北京师范大学附属实验中学2025-2026学年九年级上学期12月（月考）期末模拟考试数学试卷数学（PDF版，含答案）

2025北京北师大实验中学初三 12 月月考
数 学
考生须知
1．本试卷 8 页：共四道大题，28 道小题；满分为 100 分；考试时间为 120 分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．
3．试卷答案、作图一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题须用 2B铅笔将选中项涂黑涂满，用铅笔作图，其他试题用黑色字迹
签字笔作答．
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
(m 1) x2 + 3x 5 = 0
1. 若关于 x的方程 是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m 1 B. m 1 C. m 1 D. m 0
2. 如图，四边形内接于 O，若 A = 46 ，则 BCD的大小为（ ）
A. 92 B. 134 C. 136 D. 146
2
3. 将抛物线 y = 3x2平移，得到抛物线 y = 3(x 1) 2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A. 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度
B. 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度
C. 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度
D. 向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度
4. 下列命题正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 等弧对等弦
C. 长度相等的弧是等弧 D. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
5. 已知直线a上两点 A,B，点 A在 O上，点 B在 O外，则直线a与 O的关系是（ ）
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切
6. 以外接圆半径为 2 的正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则（ ）
A. 不能构成三角形 B. 这个三角形是等边三角形
C. 这个三角形是直角三角形 D. 这个三角形是等腰三角形
7. 已知二次函数 y = ax
2 + bx + c (a 0)的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
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A. b 2 ac B. a b + c 0
C. 2a + 3b = 0 D. abc 0
8. 如图，边长为 6 的等边△ACB绕它的中心O逆时针旋转 (0 120 )得到 DEF （ A,C,B的对应
点分别为D,E,F ），DF交 AB于M ,DE交 AC于 N ．给出下面 4 个结论：①AM = FM ；②
CNE = ；③ AM 的取值范围是0 AM 3；④当 = 30 时， AN = 2 3 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9. 如图，在四张完全相同的卡片上分别画图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机抽取一张，卡
片上的图形是中心对称图形的概率是_______．
2
10. 二次函数 y = a (x h) + k (a 0)中的自变量 x与函数值 y的部分对应值如表所示，若 h 0 ，写出一
个符合题意的 n的值：______．
x 1 0 1
y 0 2 n
11. 某饰品店购进了一批挂件进行销售，平均每天销售 30 件，每件盈利 20 元．经调研发现：在成本不变的
情况下，若每个挂件降价 1 元，则每天可多售出 5 件．设每个挂件降价 x元，如果商家每天要盈利 840
元，请列出方程：________．
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12. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y = ax2 + bx + c如图所示，若关于 x的方程ax2 + bx + c m = 0 无
实数根，则m的取值范围是_______．
