律等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
1．根据图形探究规律，三个点时依照2个点方式作图，进而即可推出n个点时有个小三角形，最后将代入求解即可；
2．①用列举法可发现每个图形“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，进而得到图中边的数量为；
②由图形规律可发现每一个图形的周长在前一个图形的基础上多了其周长的，进而即可得解．
【详解】解：（1）．①（i）如图，
（ii）由图可知等边三角形内有3个点，最多能剪出7个小三角形，
故答案为：7；
②如图，当等边三角形内有4个点时，最多能剪出9个三角形，
故答案为：9；
③发现规律：三角形内部的点每增加一个，最多可以剪出的小三角形个数增加2个，
故答案为：2；
④根据以上规律，当等边三角形内有n个点时，最多可以剪出的小三角形的个数是个，
故答案为：；
⑤当时，，
故答案为：81；
（2）．①等边三角形的边数为3，
即图A1中边的数量为3，
图A2中边的数量为，
图A3中边的数量为，
图A4中边的数量为，
图A5中边的数量为，
…，
所以，我们发现每个图形“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，
∴图中边的数量为，
故答案为：；
②观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的，第三个在第二个的基础上，多了其周长的，
∵图A1中的周长为3，
∴图A2中的周长：
图A3中的周长：
图A4中的周长：
图A5中的周长：
．．．．．．
∴图An中的周长：；
故答案为：．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）在数学实践课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）若，直接用含的代数式表示出的长；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是________．
A． B．
C． D．
（3）今有两种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示：
卡纸型号 型号I 型号II
规格（单位：）
单价（单位：元） 3 5
现要制作10个这种底面是边长为的正方形，高为的礼品盒．请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），并计算出你所用卡纸的总费用．
【答案】(1)
(2)C
(3)见解析
【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
上述图形折叠后变成：
由折叠和题意可知，，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∴，即，
∵，，
∴．
（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
（3）解：①只选型号Ⅰ卡纸：礼品盒展开图分步情况，如图所示：
∴用一张型号Ⅰ卡纸可以制作这样的礼品盒3个，
∴制作10个这样的礼品盒，需要的卡片张数为，
∴需要张型号Ⅰ卡片，
则需要的费用为：（元）；
②只选型号Ⅱ卡纸：礼品盒展开图分步情况，如图所示：
∴用一张型号Ⅱ卡纸可以制作这样的礼品盒3个，
∴制作10个这样的礼品盒，需要的卡片张数为，
需要张Ⅱ型号型片，
则需要的费用为：（元）；
③用1张型号Ⅰ卡纸，3张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）；
④用2张型号Ⅰ卡纸，2张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）；
⑤用3张型号Ⅰ卡纸，1张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）．
23．【背景知识】直角三角板是学生常用的作图工具，图1是一副直角三角板的图片，其中一块三角板包含角的度数是和，另一块三角板包含角的度数是和，现在将两块直角三角板的两个顶点重合，如下图摆放，，三角板COD绕着点O进行旋转．
【解决问题】
（1）当三角板转动到图2的位置时，我们说在的内部，已知是的角平分线，若，则_________， ________；
（2）当三角板转动到图3的位置时，我们说与部分重叠，已知平分，平分，求的度数；
（3）在（2）的条件下，当三角板转动到图3以外的其他位置时，的度数是否发生改变？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)的度数会发生改变，的度数为或
【分析】本题主要考查了角的和差、角平分线等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键．
（1）直接由角的和差可得，再根据角的和差求得，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差即可解答；
（2）由角平分线的定义可得、，又、，即、，最后根据即可解答；
（3）分当在内部时和与没有重叠两种情况；当与没有重叠时，又有三种情况：当均在直线上方时；当在直线上方直线左侧，在直线下方直线右侧时；当在直线上方直线右侧，在直线下方直线右侧时，分别根据角平分线以及角的和差即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：，．
（2）解：∵平分，平分，
∴， ，
∵，，
∴，，
∴．
（3）解：的度数会发生改变，理由如下：
①如图：当在内部时，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴， ，
∴，
∴；
②当与没有重叠时；
当均在直线上方时，如图，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
．
当在直线上方直线左侧，在直线下方直线右侧时，如图，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
．
当在直线上方直线右侧，在直线下方直线右侧时，如图，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
．
综上，的度数会发生改变，的度数为或．中小学教育资源及组卷应用平台
2025~2026学年度第一学期数学期末模拟卷（广东专用）
七年级数学
时间：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）
1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）的绝对值是（ ）
A．3.5 B． C． D．0
2．下列哪个图形经过折叠可以围成棱柱（ ）
A． B． C． D．
3．如图，C，D是线段上两点，若，，且点D是的中点，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在“互联网＋”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现“线上＋线下”融合式教学模式变革．为了了解某校七年级800名学生对融合式教学模式的喜爱程度，从中抽取了200名学生进行问卷调查．以下说法错误的是（ ）
A．样本容量是200 B．每个学生的喜爱程度是个体
C．200名学生的喜爱程度是总体 D．200名学生的喜爱程度是总体的一个样本
6．（24-25七年级上·广东广州·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A． B． C．0 D．2