13. 如图， AB是 O的直径， PB,PC分别切 O于B,C．若 AB = 4, BAC = 60 ，则PC的长是
_______．
14. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共 20 个，这些球除颜色外其余完全相同．小琪做摸球
实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程．摸球的
总次数为 n，摸到白球的次数为m，下表是实验中的部分统计数据：
n 10 20 50 100 200 400 500 1000
m 4 7 10 28 45 97 127 252
m
0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252
n
（1）请估计：当 n很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到0.01）；
（2）根据表中数据估算，盒子里白球约有_______个（取整数）．
2
15. 已知二次函数 y = x 2ax +1，当 a 1 x a时，相应的函数值的最大与最小值之差为 0.75，则
a =_______．
16. 已知等腰三角形的一边长等于它的外接圆的半径，则它的顶角度数是______．
三、解答题（共 68 分，17 题 4 分，18 题~22 题每题 5 分，23 题~25 题每题 6 分，26 题~28 题
每题 7 分）
17. 解下列方程：
（1） x2 5x = 0；
（2） 2x2 x 1= 0．
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18. 已知关于 x的方程 x2 2mx +m2 n = 0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．
19. 已知：如图， AB是 O的弦．
求作： O上的点C，使得 ABC = 45 ．
作法：①连接 AO并延长交 O于 P；
1
②分别以点 A，P为圆心，大于 AP的长为半径画弧，两弧交于点Q；
2
③作直线OQ交 O于点C1，C2 ，连接BC1，BC2．
所以，点C ，C1 2 就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接 AQ，PQ，
AQ = PQ，AO = PO，
OQ ⊥ AP（___________）（填推理的依据）．
AOC1 = AOC2 = 90 ．
A，B，C1，C2 都在 O上，
1 1
ABC1 = AOC1， ABC2 = AOC2 （___________）（填推理的依据）
2 2
ABC1 = ABC2 = 45 ．
20. 如图， AB是 O的直径，弦CD ⊥ AB于点 E，且 E为OA中点，CD = 6．
（1）求 O的半径 r的长；
（2）过C作DA的垂线段交DA延长线于 F ，求 AF 的长．
21. 如图，在 ABC中， ACB = 90 ．将 ABC绕C逆时针旋转 后得 A B C (0 90 )，此时
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点 B在 A B 上，CA 交 AB于点D．
（1）若 A = 20 ，求 的度数；
（2）若CD = CB ，求 的度数．
22. 已知二次函数 y = (x + 3)(x 1)．
x …… ……
y …… ……
（1）在平面直角坐标系中画出此函数图象；
（2）若点 A(2,y n1 )和 B (n,y2 )都在此函数的图象上，且 y1 y2 ，结合函数图象，直接写出 的取值范
围： ；
（3）若D ( 3,0)，点C在抛物线 y = (x + 3)(x 1)上（不与点D重合），直线 x = 2 交直线DC 于点
P．若点 P位于抛物线的上方，则点C的横坐标 xC 的取值范围是 ．
23. 2024 年 5 月 21 日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某
中学初三年级共有 12 个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下：
跑步量达标率 x x =100% 90% x 100% x 90%
班数 7 m n
（1）从这 12 个班级中任意选取 1 个班级．
①事件“该班跑步量达标率为100% ”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；
1
②若事件“该班跑步量达标率 x满足90% x 100% ”的概率为 ，则m = ______，n =______；
3
（2）某班选出了 2 名男生和 2 名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分
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享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率．
24. 如图， AB是 O的直径，点C为 O上一点， ACB的平分线交 AB于点 E，交 O于点D，延
长 BA到点 P，使得PE = PC．
（1）求证：PC与 O相切；
（2）若 O的半径为5,CD = 3 10 ．求BC的长．
25. 某兴趣小组通过实验研究发现：当音量 x（单位：dB）满足 40 x 70时，听觉舒适度 y与音量 x之
间满足二次函数关系．当音量为 45dB时，听觉舒适度为 6；当音量为55dB 时，听觉舒适度达到最大值
10．
（1）求该二次函数的解析式，并在图 1 的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）在家听音乐时，小明听到的音量 x与所坐位置到音箱的距离 d （单位：m）的关系如图 2 所示．若
她希望听觉舒适度不小于 9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离 d 的取值范围
______（结果保留小数点后一位）．
26. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线解析式为 y = x2 4mx +1．
（1）用含m的式子表示抛物线的顶点坐标；
（2）点 A为 (n, 2)，点 B为 (n + 2, 2)．
①当 n =1时，若抛物线与线段 AB有两个不同的交点，求m的取值范围；
②当n =m时，若抛物线与线段 AB恰有一个交点，直接写出m的取值范围．
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27. 在 ABC中， B = C = (0 45 )， AM ⊥ BC于M ．点D是不与M ， B，C重合的动
点，将线段DM 绕点D顺时针旋转 2 得到线段DE．
（1）如图 1，当点D在线段MC 上时，点 E在线段 AC 上， MEC = ．
（2）点C关于点D中心对称的对称点为点 F ，连接 AE， AF ，EF ．
①如图 2，当点D在线段MB上时，判断 AE和EF 的位置关系，并证明；
②若 = 30 ， AB = 6，DM = 2 ，直接写出 EF 长度的最小值．
28. 在平面直角坐标系 xOy中，对于线段 AB和线段 AB外一点 C，若满足45 ACB 90 ，则称点 C
为线段 AB的“亲和点”；对于 ABC，若同时满足点 A是BC的“亲和点”，点 B是 AC 的“亲和
点”，点 C是 AB的“亲和点”，则称 ABC为“亲和三角形”．
（1）点 M为 ( 2,0)，点 N为 (3,0)．
①在 P1 (3,6)，P2 ( 2, 5)， P3 (2,2)， P4 (1, 1)中， 是线段MN 的“亲和点”；
②若点 P (0,a)是线段MN 的“亲和点”，求 a的取值范围；
（2）点 D为 (t,0)(t 0)，DE = 2 ，直线y = x + t分别与 x轴、y轴交于点 F，G，若对于线段 FG上
的任意一点 H，都存在线段DE，使得△DEH 是“亲和三角形”，直接写出 t的取值范围．
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参考答案
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D B D C A D
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9. 【答案】解：卡片上的图形是中心对称图形的是①、②、④，共有 3 张，
3
所以卡片上的图形是中心对称图形的概率是 ，
4
3
故答案为： ．
4
1
10. 【答案】解：例如当 h = ，根据抛物线的对称性，可得 (0,2)和 (1, 2)在抛物线上，
2
∴ n的值可以是 2 ，（答案不唯一）
故答案为： 2 （答案不唯一）．
11. 【答案】解：设每个挂件降价 x元，则每天的销售量为 (30+5x)件，
根据题意得： (20 x)(30+5x) = 840 ，
故答案为： (20 x)(30+5x) = 840 ．
12. 【答案】∵如图所示， y = ax2 + bx + c的开口向上，与 x轴有交点，
∴存在最小值为 1．
∵将 2ax2 + bx + c m = 0 看成 y = ax + bx + c m与 x轴的交点问题，
又∵方程 ax2 + bx + c m = 0 无实数根，
∴ y = ax2 + bx + c m与 x轴无交点，在 x轴上方．
∵ y = ax2 + bx + c m相当于 y = ax2 + bx + c向上平移 m个单位长度，
∴ m 1 ，即 m 1，m 1．
故答案为：m 1．