7．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）下列说法正确的是：（ ）
A．的系数是 B．的次数是5次
C．是多项式 D．的常数项为1
8．（24-25七年级上·天津·期末）已知代数式的值是，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级上·广东深圳·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有x人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（24-25七年级上·广东深圳·期末）在两千多年前我国就已经有了正负数的概念，三国时期的数学家刘徽提出了用正负数表示相反意义的量，若收入元记作元，则支出元记作 元．
12．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ．
13．（24-25七年级上·广东佛山·期末）把七个长和宽分别为的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形为长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示）
14．（24-25七年级上·广东中山·期末）十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法． 同样，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．如图是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法，参照该方法将十进制数2000转化为八进制数为 ．
15．（24-25七年级上·四川内江·期末）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第一层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的4层，若用表示第n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（1）计算：
（2）解方程：；
17．（24-25七年级上·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中，．
18．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，，，平分
（1）______，______；
（2）尺规作图：如图2，以点O'为顶点，射线为边作，使（不写作法，保留作图痕迹）．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．一名快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地，若快递员开车每分钟行驶，则早到；若快递员开车每分钟行驶，则要迟到．试求出规定时间及快递员所行驶的总路程．
小颖和小刚在解答时先设出未知数，然后列出不完整的方程如下：
小颖：________________________5；
小刚：________________________；
请认真思考并回答下面问题：
（1）小颖所列方程中x表示________________________；
小刚所列方程中y表示________________________；
（2）请选小颖或小刚的方法写出完整的解答过程．
20．（24-25七年级上·广东深圳·期末）近年来，我国近视率呈现上升趋势，尤其是低龄化现象明显，2023年，我国青少年的总体近视率为．为了了解本校七年级同学近视情况，盐田区某学校七年级数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下调查报告（不完整）．
调查目的 了解本校七年级学生的视力健康水平
调查内容 部分七年级学生的视力情况
调查对象 部分七年级学生 调查方式 （填“普查”或“抽样调查”）
调查人数 本次调查一共调查了 名学生
调查结果
建议 （根据调查结果，请你提出一条爱护眼睛的合理化建议．）
结合调查报告，回答下列问题：
（1）请补全调查报告（别忘记补全频数分布直方图）；
（2）“”这一组在扇形统计图中所对圆心角的度数是 ；
（3）已知该校七年级有500名学生，估计该校七年级视力正常（及以上为正常视力）的人数有多少．
21．【操作要求】小明在等边三角形内取一定数量的点，连同等边三角形的3个顶点，以这些点为顶点剪三角形，要求剪出最多的小三角形．
【问题提出】小明想知道当等边三角形内有40个点时，最多可以剪出多少个小三角形？
【问题解决】（1）小明先分析了等边三角形内有1个点情况（如图1），最多可以剪出3个小三角形；在图1的基础上，增加一个点，形成了等边三角形内有2个点的两种情况：新增点在分割线外（图2﹣1）和在分割线上（图2﹣2），两种情况都最多可以剪出5个小三角形．小明得出结论：等边三角形内有2个点，最多可以剪出5个小三角形．
①小明在2个点的基础上，继续研究了等边三角形内有3个点的情况：
（i）请在图2﹣1和图2﹣2中画出等边三角形内有3个点时最多能剪出的小三角形的情况；
（ii）得出结论：等边三角形内有3个点，最多能剪出 个小三角形；
②当等边三角形内有4个点时，最多能剪出 个小三角形；
③发现规律：三角形内部的点每增加一个，最多可以剪出的小三角形个数增加 个；
④根据以上规律，当等边三角形内有n个点时，最多可以剪出的小三角形的个数是 个；
⑤当等边三角形内有40个点时候，最多可以剪出的小三角形的个数是 个．
【问题拓展】（2）将边长为1的等边三角形（图A1）每一条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作等边三角形，然后去掉底边得到图A2；将图A2的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图A3；再按上述方法无限多次继续作下去，得到的曲线An称为科克雪花曲线．
①图An中边的数量为 ；②图An中图形的周长为 ．（结果用含有n的代数式表示）
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）在数学实践课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）若，直接用含的代数式表示出的长；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是________．
A． B．
C． D．
（3）今有两种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示：
卡纸型号 型号I 型号II
规格（单位：）
单价（单位：元） 3 5
现要制作10个这种底面是边长为的正方形，高为的礼品盒．请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），并计算出你所用卡纸的总费用．
23．【背景知识】直角三角板是学生常用的作图工具，图1是一副直角三角板的图片，其中一块三角板包含角的度数是和，另一块三角板包含角的度数是和，现在将两块直角三角板的两个顶点重合，如下图摆放，，三角板COD绕着点O进行旋转．
【解决问题】
（1）当三角板转动到图2的位置时，我们说在的内部，已知是的角平分线，若，则_________， ________；
（2）当三角板转动到图3的位置时，我们说与部分重叠，已知平分，平分，求的度数；
（3）在（2）的条件下，当三角板转动到图3以外的其他位置时，的度数是否发生改变？请说明理由．