13. 【答案】解：如图，连接 BC，
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∵ AB是 O的直径，
∴ ACB = 90
∵ BAC = 60
∴ ABC = 30 ，
∵ AB = 4
1
∴ AC = AB = 2
2
∴ BC = AB2 AC2 = 42 22 = 2 3
∵ PB,PC分别切 O于 B,C．
∴ PB = PC ， PBA = 90
∴ PBC = PBA ABC = 60
∴△PBC是等边三角形，
∴ PC = BC = 2 3
故答案为： 2 3 ．
14. 【答案】解：由表可知，当 n =1000 时，摸到白球的频率为0.252 ，接近0.25，
因此摸到白球的概率约为0.25；
盒子里白球个数约为0.25 20 = 5个．
故答案为0.25；5．
2
15. 【答案】解：∵ y = x 2ax +1，
2a
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 x = = a，
2 1
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ a 1 x a，
1
∴ a 1 a，解得 a ，
2
①当 a a，即 a 0 时，
2
则当 x = a 1时，函数值最大为 (a 1) 2a (a 1)+1= a2 + 2；
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2
当 x = a时，函数值最小为 ( a) 2a ( a)+1= 3a2 +1，
1 1
∴ a2 + 2 3a2 1= 0.75，解得 a = 或a = （舍去）；
4 4
②当 a a时，即 a 0 时，
∵a 1 a，
∴当 x = a时，函数值最小为 a2 2a2 +1= a2 +1，
当 x = a 1时，函数值为 a2 + 2，当 x = a时，函数值为3a2 +1，
2
∵ a + 2 ( a2 +1) =1 0.75，
∴此情况不存在函数值的最大与最小值之差为 0.75；
1
综上： a = ；
4
1
故答案为： ．
4
16. 【答案】情况 1：底边等于它的外接圆的半径，
如图，CA = CB，DA = DB，OA =OB = AB
∴ AOB是等边三角形，
∴ AOB = 60
1
∴ ACB = AOB = 30
2
∵四边形 ACBD是圆内接四边形，
∴ ADB =150
∴它的顶角度数是30 或150
情况 2：腰等于它的外接圆的半径，
如图，当CA = CB =OB时，连接CO，
则CB =OB =OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴ BCO = 60

∵ BC = BC
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1
∴ BAC = BOC = 30
2
∵CA = CB
∴ ABC = BAC = 30
∴ ACB =180 (30 + 30 ) =120 ，
即它的顶角度数是120
综上所述，顶角可能为30 、120 或150 ．
故答案为30 或120 或150 ．
三、解答题（共 68 分，17 题 4 分，18 题~22 题每题 5 分，23 题~25 题每题 6 分，26 题~28 题
每题 7 分）
17. 【答案】（1）
解：∵ x2 5x = 0，
∴ x (x 5) = 0,
∴ x = 0 或 x 5 = 0,
解得： x1 = 0, x2 = 5.
（2）
∵ 2x2 x 1= 0，
∴ (2x +1)(x 1) = 0,
∴ 2x +1= 0或 x 1= 0,
1
解得： x1 = , x2 =1.
2
18. 【答案】（1）
解：∵关于 x的方程 x2 2mx +m2 n = 0有两个不相等的实数根，
∴ = ( 2m)2 4(m2 n) 0 ，
解得： n 0 ．
（2）
设方程的两个实数根为x x x x 1、 2 ，且 1 2 ，
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∴ x 21 + x2 = 2m， x1 x2 = m n，
由（1）可知： n 0 ，
∵ n为符合条件的最小整数，
∴ n =1，
∵该方程的较大根是较小根的3倍，
∴ x1 = 3x2 ，
∴ 4x = 2m 3x
2 2
2 ， 2 = m 1，
m2
∴3 = m2 1，
4
解得：m1 = 2 ，m2 = 2．
当m = 2 时， x2 =1，则 x1 = 3x2 = 3，符合题意，
当m = 2时， x2 = 1，则 x1 = 3x2 = 3 x2 ，与 x1 x2 不符，舍去，
∴m = 2 ．
19. 【答案】（1）
解：补全图形如图所示．
（2）
解：连接 AQ，PQ，
∵ AQ = PQ， AO = PO，
∴ OQ ⊥ AP（等腰三角形三线合一）．

∴ AOC1 = AOC2 = 90 ．
∵ A，B，C1 ，C2 都在⊙O上，
1 1
∴ ABC1 = AOC1， ABC2 = AOC2 （同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
2 2
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∴ ABC1 = ABC2 = 45 ．
1
20. 【答案】（1）连接CO，由垂径定理可得CE = ED = 3，由 E为OA中点得OE = r，在Rt△OEC
2
中利用勾股定理列出关于半径的方程求解；
（2）由CO = 2OE ， CEO = 90 求得 OCE = 30 ， AO ，CD相互垂直平分，可得 AC =OC ，
AC = AD，等边对等角得出 ACD = ADC， COE = CAE，在Rt△ACF 中，利用30 所对边是
斜边的一半，求得 AF 的长．
（1）
解：连接CO，
∵直径 AB ⊥ CD
1 1
∴CE = CD = 6 = 3
2 2
又∵ E为OA中点
1 1
∴OE = OA = r
2 2
在Rt△OEC中，
OE 2 +CE 2 =OC 2
2
1
即 r +3
2 = r2
2
3
r 2 = 9
4
r 2 =12
解得 r = 2 3 或 2 3 （舍）
（2）
解：连接 AC，
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1 1
由（1）得OE = r = 2 3 = 3
2 2
∵CO = 2OE， CEO = 90
∴ OCE = 30 ， COE = 60
∵ E为OA中点，且CD ⊥ AB
∴ AC =OC = 2 3
∴ COE = 60 = CAE
∴ ACE = 90 60 = 30
又∵ AO垂直平分CD，
∴ AC = AD = 2 3
∴ ACD = ADC = 30
∵CF ⊥ AF
∴ F = 90
∴ FCD = 90 30 = 60
∴ ACF = FCD ACD = 60 30 = 30
∵在Rt△ACF 中， ACF = 30 ， AC = 2 3
∴ AF = 3
21. 【答案】（1）
解：∵ ACB = 90 , A = 20 ，
∴ ABC = 90 20 = 70 ，
∵将 ABC绕 C按逆时针方向旋转角 后得 A B C，
∴ BC = B C， B = ABC = 70 ，
∴ B BC = B = 70 ，
∴ = BCB =180 70 2 = 40 ；
（2）
解：∵CB = CB ， BCB = ，
1 1
∴ B = (180 ) = 90 ，
2 2
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1
∴ A = 90 B = ，
2
1
∵旋转，则 A CB = ACB = 90 ， A = A = ，
2
1 1 3
∴ CBD = 90 A = 90 ， CDB = DCA+ A = + = ，
2 2 2
∵CD = CB ，CB = CB ，
∴CD = CB，
∴ CBD = CDB，
1 3
∴90 = ，
2 2
解得： = 45 ．
22. 【答案】（1）
解：列表如图，
x …… 3 2 1 0 1 ……
y …… 0 3 4 3 0 ……
函数图象如图，
（2）
2
解： y = (x +3)(x 1) = (x +1) 4，
对称轴为直线 x = 1，
y1 y2，
点 A到对称轴的距离小于 B到对称轴的距离，即 1 2 1 n ，
解得： n 2 或 n 4；
（3）
解：如图，
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由图象可知，当 xC 2 时，点 P位于抛物线的上方，
故答案为： xC 2 ．
23. 【答案】（1）
解：①事件“该班跑步量达标率为100% ”是随机事件；
1
②∵事件“该班跑步量达标率 x满足90% x 100% ”的概率为 ，
3
1
∴m = 12 = 4，
3
∴ n =12 7 4 =1，
故答案为：①随机；②4，1；
（2）
解：画树状图为：
共有 12 种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为 8，
8 2
所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率= = ．
12 3
24. 【答案】（1）
证明：连接OC,OD，
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OC =OD，
OCD = ODC，
AB是直径，
ACB = 90 ，
ACB的平分线交 AB于点 E，
1
ACD = BCD = ACB = 45 ，
2
AOD = 2 ACD = 90 ，
PE = PC ，
PCE = PEC，
PEC = OED，
PCE = OED，
OCP = PCE + OCD = OED + ODC = 90 ，
PC ⊥OC，
PC与 O相切；
（2）
解：过 O作OF ⊥ CD于 F，过 C作CH ⊥ AB于 H，
设 PE = PC = x，OE = y ，则OP = x + y，
OCP = 90 ，
PC2 +OC 2 =OP2 ，
x2
2
+ 25 = (x + y) ，
2
整理得 y + 2xy = 25①，
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1 1
S POC = OC PC = OP CH，
2 2
1 1
5x = (x + y) CH ，
2 2
5x
CH = ，
x + y
OF ⊥ CD，
1 3 10
DF = CD = ，
2 2
2

2 2 2 3 10 10 OF = OD DF = 5 = ，
2

2
S O CD = S OEC + S OED，
1 1 1
CD OF = OE CH + OE OD，
2 2 2
1 10 1 5x 1
3 10 = y + y 5，
2 2 2 x + y 2
2
整理得3x + 3y = y + 2xy②，
把①代入②得3x + 3y = 25，
25
x = y，
3
25
y2
25
把 x = y代入①得 + 2y y = 25，
3 3
整理得3y2 50y +75 = 0 ，
5
解得： y = 或 y =15（舍去），
3
25 20
x = y = ，
3 3
20
5
CH = 3 = 4，
20 5
+
3 3
OH = OC2 CH 2 = 3，
BH =OH +OB = 8，
BC = CH 2 + BH 2 = 4 5 ．
25. 【答案】（1）
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2
解：根据题意可设， y = a (x 55) +10，
当音量为 45dB时，听觉舒适度为 6；
2
∴6 = a (45 55) +10，
1
解得 a = ，
25
1 2
∴该二次函数的解析式为 y = (x 55) +10 ；
25
图象如下：
（2）
1 2
当 y = 9时，9 = (x 55) +10，
25
解得 x = 60或 x = 50 ，
由图 2 可得，当 x = 60时， d 1.2m，当 x = 50 时， d 4.0，
∴小明所坐位置到音箱的距离 d 的取值范围1.2m d 4.0，
故答案为：1.2m d 4.0
26. 【答案】（1）
解：∵抛物线解析式为 y = x2 4mx +1，
4m
∴ x = = 2m，
2
把 x = 2m代入 y = x2 4mx +1，得，
2
y = (2m) 4m 2m+1= 4m2 8m2 +1=1 4m2 ，
2
∴抛物线的顶点坐标为 (2m,1 4m )．
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（2）
解：①当 n =1时，点 A为 (1, 2)，点 B为 (3, 2)，
将 y = 2代入抛物线解析式得： x2 4mx +1= 2 ，
整理得： x2 4mx + 3 = 0，
设 y = x2 4mx + 3，其开口向上，对称轴为 x = 2m．
2( 4m) 4 1 3 0

1 2m 3
∴ ，
4 4m 0

12 12m 0
3
综合以上条件，取交集得 m 1．
2
3
答：m的取值范围为 m 1．
2
②当n =m时，点 A为 (m, 2)，点 B为 (m + 2, 2)，
将 y = 2代入抛物线解析式得： x2 4mx +1= 2 ，
整理得： x2 4mx + 3 = 0，
设 y = x2 4mx + 3，其开口向上，对称轴为 x = 2m．
Δ =16m2 12 = 0
Δ =16m
2 12 0
2
当 (2m) 4m 2m+3 = 0 或 2
(m2 4m2 + 3) (m + 2) 4m (m + 2)+ 3 0m 2m m+ 2

或m2
2
4m2 + 3 = 0（另一个根在区间外）或 (m+ 2) 4m (m+ 2)+3 = 0（另一个根在区间外）
3 7 7
解得：m = 或 m 1或m = 1（根 x = 1在范围内， x = 3在范围外），或m = （根
2 3 3
1
x 在范围内， x = 9 在范围外）．
3
7 3
综合以上情况，m的取值范围为 m 1或m = ．
3 2
7 3
答：m的取值范围为 m 1或m = ．
3 2
27. 【答案】（1）
解： 将线段DM 绕点D顺时针旋转 2 得到线段DE，
MDE = 2 ，DM = DE，
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180 2
DME = = 90 ，
2
DME + ECD = 90 + = 90 ，
MEC =180 ( DME + ECD) =180 90 = 90 ；
（2）
①解： AE ⊥ EF，理由如下．
如图，延长FE到G ，使 FE = EG，连接DE， AG，CG，
D是 FC的中点， E是 FG的中点，
1
DE∥CG，DE = CG，
2
MDE = 2 ，
DCG =180 2 ，
ACG = DCG + ACB =180 2 + =180 ，
ABF =180 ABC =180 ，
ACG = ABF ，
ABC = ACB = ，
AB = AC ，
BF =CF CB = 2CD 2CM = 2(CD CM ) = 2MD = 2DE =CG，
在△ABF和 ACG中，
AB = AC

ABF = ACG，

BF =CG
ABF≌ ACG (SAS)，
AF = AG，
E是 FG的中点，
AE ⊥ FG，
AF ⊥ FE ；
②解：如图，以M 为圆心，DM 的长为半径作圆，由题可知，该圆即为点D的运动轨迹，且 E始终位
于圆上， AM 与 M 交于E ．
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由①可知，△ABF≌△ACG，
FAB = GAC，
FAB + BAG = BAG + GAC，即 FAG = BAC，
AF = AG， AB = AC ，M 、 E分别为 FC和 FG的中点，
FAE = BAM ，
AEF = AMB = 90 ，
AEF∽ AMB，
AFE = ABM = 30 ，
AE 3tan AFE = = ，
EF 3
EF = 3AE，
由图可知，当 E位于 AM 与 M 的交点E 时， AE取得最小值，此时 EF 有最小值，
AB = 6， ABM = 30 ，
1
AM = AB = 3，
2
AE = 3 2 =1，
故 EF = 3AE = 3 ．
28. 【答案】（1）
解：①如图所示，
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MP1N 45 ， MP2N = 45 ， MP3N = 90 ， MP4N 90 ，
∴ P2 、 P3 是线段MN 的“亲和点”，
故答案为： P2 、 P3 ．
②如图，取MN 的中点 T，以 T为圆心，TM 为半径作圆，再以MN 为斜边，分别向上、向下作等腰直角
△KMN 、 LMN ，分别以点 K、L为圆心，以KM 、 LM 为半径作优弧M N ，
∴MN 的亲和点的轨迹为两段弧所夹的区域，包含边界，
令优弧M N 与 y轴的交点为 S， T 与 y轴的交点为 J，连接 JT ，KT ，KS，过点 K作KH ⊥ y轴于点
H，
∵M ( 2,0)，N (3,0)，
1
∴T ,0 ，
2
1 5
∴K , ，
2 2
5 1
∵TJ =TM = ，OT = ，
2 2
∴OJ = 6 ，
5 2 1
∵KS = KM = ，KH = ，
2 2
7
∴ SH = ，
2
∴OS = 6 ，
∴a的取值范围是 6 a 6 或 6 a 6 ．
（2）
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解：∵△DEH 是亲和三角形，
∴点 D是 EH 的亲和点，点 E是DH 的亲和点，
即需满足 45 KDE 90 ， 45 KED 90 ，
同理，还需满足 45 LDE 90 ， 45 LED 90 ，
以点 K为圆心，KD为半径画弧，再以点 L为圆心，DL为半径画弧，分别延长 EK ，DK 交优弧D E于
点 Q，P，分别延长DL， EL交优弧D E于点 M，N，
∴当△DEH 为亲和三角形时，点 H的轨迹为扇形QKP和扇形MLN ，包含边界，
∵DE = 2 ，
∴点 E在以 D为圆心，2 为半径的圆上，
当点 E绕点 D旋转时，两个扇形也绕点 D旋转，
此时到旋转中心的最近点为 K，最远点为 P，
∴旋转过程中两个扇形区域形成的轨迹是以 D为圆心，DK 、DP为半径的圆环，
∵DE = 2 ，
∴DK = 2 ，DP = 2 2 ，
∵D (t, 0)，且 t 0，
∴点 D在 x轴正半轴上运动，
设 FG为直线 y = x + t (t 0)，点 G交 y轴正半轴，点 F交 x轴负半轴，
∴OG =OD，
当点 D由原点向右移动时，线段 FG由小变大，
如图，当点 G位于小圆上时，DG = 2 ，OG =OD = t，
解得 t =1，
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如图，当 t逐渐增大，点 F位于大圆上时，DF = 2 2 ，即 t = t 2 2 ，解得 t = 2 ，
∴t的取值范围为1 t 2 ．
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